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信号与系统总结

正弦信号


f (t) = K sin(wt +q )


矩形脉冲： GT = u(t +


T ) - u(t - T )


下标Ｔ表示其宽度。

复指数信号 f (t) = Kest , 其中s = s + jw

Kest = Ke(s + jw)t = Kest cos(wt) + jKest sin(wt)

Sa(t) = sin(t)


单位冲激信号d (t)

性质：
偶函数
2
2

t

性质： (0.1)


ò¥ Sa(t)dt = p
d (at) = 1 d (t), a ¹ 0
a

0
2
ò
¥
d (t - t0) f (t)dt = ò¥ d (t - t0) f (t0) = f (t0)

(0.2)
ò
¥
Sa(t)dt = p
-¥
-¥

冲激函数的积分等于阶跃函数 -¥

-æ t ö


2
ìòt d (t )dt = 1
(当t > 0)

钟形信号
f (t) = Ee
çt ÷ èø
ï -¥
ít

ì t, t > 0
ïò d (t )dt = 0
î
-¥
(当t < 0)

斜变信号 R(t) = í
î0, t < 0
冲激偶信号d '(t)

单位阶越信号


u(t) = ì


0, t < 0


dR(t) = u(t)
ò


¥


d '(t) f (t)dt = - f '(0)

í1, t > 0
î
dt
-¥

ò
¥
d '(t - t0) f (t)dt = - f '(t0)

积分与微分

f (t) 的微分是指： òt f (t )dt
-¥
信号的分解
偶分量与奇分量

-¥
fe(t) = 1 [ f (t) + f (-t)] （偶） fo(t) = 1 [ f (t) - f (-t)] （奇） ，

2
2

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f (t0) = ò ¥ f (t)d (t - t0)dt
-¥

f (t) 2 = fr2 (t) + fi2 (t) = f (t) f *(t)
冲激响应与阶越响应
r(t) = ò¥ e(t )h(t -t )dt
-¥
r(t) = e(t)* h(t)
信号与系统总结

与冲激函数或阶跃函数的卷积
（1） f (t)*d (t) = f (t)

（2） f (t) *d (t - t0 ) = f (t - t0 )

（3） f (t)*d '(t) = f '(t)

（4） f (t) *u(t) =
ò
t
f (l ) d l

以上为卷积运算。
卷积性质：

（1） 交换律 f 1(t)* f 2(t) = f 2(t)* f 1(t)

（2） 分配率 f 1(t)*[ f 2(t) + f 3(t)] = f 1(t)* f 2(t) + f 1(t)* f 3(t)

（3） 结 合 率 [ f 1(t)* f 2(t)]* f 3(t) = f 1(t)*[ f 2(t)* f 3(t)]


冲激函数性质：

（1） 相加运算

（2） 相乘运算

（3） 反褶运算
-¥

ad (t) + bd (t) = (a + b)d (t)

f (t)d (t) = f (0)d (t)

d (-t) = d (t)

（4） 微积分：
ò


¥


d (t - t0 )j(t)dt

d [ f (t)* f (t)] = f (t)* df 2(t)
（4） 时移运算
-¥

a)
dx 1
2
1
dx

= ò¥ d (x )j(x + t0 )dj(x +) = j(t0 )
-¥

ò
t
[ f 1(l) * f 2(l)]dl = f 1(t) * òt f 2(l)dl
冲激偶函数

b)
-¥
-¥
（1） 奇函数 d '(t) = -d '(t)

c)


df 1(t) * òt f (l)dl = f (t)* f (t)


（2）


f (t)d '(t) = f (0)d '(t) - f '(0)d (t) （注意是两部分）

dx
-¥
2
1
2

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（3） 尺度变换


d '(at) = 1 1 d '(t)
aa


令： F (nw1) =


1 (a - jb ) \ ，


f (t) =


å F(nw )e ¥


jnw1t

2n
n
n=-¥
1

（4） 卷积

f (t)*d '(t) = d f (t)
dx


1 òt0+T1 f (t)e- jnw tdt

傅里叶级数指数形式： Fn = F (nw1) =
T1 t0
1

傅里叶级数

f (t) = a0 + å[an cos(nw1t) + bn sin(nw2t)] ，其中， ¥

Fn = Fn e jjn = 1 (an - jbn )
2
函数对称性与傅里叶系数的关系

Fn = 1 an2 - bn2
2

n=1
ì

4 ò T21 f (t) cos(nw t)dt

1． 直流分量
（1） 偶函数： í
ï an = T
0
1

a0 = 1 òt0 +T1 f (t)dt
T1 t0
ïb = 0
în
1

2． 余弦分量

an = 2 òt0+T1 f (t) cos(nw1t)dt
T1 t0


ìa0 = 0, an = 0
ï
（2） 奇函数： í

ïbn = 4 ò 21 f (t)sin(nw1t)dt T

3． 正弦分量
î
T1 0

bn = 2 òt0 +T1 f (t)sin(nw1t)dt
T1 t0
（3） 奇谐函数： a0 = 0

欧拉公式 e jq = cosq + jsinq


an = bn = 0 ， （ｎ为偶数）

1．

cos(nw1t) = 1 (e jnw1t + e- jnw1t )


an =

4 ò T21 f (t)cos(nw t)dt

2
T1 0
1
n 为奇数

1 (e jnw t - e- jnw t )
bn = 4 ò f (t)sin(nw1t)dt T1
2

2． sin(nw1t) =
2j
1
1
T1
0


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