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1、§2.1 1. 从Maxwell方程组出发，推导均匀各向同性良好的无磁性的线性介质的波动方程和非均匀各向同性良好的无磁性的线性介质的波动方程，并比较在什么条件下两波动方程的表达式相同. 解：Maxwell方程组为 对于各向同性的良好无磁性的线性介质，则则Maxwell方程组为 对于均匀介质，为常数，则式（4）变为 对（2）式两边求旋度，得 而 故 对（1）式两边求旋度，得 而 故 所以，均匀各向同性良好的无磁性的线性介质的波动方程为 对于非均匀介质，为空间的函数，则（4）式变为 故 对（1）式两边求旋度，得 而
2、 故 对（2）式两边取旋度，得 而 故 所以非均匀各向同性良好的无磁性的线性介质的波动方程为 当时，，，两波动方程表达式相同. 2. 对于均匀各向同性良好的无磁性圆柱形介质，在求解其中磁场方程的表达式时，只直接求纵向分量，而不求横向分量.试述其原因. 解：将电磁场方程的和用沿z轴方向的纵向分量和垂直于z轴的横向分量来表示，即，由Helmholtz方程 得 即 故有 即 同理，有 即 故有 即 所以，Helmholtz变为 （1）式为标量方程，（2）式为矢量方程.求解（1）简便，为求横向分量，便用纵
3、向分量来表示.又由于 故 故 同理 左叉乘（6）式， ∴ ∴ （7） 左叉乘（4）式， ∴ ∴ （8） 由（7）（8）两式得 §2.2 1. 从频域的Maxwell方程组出发，证明无限大均匀介质中的平面电磁波为TEM波. 证明： ∵ ∴ ∴
4、 ∴ 令则 又 ∴ ∴ （6） 由 ∴ （7） 由 ∴
5、 （8） 即 所以该电磁波为TEM波. 2. 由无限大均匀介质中的Maxwell方程组 证明： （提示：） 证明： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 3. 由方程 推导平面波
6、矢与z轴的夹角为时，单轴介质内光速的表达式. 解：用矢量左叉乘的两边，得 而 ∴ 对于单轴介质，在主轴坐标系中， ∵ ∴ ∴ ∴ 用矩阵表示为 若上式有解，须 ∴ ∴ 由（1）式得 即 ∴ 由（2）式得 ∴
7、 ∴ 令则 ∴ 光速表达式为和. §2.3 1. 证明在非均匀介质中光线发生弯曲，指向折射率较高的区域. 证明：设表示沿射线切线方向的单位矢量，则.由路径方程得 ∴ 而 其中为该点的曲率半径.方向与垂直且指向曲率中心，则，垂直于，故 两边点乘，则 ∴
8、又∵∴.这说明光纤轨迹的主法线与折射率梯度之间的夹角是锐角，即光线发生弯曲指向折射率较高的区域. 证明：光线传播的路径方程为，均可看作的函数，将上式展开为 即 又∵ 其中为曲率半径，为曲线主法线方向的单位矢量.易知 即 选取自然坐标系，则 为路径上任一点的切线的单位矢量.若光线走过的路程，则 如左图所示，沿光线传播方向恒成立，故 此题得证. §3.1 1. 如图所示的均匀薄膜波导的芯层折射率为，上下两侧的折射率均为，且.试问：当光线与z轴的夹角满足什么条件时，光线为束缚光线和折射光线？ 解：
9、设临界角为，则.当时光线为束缚光线，当时光线为折射光线.而， 故当即 ∴时为束缚光线. 当即 ∴时为折射光线. §3.2 1. 已知某光波导的折射率分布为 ， 求其光线的路径方程. 解： ∵ ∴ ∴ 故有 令，则，有 §3.3 1. 试比较均匀薄膜波导和阶跃光纤中光线传播的异同点. 答： 相同点：①光线的传播路径都是直线. ②光线的传播时延和传播时延差的表达式完全一样. 不同点：①在均匀薄膜光波导中光线只有束缚光线和折射光线；而在阶跃光纤中除了束缚光线和折射光线外，还有漏泄光线. ②在均匀薄膜光波导中束缚光线的路径是平面锯齿状的折线；而在阶跃光纤中子午光线的束缚光线的路径是平面锯齿状的折线，偏斜光线的束缚光线的路径是空间折线. 13
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