垂径定理在解圆内三角形问题中的应用.pdf

例题精讲垂径定理在解圆内三角形问题中的应用冒奕敏(江苏省南通市崇川区北城中学 2 2 6 0 0 0)【摘要】垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理是初中数学几何中解圆与三角形问题中经常运用到的一条定理,既考查了学生的抽象思维,也考查了学生的数形结合能力,要求学生能够在圆的半径、弦心距、弦的一半中选择正确的线段,构造出直角三角形,然后结合勾股定理,求出所需的线段长度.本文列举三道例题,介绍垂径定理在解圆与三角形结合的线段长问题中几种常见的考查方式,并给出分析思路和解题过程,希望可以帮助学生们对垂径定理的应用有更深的了解,对抽象思维和数形结合方法有更全面的认识.【关键词】圆;三角形;垂径定理在运用垂径定理计算圆与三角形的问题中,计算或证明圆心到弦的垂线段、弓高、半径或弦长时,通常需作出圆心到弦的垂线段,垂足就是弦的中点,再利用半径、弦心距和弦长的一半,构造出直角三角形,结合勾股定理进行求解.例1 已知圆O的半径长为2 6,圆内有A B和C D两条弦,A BC D,且A B的长为4 8,C D的长为2 0,求弦A B与弦C D之间的距离为多少?解题思路 本题要求计算的是两弦之间的距离,证明圆心到弦的垂线段、弓高、半径或弦长时,首先要根据题目已知条件和所求问题,作出正确的辅助线,通常作圆心到弦的垂线段,以半径、弦的一半、弦心距为三边构造一个直角三角形,再利用勾股定理即可进行求解.注意,本题需要考虑弦A B、C D在圆心的同侧还是异侧.解 因为弦A B与C D相对于圆心的位置有两种可能,所以需要分类讨论.第一种情况,当两弦在圆心的同侧时,如图1所示.过点O作O EC D于点E,交A B于点F,因为A BC D,所以E FA B,图1 图2则线段E F的长等于弦A B与C D之间的距离.C D=2 0,所以D E=12C D=1 0,由题目可知O D=2 6,在R t O E D中,由勾股定理有O E=O D2-D E2=2 4,同理B F=12A B=2 4,在R t O F B中,由勾股定理有O F=O B2-B F2=1 0,所以E F=O E-O F=1 4.第二种情况,当两弦在圆心的异侧时,如图2所示.过点O作O EC D于点E,延长E O交A B于点F,因为C DA B,所以E FA B,则线段E F的长等于弦A B与C D之间的距离.因为D E=12C D=1 0,在R t O E D中,由勾股定理有O E=O D2-D E2=2 4,同理B F=12A B=2 4,在R t O F B中,由勾股定理有21 数理天地 初中版例题精讲2 0 2 3年1 0月上O F=O B2-B F2=1 0,则E F=O E+O F=3 4.故弦A B与弦C D之间的距离为1 4或3 4.例2 如图3,线段O D为圆O的半径,A E为圆O的直径,A B是圆O的弦,且长度为1 6,O D垂直A B交A B于点C,C D的长等于4,求线段C E的长为多少?图3解 如图3,连接B E,设圆O的半径为x,有O C=O D-C D=x-4,因为O DA B,所以A C=B C=12A B=8,在R t AO C中,根据勾股定理有A O2=A C2+O C2,即x2=82+(x-4)2,解得x=1 0,则O C=x-4=6,因为A C=B C,A O=O E.所以B E=2O C=1 2,因为A E为直径,所以A B E=9 0,在R t C B E中,C E=B E2+B C2=4 1 3,即C E的长为4 1 3.例3 如图4所示,圆O的直径为2 0,线段A B和C D分别为圆的两条弦,其中A B的长为1 6,C D的长为1 2.MN为圆的直径,A B与MN相互垂直,相交于点E,C D与MN相互垂直,相交于点F,点P为线段E F上的任意一点,求线段P A与P C长度之和的最小值为多少?解题思路 求圆中的线段的最短长度,或者两点之间的最短距离问题,需要运用到转化的思想.因为圆是一种典型的轴对称图形,以直径为对称轴,圆上任意一点的对称点都落在圆上,因此作出其中一点关于直径的对称点,把分散的线段转化到同一条直线上,即根据“两点之间线段最短”的原理把最短距离转化为弦长,就可以求得这两条线段之和的最短长度.图4解 如图5所示,连接B C,交MN于点P,连接A P,过点B作MN的平行线交C D的延长线于点H.图5根据垂径定理可知A P=B P,所以P A+P C=B P+P C,因此,当点B、P、C三点共线时,线段P A与P C的长度之和取得最小值,因为MN是圆O的直径,A BMN,C DMN,所以A E=B E=8,C F=D F=6.易知四边形E BHF为矩形,所以FH=E B=8,CH=C F+FH=1 4,连接O A,O A=1 0,在R t A E O中,O E=O A2-A E2=6,连接O C,同理得O F=8,所以BH=E F=O E+O F=1 4,在R t BHC中,B C=BH2+CH2=1 4 2,即P A+P C的最小值为1 4 2.312 0 2 3年1 0月上例题精讲 数理天地 初中版