中考数学一轮复习：二次函数.doc

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中考一轮复习之二次函数（一）

知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。
精典例题：

【例 1】二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像如图所示，那么 abc 、 b 2 - 4ac 、 2a + b 、 4a - 2b + c 这四个代数式

中，值为正的有（


）
y

A、4 个

解析：∵
B、3 个
x = b ＜1
2a
C、2 个
D、1 个


-1


O


1


x

∴ 2a + b ＞0
答案：A
例1图
评注：由抛物线开口方向判定 a 的符号，由对称轴的位置判 定 b 的符号，由抛物线与 y

轴交点位置判定 c 的符号。由抛物线与 x 轴的交点个数判定 b 2 - 4ac 的符号，若 x 轴标出了 1 和－1，则结合函数值可
判定 2a + b 、 a + b + c 、 a - b + c 的符号。

【例 2】已知 a + b + c = 0 ， a ¹0，把抛物线 y = ax 2 + bx + c 向下平移 1 个单位，再向左平移 5 个单位所得到

的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
分析：①由 a + b + c = 0 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移 5 个单位，再向上平移 1
个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为 y = a(x + 2)2 ，则原抛物线的解析式为 y = a(x + 2 - 5)2 + 1 ，又易知原抛物线过

点（1，0）
1

∴ 0 = a(1 + 2 - 5)2 + 1 ，解得 a = -
4

∴原抛物线的解析式为： y = - 1 (x - 3)2 + 1
4
评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维
的应用。
另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转 1800），此时顶
点坐标不变，只是 a 反号；②两抛物线关于 x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称， a 反号；③两抛物线关于 y 轴对称，
此时顶点关于 y 轴对称；
探索与创新：

【问题】已知，抛物线 y = a(x - t - 1) 2 + t 2 （ a 、 t 是常数且不等于零）的顶点是 A，如图所示，抛物线

y = x 2 - 2x + 1的顶点是 B。

（1）判断点 A 是否在抛物线 y = x 2 - 2x + 1上，为什么？

（2）如果抛物线 y = a(x - t - 1) 2 + t 2 经过点 B，①求 a 的值；②这条抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点 A 能

否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线 y = a(x - t - 1) 2 + t 2 的顶点 A（ t + 1 ，

y = x 2 - 2x + 1 = (x - 1)2 = (x + 1 - 1)2 ＝ t 2 ，所以点 A 在抛


O
y


B


x


t 2 ） ， 而 x = t +1 当 时 ，

物线 y = x 2 - 2x + 1上。

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问题图

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（2）①顶点 B（1，0）， a(1 - t - 1)2 + t 2 = 0 ，∵ t ¹ 0 ，∴ a = -1；②设抛物线 y = a(x - t - 1) 2 + t 2 与 x 轴

的另一交点为 C，∴B（1，0），C（ 2t + 1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过 A 作 AD

⊥ x 轴于 D，则 AD＝BD。当点 C 在点 B 的左边时，t 2 = 1 - (t + 1) ，解得 t = -1 或 t = 0 （舍）；当点 C 在点 B 的右

边时， t 2 = (t + 1) - 1，解得 t = 1或 t = 0 （舍）。故 t = ±1 。

评注：若抛物线的顶点与 x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其"斜边上的
中线（高）等于斜边的一半"这一关系求解有关问题。
跟踪训练：
一、选择题：

1、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论：

① abc ＜0；

② 4ac < b 2 ；
③ ac - b = -1 ；
④ 2a + b < 0 ；
c
⑤ OA × OB = - ；


-2


A
y

O1
C


B


x

a
⑥ 4a - 2b + c < 0 。其中正确的有（


）
第 1 题图

A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个

2、 二次函数 y = x 2 + bx + c 的图像向右平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位， 得到函数图像的解析式为 y = x 2 - 2x + 1，

则 b 与 c 分别等于（
A、6、4
C、4、6


）
B、－8、14
D、－8、－14


E


A


F

3、如图，已知△ABC 中，BC＝8，BC 边上的高 h = 4 ，D 为 BC 上一点， ∥BC 交 AB 于 E， EF
交 AC 于 F（EF 不过 A、B），设 E 到 BC 的距离为 x ，△DEF 的面积为 y ， 那么 y 关于 x 的函
B D C

数图像大致是（
A
）


B


C
第 3 题图


D

4、若抛物线 y = ax 2 与四条直线 x = 1， x = 2 ， y = 1 ， y = 2 围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是（ ）

A、 £ £1 1a
4

B、 £ £2 1a
2

C 、 £ £1 1a
2

D、 £ £2 1a
4

5、如图，一次函数 y = kx + b 与二次函数 y = ax 2 + bx + c 的大致图像是（ ）

A B C D
二、填空题：

1、若抛物线 y = (m - 1)x 2 + 2mx + 3m - 2 的最低点在 x 轴上，则 m 的值为 。

2、二次函数 y = 4x 2 - mx + 5 ，当 x < -2 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > -2 时，y 随 x 的增大而增大。则当 x = -1
时， y 的值是 。
3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移 2 个单位后的对称轴是 y 轴，向下平移 1 个单位后与 x 轴只有一
个交点，则此二次函数的解析式为 。

4、已知抛物线 y = (m 2 - 2)x 2 - 4mx + n 的对称轴是 x = 2 ，且它的最高点在直线 y =
1 x +1
2


上，则它的顶点

为 ，n ＝ 。
三、解答题：
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1、已知函数 y = x 2 - (m - 2)x + m 的图像过点（－1，15），设其图像与 x 轴交于点 A、B，点 C 在图像上，且

SDABC = 1，求点 C 的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象
（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 S（万元）与销售时间 t （月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之
间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 S（万元）与时间 t （月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元；
（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？

3、抛物线 y = x 2 ， y = -

1 x2
2

和直线 x = a （ a ＞0）分别交于 A、B 两点，已知∠AOB＝900。

（1）求过原点 O，把△AOB 面积两等分的直线解析式；

（2）为使直线 y = 2x + b 与线段 AB 相交，那么 b 值应是怎样的范围才适合？

4、如图，抛物线 y = ax 2 + 4ax + t 与 x 轴的一个交点为 A（－1，0）。

（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；
（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的
解析式；
（3）E 是第二象限内到 x 轴、 y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛
物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△APE 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不
存在，请说明理由。
参考答案

一、选择题：BCDDC
二、填空题：

1、2；2、－7；3、 y =

三、解答题：
1 (x - 2)2 + 1 ；4、（2，2）， n = -2 ；
2

1、C（ 3 + 2 ，1）或（ 3 - 2 ，1）、（3，－1）

2、（1） S =

1 t 2 - 2t
2


；（2）10 月；（3）5.5 万元

3、（1） y =


2x
4 ；（2）－3£ £0 b

4、（1）B（－3，0）；（2） y = x 2 + 4x + 3 或 y = -x 2 - 4x - 3 ；
1
（3）在抛物线的对称轴上存在点 P（－2， 2 ），使△APE 的周长最小。

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