初高中数学教师视角下的“同课异构”教学观察与思考——以 “二次函数的最值”一课为例.pdf

上海中学数学2023年第7 一8 期77初高中数学教师视角下的“同课异构”教学观察与思考一以“二次函数的最值”一课为例215600江苏省张家港市第二中学朱彩华摘要：学生的能力和素养在不同的学段和不同的教学内容中有不同的表现，因此教师要关注学生在这个过程中的发展和变化.只有教师的认识提高了，才能帮助学生形成科学的思维习惯，发展学生的数学核心素养.初高中数学教师需要走进互相的课堂，了解真实的教学现状和学生现状，以便促进初高中数学的有效衔接。关键词：初中教师；高中教师同课异构；二次函数的最值作为基础教育阶段的初中、高中，彼此既存在差异，又紧密相扣.目前，高中新教材在内容的安排上作了一些补充和拓展，使学生能尽快适应高中数学的学习.在“衔接”问题上，不少师生还存在一些误区，认为只要补充一些知识就可以.纵观国内关于初高中数学衔接方面的研究成果，基本都停留在新课标以前.随着普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2020年修订）义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）的颁布实施，如何结合高中、初中新课程标准做好衔接工作的问题随之而来，这也是一个与时俱进的具有研究价值的问题1.2 0 2 2 年，江苏省教育科学“十三五”课题成果进课堂推广活动在苏州市开展，本次数学研讨的主题是初高中数学衔接，由初高中数学教师共同执教，苏州市的初三数学教师、高一数学教师全程参与了两节课的观摩。笔者参加了本次活动，并受邀对两位教师的课例进行点评.笔者对此阐述自己的思考.1课例展示与思考本次活动采取同课异构的方式进行，开课教师一位任教初中,简称“师1”，一位任教高中，简称“师2”课题是初三专题复习课“二次函数的最值”，授课对象是两个初三班级的学生。1.1课堂模型的观察师1从“自主先学，温故知新”“小组互学，巩固提高”“迁移再学，拓展延伸”“提升研学，适度强化”四个层面设计整节课教学，以小题带动知识点的方式回顾二次函数有关图像的知识，借助例题题组教学强化主线，符合专题复习课的一贯做法.授课中，师1以问题为导学，层层递进设计问题，师生互动自然.学生表达完后，师1不经意的一句话“还有什么补充”，可看出师1平时教学中善于发挥学生主体作用.师1对例题的分析清晰透彻，板书示范良好，善于借助变式教学巩固学生对问题的认识和方法的熟练.师1课堂小结言简意：一种类型一一二次函数背景下的含有参数的最值问题；两种思想一一数形结合、分类讨论；三种情况一一左侧，经过顶点，右侧.课堂总结中需要这种简洁化的提炼，让研究的问题主线清晰.师2 整体课例设计与师1大同小异，通过小题训练带动知识点和方法的提炼，然后通过两类典型问题（对称轴定，区间动；对称轴动，区间定）强化知识点与方法的应用，对问题涉及的方法提炼到位，授课中图像的变化演示直观，板书清晰，严格地做好示范.课堂总结言简意：两个问题一一轴定区间动，轴动区间定；三个思想一一数形结合，化动为静，分类讨论.1.2变式教学的观察师1课堂例1已知二次函数y=(-1)-4,当mm十3时,该二次函数有最小值12,求m的值.变式1已知二次函数y=（一1)-4,当mrm十3时,该二次函数有最小值 6 一m,求m的值。*本文系江苏省教育科学“十四五”规划2 0 2 1年度青年教师专项课题新课程标准下的初高中数学衔接的过渡研究”(C-c/2021/02/91)的阶段性成果.78变式2 已知二次函数y=（一h）一4，当13时，该二次函数有最小值5,则h=课例思考：基于同样背景围绕例题进行变式教学，侧重方法的比较.比如，对称轴定，区间动，求最大值；又如,变成对称轴动，区间定；再如，变成对称轴和区间都动.从这三种状态中提炼出分类讨论的标准，即对称轴与区间的关系.二次函数的图像大致可以分为三种：上升、下降、有升有降.当然还可以抓住二次函数的最值这一特征减少讨论，比如，将最小值改为一6 十m，那么会怎样呢？可以让学生继续探究.师2 课堂例1 求二次函数y=2-3在-1一1)上的最小值.变式1已知二次函数y=2十2 在aa十1时有最小值,则整数的值为（A.1C.1 或 2 例2 已知二次函数=一2 mz（m 为常数），当一1 2时，函数值y的最小值为一2,求m的值.变式2 求二次函数=一十4a3在21上的最大值.课例思考：例题变式可以进行整合，不需要把问题分得很细，而需要浓缩提炼二次函数最值的研究思路.另外，从方法的角度看，例1的变式属于小题，方法可以更灵活.对于课堂中所提到的一些方法需要再提炼，并提炼方法适用的情况等，这需要教师带领学生理清楚.变式教学是教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，帮助学生使所学的知识融会贯通.教学中功利性地关注问题的“解决”是不够的，需要使问题的研究回归，发现问题的本质，找到问题的源头，帮助学生展开有质量的联想.缺乏对数学问题本质认识的教学难以提高学生的认识能力和创新能力，留下的只能是乏味的重复训练.“萍水相逢尽是他乡之客 就是最好的形容 2 .1.3数学思想渗透的观察师1和师2 对本节课中涉及的思想方法是通过告知的形式给出的，比如，分类讨论和数形结合.笔者认为，数学思想方法的渗透，必须克服“贴标签”的现象.要有这样一个理念：取得教育效果的方法就是掩盖教育意图.为了克服“贴标签”现象，教师须深入上海中学数学2023年第7 一8 期学习，深人研究课标和教材，深人领会数学思想方法的内涵和意义.为克服这一现象，教师须重视“解题方向和方法”的反思.直觉思维当然很重要，但是在数学活动中,更重要、更高级的是反省思维，注重反思的教学能使学生真正抓住数学思维的内在本质，从而提升学生对数学思想方法的理解，并内化到数学学习中.数学思想方法的渗透必须强化对数学本质的研究，由此影响教师的教学行为 2 12课题的教学思考二次函数不仅在初三很重要，在高中更是重中之重,在高中，它作为一种载体存在，需要借助对二次函数的研究让学生学会对一般函数的研究.就本节课而言，主要研究的是二次函数在给定范围上的最值，使用的方法主要是图像法，即研究二次函数在）给定范围上的图像.这种方法学生很容易理解和接B.2受，也就是高中常说的函数单调性.单调性有了，函D.1 或 2数的图像就有了，那么函数的最值就有了.高中阶段主要是利用函数的单调性求函数的最值.研究二次函数的最值问题，一般来讲有两种方法：图像法、配方法.教师需要区分这两种方法的思路.其中，图像法是最重要的一种方法，是学生最容易掌握的一种方法，也是研究函数最值的一种通法；配方法有使用的局限性,在中学阶段，它不是研究其他类函数问题的通法.图像法：对于二次函数，整体图像是抛物线，有两种情况一一开口向下、开口向上.另外，所研究自变量对应范围上的图像又可能出现三种情况，受到对称轴与区间的关系制约.综合来看,开口和对称轴这两个因素制约着图像的大致情况，这也是分类讨论的突破口.研究过程涉及两大数学思想，分别是数形结合、分类讨论.数形结合不再叙述，着重谈谈分类讨论的问题.这是学生学习的难点，需要明确其分类标准。在高中，讨论无处不在，尤其是函数中.平时教学中讲解分类讨论问题时，需要直截了当地提炼对一些问题的分类讨论标准，且要不断深化“因为什么而讨论”的意识。配方法：对于二次函数的配方问题，师1给定的题目都是顶点式，是配方好的，学生容易看出对称轴，从而迅速画出图像；而师2 给的二次函数都是没有配方好的，需要学生配方。学生到了高中，遇到二次函数第一想到的就是配方，而忽略了对称轴公式的使用，对对称轴使用的意识不强，同时，很多学生对二次函数进行配方要花很长时间，很多配得还是上海中学数学2023年第7 一8 期错的.需要说明的是，配方法主要是利用代数方式求最值，配方并不是图像法的必须步骤。对于二次函数的图像问题，两节课有一个明显的区别是，师1是初中教师,严格地画出了二次函数的图像；师2 是高中教师,用的是二次函数图像的草图（没有轴）.师2 这一点其实应该跟学生讲清楚：为什么不需要画出完整的图，需要研究的是什么，高中常常画草图以达到“以形助数”这一目的.否则学生很难接受.3关于初高中数学衔接教学的思考3.1高中教师应增强教学衔接的意识近年来，初高中学校由于分设等原因，高中学校大多数教师没有初中教学经历，也未主动对初中数学课标及教材进行学习研究.不少高中教师对初中教材及课标的认识还停留在初中新课程改革前，甚至停留在教师自已读初中的时候，造成教师对新接手的高一新生知识基础及思维水平把握不准，很容易造成教学起点把握不到位.比如，十字相乘法、韦达定理、特殊角的三角函数值、解无理方程等内容在初中要求较低，但高中教师认为这些内容学生应该很熟悉，在高中教学中涉及这些知识或方法时往往一带而过，造成初高中教学脱节 3.再如，二次函数的画图问题，高中教师自然而然地画草图,造成学生认知上的疑惑。3.2初中教师应增强教学衔接的意识新课程改革中高中数学课程发生了重大变化，无论是数学思想还是数学能力（包括数形结合思想、整体思想、齐次化思想、数学建模思想、计算能力、推理能力等），难度均有提升，所以学生需要通过衔接环节进行过渡，对即将到来的高中数学学习形成一些具体的体验与认识，特别是要适应这种学习方式与思维方式的转变，初步建立从解题到解决问题、从学习到学会学习的意识转变.在知识内容上，高中数学新课标中的准备知识主要有：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式等.以学生已有的知识为基础，在学生的最近发展区重新构建初高中衔接体系，为高中数学课程的学习做好学习心理、学习方式和思想方法等方面的准备，立足学生的问题、立足教学的问题，提升衔接过渡中的效益.在这个过程中，最主要的不是多学一些知识、几条定理，而是逐步适应初高中数学在思维方式上的过渡，提高独立自主的研究能力793.3加强课堂教学方式的衔接课堂是教师教学的主阵地，学生数学核心素养的形成要靠每节课循序渐进地培养.笔者参加的本次活动很有研究价值，增加了初高中教师之间对课堂及教学内容的认识，有助于高中教师及时了解初中课堂特点，以便在高一衔接阶段可适当借鉴初中课堂教学的一些方式，让学生进人高中后有一个“缓冲期”比如适当降低课堂容量，设计问题时增加一些过渡性问题，多给一些思考的台阶，让更多的学生能够顺着台阶向上走，在课堂中增加当堂巩固的时间，等等.另外，为改变学生过去重结论轻过程的倾向，在教学中要重视展示知识的产生、形成和探索过程，使学生掌握知识的本质，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力，增强学生探究数学问题的兴趣和信心。作为初中教师，也要了解高中课堂的特点，在学生的思维提升上下功夫.比如，以知识为载体培养学生的探究能力，舍掉一些灌输行为；以知识为载体培养学生的合作能力，舍掉一些表演行为；以试题为载体渗透知识的思想方法，舍掉一些技巧强化；以试题为载体以点带面地变式拓展，舍掉一些就题论题 。4结语初高中衔接教学不仅需要知识的衔接，更需要思想方法的衔接、数学核心素养培育的衔接.教师要关注学生在学习过程中的发展和变化，关注学生已经掌握了什么，得到了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能，在哪些方面还存在不足等，让学科育人有的放矢.教师要以数学学科核心素养为依托，提升认识学科本质的水平，在数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性上下功夫，只有教师水平提高了，才能帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展数学核心素养。参考文献1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2 0 2 0 年修订S.北京：人民教育出版社，2020.2祁平.由两道高考试题的研究引发的教学思考 J.数学通报，2 0 12(12）：41-45.3吴新建.关于初高中数学教学的思考一一以高中二次函数教学为例.中学数学月刊，2 0 14（7)：18-19.4蒋寿荣.初高中数学衔接教学需“深谋远虑”一从评“二次函数的对称性”谈起 J.江苏教育，2 0 16（5）：32-34;37.