概率 第三章 第一节二维随机变量.pdf

概率论第一节二维随机变量二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量O二维连续型随机变量课堂练习O小结概率论从本讲起，我们开始第三章的学习.它是第二章内容的推广.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量.概率论到现在为止，我们只讨论了一维小及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.在打靶时，命中点的位置是 由一对rv（两个坐标）来确定的.飞机的重心在空中的位置是 由三个r.v（三个坐标）来确定的等 等.概率论一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是 s=e,设 X=X（e）,玛=*2（e），,X”=七 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个“维向 量（X,占，,X”）叫做维随机向量或“维随机变 量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.概率论、二维随机变量的分布函数定义1设(x,y)是二维 随机变量,如果对于任意实数%,M二元函数=p(Xx)n(y J)p(xx,y j)一维随机变量X的分布函数F(x)=P(X x)00 X 00称为二维随机变量(x,v)的分布函数，或者称为随机 变量x和y的联合分布函数.概率论分布函数的函数值的几何解释将二维随机变量（x,y）看成是平面上随机点的 坐标,那么，分布函数方（x,y）在点（占y）处的函数值 就是随机点（X*）落在下面左图所示的，以点（与分 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.y（XQ）Yo（X、）A XXoX概率论随机点（X/）落在矩形域占x x2,yr yy2 内的概率为P（%1 X x1,y1Y o,=1,2,户概率论也可用表格来表示随机变量X和y的联合分布律.工2 X.1/%P11P2 1 Ai 乃 P12 P12 Pi2 匕 P1J Pl j Pij 概率论例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数，而y为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值，求（x,y）的分布律.解(X,y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,y=3=(1/2)3=1/8、23、1(1 PX=1,Y=1=1=3/8k1/227PX=2,Y=l=3 aiY-=3/8 21 30 1/83/8 03/8 00 1/8PX=3,y=0=(l/2)=l/8.概率论三、二维连续型随机变量定义3对于二维随机变量(X,y)的分布函数尸(x,y),如果 存在非负的函数/(x,y),使对于 任意有网/7)=匚1：f(u,v)dudv则称(x,y)是连续型的二维随 机变量，函数/(工4)称为二维 随机变量(x,y)的概率密度，或 称为随机变量x和y的联合概 率密度.一维连续型 随机变量x的 分布函数-00 X 0poof(x)dx=lJ00概率论二维连续型随机变量(x,y)的概率密度具有性质f(x,y)Qf.OO,00于(X,y)dxdy=100 J00/JJ f(x,y)dx dy=l0;(f(x,y)dxdy=l;f(x,y)dxdy=1;-0 0 R2)3.设G是孙平面上的区域，则有尸(X,y)eG=JJ fx,y)dx dy;G4.在的连续点，/(%,y)二一ba,30 dxdy概率论例2设（x,y）的概率密度是2一（2%+7）x 0,y 0,其它.（1）求分布函数方（x,y）;（2）求概率py X.概率论解（1）小，加匚匚小#“源积分区域 D=(#)卜8 U%,-8 V o#o概率论X（尤，y）J0uy-A0 产 u|(x,y)概率论当 xO,y 0 时，方(%,7)=J：匚 f(u,v)dudv=yX 2 e-dudv=J 0 J 0=(l-e2x)(l-eJ)当xVO或yKO时，方(x,y)=J：j：f(u,v)dudv故 F(x,j)=0 x 0,y 0,0,其它.概率论(2)PYX=JJ f(x,y)dxdy yx=2j；dx1e-3+，)dy=2j：e-2dx.eydy=21(0-2-3%1 3c e o概率论课堂练习设随机变量(X,Y)的概率密度是f(x,y)=k6-x-j),0 x 2,2 y 4,0,其它.(1)确定常数七(2)求概率PXl,y x2(2)PX1,Y3 3=凯4(67-，)6概率论五、小结在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了 二维随机变量的分布函数，离散型随机变量的分 布律以及连续型随机变量的概率密度函数.概率论第二节边缘分布 边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律一连续型随机变量的边缘概率密度 课堂练习0小结概率论二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有 什么关系呢？这一节里，我们就来探求这个问题.概率论一、边缘分布函数二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函 数尸(工,),而x和y都是随机变量，也有各自的分 布函数，分别记为耳(x)，4(y),依次称为二维随机 变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.Fx(x)=px x=px x,y +oo=F(x,+oo)Fy(j)=py j=px+oo,y/p,.，口 j=l j=l(i=l,2,)(。0 Ax=巧=|J x=巧，丫=yj j=l)_概率论（x,y）关于y的边缘分布律为00 00py=)J=Z px=u,y=匕=2。4砌 i=l i=l V(j=l,2,)概率论例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数，而y为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值，求（x,y）的分布律.解(X,y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,y=3=(1/2)3=1/8、23、1(1 PX=1,Y=1=1=3/8PX=2,Y=l=iY-=3/8 2PX=3,y=0=(1/2)3=l/8.03/83/8 0q、2723概率论Px=o)=px=o,y=i+Px=o,y=3)=i/8,PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,y=3=3/8,PX=2=PX=2,Y=1+PX=2,丫=3=3/8,PX=3=PX=3,Y=1+PX=3,y=3=l/8.3PY=1=PX=k,Y=l=3/8+3/8=6/8,k=03PY=3=px=卜丫=3l/8+l/8=2/8.k=0概率论我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.i3PX=巧001/81/813/803/823/803/8301/81/8pY=yj6/82/81概率论联合分布与边缘分布的关系13PX=xt001/81/813/803/823/803/8301/81/8pY=yj6/82/81由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布.概率论三、连续型随机变量的边缘概率密度对连续型小（x,y）,x和y的联合概率密度为y）则(X.Y)关于X的边缘概率密度为,8fxM=/(九)力(00 x 8)Joo 事实上，Fx(x)=F(x9+oo)=X dx+f(x,y)dy Jco Jcofx(x)=Fx(%)=J_8，(4)办概率论（x,y）关于y的边缘概率密度为poofY(y)=(-oo j y)=cy(2-x),Q xl,Q y x求C的值;解(1)10,(2)两个边缘密度。fx,y)dxdyR2其它yAy=x=f dx l cy(2-x)dy=x3dx优=524,故 c=2 4/5.o概率论例2设（x,y）的概率密度是心（2-初 0 xl,0y1或工0时，Vy（-叫+8）,都有/（x,y）=o,故/x（x）=O,当04x41时，（”）=匚+Jo（xMdy+10/（x，y）dy概率论当04x41时，+Jo()dy+rrx 24=1y(2-*)012?=x2(2-x),综上，512(、x2(2-x 0 x(%)=5 I、0,，其它.概率论例2设（x,y）的概率密度是/(羽 y)=cy(2-x 0 xl,0y 1或y:，0010,其它注意取值范围概率论在求连续型小的边缘密度时，往往要求联 合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分 片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.F面我们介绍两个常见的二维分布.概率论设G是平面上的有界区域，其面积为4若二 维随机变量（x,v）具有概率密度1/（“）=i（x，”G0,其它则称（x,y）在g上服从均匀分布.例向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在G内任一小区域b的概率与小区域的面积成正比,而与b的形状及位置无关.则质点的坐标（工）在6 上服从均匀分布.OOO概率论若二维随机变量（x,y）具有概率密度“1 一 1（%-41）2人”蔡痴彳叫乖功丁丁00 X 00,00 y 口 p 1.则称（XI）服从参数为1，2，百，。2,夕 的二维.记作（x,y）n（i，2，4w）OOO概率论例3试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解 fx（%）=J二/（工，）办因为（7-2）2 九（X-1）（了一2）i zp。2 2 _ 2 夕 _ 1 p2(X 一 4 1(。2)%所以/x(x)=(%-1)2概率论、2/x(x)=-I e 2d f e)2-/了了 J-2(1一月尸2 J。21(1 一一42J1-/(。2令t=、X U.ryP-,贝!I有al)2(X-i)t2fx=2 e 谒匚&2dtNTT%(x-i)=-e 2-V2tt2tt%(%-41)2(-00 x 00)概率论同理(尸/2)2，(y)=旧。e 2g(-00 J00)可见二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且不依赖于参数P.也就是说，对于给定的不同的，对应 不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明由边缘分布一般不能确定联合分布.概率论I、课堂练习设（x,y）的概率密度是/(“)=O,y x、0,其它求（x,y）关于x和y的边缘概率密度./(%,)=I ex 0,y x,0,其它概率论解 fx(%)=J二/(工，)办当 x0 时，/X(x)=J0Jy=0当x 0时，fx(x)=e-ydyAyy=x-y x-xj=e+00故0 x-概率论43=1 二/（占机当yo时,人（）=1二公=当y o时，fY（y）=eydx=yey yf（ye-y _043=7”o.，概率论五、小结1.在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布.2.请注意联合分布和边缘分布的关系：由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布.概率论第三节条件分布e离散型随机变量的条件分布 一连续型随机变量的条件分布 课堂练习0小结概率论在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件5发生的条件下事件4发生的条件概率P(A|B)=PV推广到随机变量设有两个r.vx,y,在给定y取某个或某些值 的条件下，求x的概率分布.这个分布就是条件分布.概率论例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽 取一个学生，分别以x和y表示其体重和身高.贝!x和y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.身高y 的分布体重x 的分布概率论现在若限制L7vyvl.8（米），在这个条件下去求X 的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把 在17米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出 的学生中求其体重的分布.容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加.oeo概率论一、离散型随机变量的条件分布实际-类似定义在x=/条件下 含在另一种 形式下的 随机变量y的条件分布律.定义i设（x,y）是二维离散型随机变量，对 于固定的人若Py=”o,则称PX=XiY=yj=px=巧,y=匕PijpY=yj p.j9 i=l,2,为在丫=”条件下随机变量x的条件分布律.作为条件的那个小，认为取值是给定断 此条件下求另一小的概率分布.，概率论条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的 一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的 一切性质.例如：p=xi y=j.o 1=1,2,.00px=xi r=j J=i i=l那么，我们先看课本例1概率论例2一射手进行射击，击中目标的概率P（OP pl）,射击进行到击中目标两次为止.以X表示首 次击中目标所进行的射击次数，以y表示总共进行 的射击次数.试求x和y的联合分布及条件分布.解 依题意，丫=表示在第次射击时击中目 标,且在前小1次射击中有一次击中目标.X=m表 首次击中目标时射击了机次.概率论/Q L,.因厂；次射击击中 击中每次击中目标的概率为p不论加(加)是多少,PX=m,Y=n=?px=m,y=都应等于PX=m9Y=n=p2(l-2由此得x和y的联合分布律为PX=mY=p2(l-2(=2,3,；m=ly2y,h-1)概率论为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘分布律是：+00PX=/n=PX=mY=n=m+l00 oo=22(1_0一2二尸2 E(l_p)“-2n=m+l n=m+ll-(l-p)八 P)(/n=l,2,)概率论y的边缘分布律是：n-1py=Zpx=%丫=nm=l一 1空P?”产m=l=(n-l)p2(l-py-2(n=2,3，)概率论于是可求得：当=2,3,时,Px=mY=n 联合分布PX=m,Y=*-.-PY=n-jP2(i-Py-2(n-i)P2(i-Py-21=-,”1概率论当初=1,2,时，px=y=_ px=m,y=一-X=m/I“-2P P产=p(l p)n m ln=m+l m+2.概率论二、连续型随机变量的条件分布设（x,y）是二维连续型匚y，由于对任意x,j,p*=x=o,Py=j=o,所以不能直接用条件概 率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件 概率密度的定义.概率论定义2设X和Y的 概率密度为7(%,y),(x,y)关于y的 概率密度为人3),若对于固定 的y则称/(”)为在丫=丁的条件下X的表件概率密度.记为fxY(x I y)=/y(j)同时，称 L，x|y(x|y)dx=L1dx 为 Y=y的条件下，X的条件分布函数.记为PX 或方x|y(x|y)OOO概率论即px x Y=y=4|丫（巾）=r（X,y）00人3dx类似地，可以定义4ix（yl%）=（出）=J_:fx（x）z/x（x）概率论我们来解释一下定义的含义:/(x9 J)以 fxY(%I y)=/y(J)为例PX xY=y=lim PX x y Y y+s0+Px xy Y y+s=PXx,yY y+sPyY y+e(广4:fy+ddxI,fy(y)dy /丫6+。2)%J y xfx,y+edx f f(x,y)dx3-(-0+)fY(y+O2e)/yW概率论XV（巾）口 px xY=ufxY（xy）=概率论例3设（x,r）的概率密度是ex/yey-,0 xoo,0j l Y=y.解 pxiW=y=f/xiF3y)dx 为此，需求出/X|y(x|J)概率论由于/y(j)=r f(x,y)dxJcoy Apoo=Joe-x/ye-y e-y.-dx=-ye-x/y=ey y0 J 0./y(j)y故对y0,PXl Y=y=-e-x/yf=e-1,y y1概率论例4设(X,F)服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为x2+j2 1其它一,710,概率论fx(x)=f(x,y)dy=1-X 7 0,|x|1当|x|vl时，有人ix(yl%)=/x（x）-Jl -2 V y V Jl-，概率论即当|x|l时，有.fyX(/I%)=2,1-炉X已知的条件下Y的条件密度Vl-x2 y Vl-x2y取其它值概率论例5设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(oavi)时，数傩区间(%,i)上随机地取值.求y的概率 密度.解依题意，X具有概率密度 fl,0 xl其它对于任意给定的值x(0 xl),在X=x的条件下，Y 的条件概率密度为fyx(J I e)11-X 0,X J 1其它概率论x和y的联合密度为已知边缘密度、J条件密度，求/(占 J)=fx Mfyx(y I%尸二二 联合密度1 八 1-,0 x j1 I-X0,其它于是得y的概率密度为 一/y(j)=J/(x,y)dx Jco占二一颂1以4o jO,yx 10,其它求/X|y(x|)概率论i.对于二维正态分布，在已知x=条件下，求y 的条件分布.解 设（x,v）1，2足冠,）,则其概率密度为f(x,y)=-/9 exp2。2-1-X的边缘密度为(小fx(x)=re 2 可7 2 O概率论在x=条件下，y的条件概率密度为4国（小）=/(x,y)/x(x)pXx-fi22(1-/)L/概率论2.设（x,y）的概率密度是/（%,）=求 fx|y（R|y）ey,xQ,yx：0,其它解（x,y）关于y的边缘概率密度为人3=0,0,J0 时，若o X0时，yy=x加（巾）=ey 90 x y9l,I0,其它.概率论、小结这一节，我们介绍了条件分布的概念和计 算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如 何计算条件分布.请课下通过练习进一步掌握.概率论第四节 相互独立的随机变量等随机变量相互独立的定义O课堂练习e小结概率论一、随机变量相互独立的定义设x,y是两个小，若对任意的xj,有P(X x,Yy)=P(X x)P(Y 0,j 00,其它问x和y是否独立？解 fx M=f xex+ydy=xex,x0JOpoo/fY(j)=xex+ydx=e-yy 0概率论即 A3=1，Xx 0,其它f,J0 八,一 0,其它可见对一切x,y,均有：故x,y独立.概率论若(x,y)的概率密度为2,0 x y,0 y 1=5 其它情况又怎样？解 fx(x)=C2 dy=2(1-x),0 xlJxfY(T)=2 dx=2 y,0j1由于存在面积不为0的区域，f(x,j)/x(x)/y(j)故x和y不独立.一一 一概率论例2甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如 果甲来到的时间在12:15至!)12:45之间是均匀分布.乙 独立地到达，而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀 分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5 分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解设x为甲到达时刻,y为乙到达时刻.以12时为起点，以分为单位，依题意，丘 X-17(15,45),yU(0,60)XT R,15x 0%60/y(J)=1600,其它1/(%)=(1800、，由独立性15 x 45,0 y 60其它解一p（|x-y|5）=P(-5X-y5)p45 px+5=f dydx J15 Jx-5 1800=1/6.p45 p60P(Xvy)=-dydx工5人1800=1/2.概率论类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头 只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出 的概率.概率论解 设X为甲到港时间,y为乙到港时间以凌晨为起点，以小时为单位，依题意,XU(0,24),yU(0,24)1%(x)=j 24、，f 10 x24其它人(y)=240 y 240,其它概率论1576 0,0 x 24,0 y 24其它由独立性知，所求为P(2vxyvl),概率论在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等 可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间 隔小于05秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信 号互相干扰的概率.Q O 0概率论例3盒内有个白球，旭个黑球,有放回地摸球 两次.设1,第1次摸到白球 0,第1次摸到黑球y_1l,第2次摸到白球0,第2次摸到黑球试求(i)(x,y)的联合分布律及边缘分布律；(2)判断x,y的相互独立性；(3)若改为无放回摸球，解上述两个问题.概率论解(1)(x,v)的联合分布律及边缘分布律 如下表所示：由上表可知 为=P/P.j=故x,y的相互独立.QOO概率论(3)(x,y)的联合分布律及边缘分布律如下表所示：概率论由上表知:p(x=o,y=o)=-1)mm+np(x=o)=p(y=0)=mm+n可见p(x=o,y=o)w p(x=o)p(y=o).故X,Y不是相互独立.概率论三、课堂练习1.设随机变量(x,r)的概率密度是f(r|j|x l,f)o,其它.问x和y是否相互独立？2.证明 对于二维正态随机变量(X,F),X和Y相互独立的充要条件是参数P=O概率论1.设随机变量（x,y）的概率密度是u，yx,Oxl,其它.问x和y是否相互独立？解 人(%)=kfy=2儿 0 xlJ xf Idx=1+y(-1 y 0)/y(y)=；：,J Idx=i-y(0 y 1)j)/x(x)/y(j)故 x和 y 不独立.概率论2.证明 对于二维正态随机变量（x,y）,X和Y相互独立的充要条件是参数P=O.证：已知二维正态随机变量（X/）具有概率密度“1-1（%-41尸一加2啊%必7叫永功厂00 x 00,00 y 8,概率论而二维正态随机变量的边缘概率密度为7x()=匚 2A(x)=Je I 7 2啊gL令t=、x l l.I-P-,贝！I有%Jfx(X)=/、2,1(%4i),2(%-41)一e 2/e5=_JFF.岳2%J.2 兀%(%一 i)2 2；(-00 X 00)概率论(尸2)2同理/y(j)=-J=e 2 (-X J oo)可见，p=0时，2啊%2%与反之亦然，所以得证。概率论、小结这一讲，我们由两个事件相互独立的概念 引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各 种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学 们牢固掌握.概率论第五节 两个随机变量的函数 的分布 z=x+y的分布.Af=max(X,Y)&N=min(X,y)的分布课堂练习0小结概率论在第二章中，我们讨论了一维随机变量 函数的分布，现在我们进一步讨论：当随机变量x,y的联合分布已知时，如何 求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布？概率论、Z=X+Y 的分布例i 若x、y独立，尸（乂=左）=欢，左=0,1,2”，P（VF）=瓦,仁0,1,2,，求Z=X+Y的概率函数.解 P（Z=r）=P（X+y=r）r=Zp（X=。=r-i）i=0=p（x=i）p（y=i）i=0由独立性=aQbr+a1br_1+.+aJbQ r=0,l,2,概率论例2若x和y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布,证明z=x+y服从参数为4+、的泊松分布.解依题意P(x=i)=”0,1,2,p（y=j）=于是j!j=0,l,2,.P(Z=r)=p(x=i,Y=r-i)i=0概率论P(Z=r)=P(X=i,Y=r-i)i=0r i=次4%i=0-(4+4)1r!-(4+4)1r!幽(r-i)!r!y七 i!(D!i QY-i 44(4+4);r=0,1,即z服从参数为4+4的泊松分布.概率论例3设X和y的联合密度为/(%,)，求2=*+丫 的概率密度.解Z=x+y的分布函数是:Fz(z)=P(Zz)=P(X+Yz)=j j f(x,y)dx dy D 这里积分区域j):x+y zx+y=z它是直线X+J=z及其左下方的半平面.概率论厂zg=f(x,y)dx dy x+yz化成累次积分，得poo rz-yz(z)=j f(x.y)dx dyJ_00 J_00yx+y=z固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令产啖得 产”2=/(-y)dudyJ_00 J_00变量代换、CZ 产=fu-y.y)dyduJ_00 J_00概率论rz 产约=I fu-y.y)dyydu J_00 J_00由概率密度与分布函数的关系，即得z=x+y的概率 密度为：fz(z)=Fz(z)=f(z-y,y)dyJco由x和y的对称性,心又可写成fz=FZ=f(x,z-x)dxJ00以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.概率论特别地，当x和y独立，设（x,y）关于x,y的边 缘密度分别为心a）,/心），则上述两式化为：/z（z）=f/x（2-y）人（y）力J00poo/z（z）=J fx MfY（z-x）dxJ00卷积公式F面我们用卷积公式来求2=*+的概率密度.概率论例4 若x和y独立,具有共同的概率密度 L 0 xlfM=0,其它求2=乂+丫的概率密度.解由卷积公式poo/z=J fxMfY(z-x)dxJ00为确定积分限，先找出使被积函数不为0的区域，41 也即0z-xl0 xl0z2概率论/z(2)=fx MfY(z-x)dxJ00故当0或zN2时，fzh)=O当0zl时，/z(z)=J：dx=z当12时，z(z)=J：ix=2-z于是z,0 z 19 fz(z)=2-,1422,0,其它.概率论例5若x和y是两个相互独立的随机变量，具 有相同的分布N(O,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式poofz(=j fxMfY(z-x)dxJ001 x2*(z-x)21 f 00 e 2-e 2 dx2tt J-1fe 2-e(x2 zx)dx 2%J-821-f 00-(X-)2：e 4 I e 2 dxIn J-8概率论z2e 4 Inz Z 2,00(X)|e 2 dxJ 00令t=X李得z2z2z2二 1 2ti,y/2可见z=x+y服从正态分布n（02）.概率论II-若x和y独立,具有相同的分布n(o,i),贝!|z=x+y 服从正态分布N(0,2).若X和y独立，X 结论又如何呢？用类似的方法可以证明：z=x+y n)此结论可以推广到个独立随机变量之和的情形，请自行写出结论.概率论更一般地，可以证明：有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态 分布.课本例二概率论二、z=y/x和z=xy的分布设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有联合 概率密度电厂）,则2=丫正和2=乂丫仍为连续型随 机变量，且概率密度服从如下分布(00fY/x(z)=xf(x,xz)dxJ-001 Z&(2)=-f(x-)dxJ-x X证明详见课本概率论三、M=max(X,19及N=min(X,Y)的分布设X,y是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为心和耳心)，我们来求M=max(X,F)及N=min(X,F)的分布函数.l.M=max(X,F)的分布函数Fm(z)=P(Mz)=P(XZ,YZ)_1丫 z由于X和y相互独立，于是得到M=max(X,y)的分布 函数为：即有Fm(z)=P(Xz)P(Yz)Fm(z)=Fx(z)Fy(z)概率论2.N=min(X,Y)的分布函数Fn(z)=P(Nz)=l-P(Xz,Yz)Nz=Xz(Yz由于X和丫相互独立，于是得到N=min(X,F)的分布 函数为：Fn(z)=1-P(Xz)P(Yz)即有 F(z)=1-1-)1)概率论设义,是个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为%(z)(i=l,我们来求 M=max(Xi，,X)和N=min(Xi，.”X)的分布函数.用与二维时完全类似的方法，可得M=max(Xlv.?XJ的分布函数为：尸M(z)=尸X(z)/2(z)x“(z)N=min(Xi，,X/的分布函数是Fjz)=l-1-FXi(z)l-42 FXn 概率论特别地，当为,X”相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，有一=?(4Fn(z)=1-1-F(z)Y概率论例6设系统L由两个相互独立的子系统右,乙 连接而成，连接的方式分别为串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统4损坏时,系统七开始工作)，如下图 所示.设LL的寿命分别为x,y,已知它们的概 率密度分别为ax、ae 0,/x(X)=10,4(y)=fiePyo,o,yo,其中且口工从试分别就以上三种连接方x 0 9概率论解串联的情况由于当系统4中有一个损坏时,系统L就停 止工作，所以此时L的寿命为Z=min(X,V)因为X的概率密度为4 4九()=V 7 1o,x0,所以X的分布函数为%(x)=概率论b*（%）=L，x O当 x0 时，=+由=_ax故/（）=|ox 0 xx 0,x o,”Q OOO概率论于是Z=min(X,V)的分布函数为4()=LlFx(z)lFy(N)一皿)0,。z0,Z=min(X/)的概率密度为*/min(?)-min(%)-0,z0,0,z 0,一：0,z9 即 0y0,上述积分的被积函数不等于零.故当Z0时，fz=J：“e 一%-讪概率论fz=人一例办=afl eazfi-a于是z=x+y的概率密度为/zW=a 9，az-epzz 0,z0.概率论需要指出的是，当为,，土相互独立且具有相 同分布函数F(x)时,常称Af=max(X,X)，A=min(X19,X/为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等 等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用 价值.概率论三、课堂练习设X、y是相互独立的随机变量,它们都服从正 态分布n(o,02).试验证随机变量z=Vx2+y2 具有概率密度，Z(Z)=Z e(70,彳,zNO,其它证：X,Y为独立的正态分布函数，且满足N(0/2 如果有z=sIx2+y2，求z的概率密度。%(2)=p(z z)=p(Vx2+r2 z)=P(X2+Y2Z2)=JJ fy)dxdy=JJ 白-y 9 2,2x+y z2 0明一一概率论Z的概率密度为z)z(z)=d(l-/21/dz0)据上，即得证。概率论、小结在这一节中，我们讨论了两个随机变量的函数 的分布的求法.概率论概率统计习题课三概率论一、填空题1.设pX N 0,y N 0=T，尸X 0=PY 0=y,则 PmaxX,y0=5/7.解 maxX,y0oX0,y0.PmaxX/0=PX 0/o=py 0=-,3 7所以 pxo=pyo=,7 4又因为 P（xo）u（y o）=ipxNo,y no）=4 4 4 2 i J 7故 Pxo,yo=+7 77 7概率论2.已知X、Y的分布律为010 11/3 b a 1/6且x=o与x+y=i独立，则”,b=解 Px=o,x+y=i=Px=o.y=i=a px=q=px=o,y=0+Px=o,y=i=a+；px+y=1=Px=o,y=1+Px=i,y=o=+方概率论因为x=o与x+y=i独立，所以PX=O,X+Y=1=PX=0PX+Y=1即 1a=(a+b)联立 a+b+=lJ o得至！J a=.3 6概率论:、选择题1.已知Xp x2相互独立，且分布律为X.0 11/P 1/2 1/2（，2）那么下列结论正确的是屋.A.*=X.B.PX1=X2=1C.PXr=X2=l/2 D.以上都不正确概率论解X1=X2=X1=0,X2=0+Xi=1/2=1因为x2相互独立，所以PX1=0,X2=0=PX=0.pX2=0=1/4PX.=1,X2=1=PX1=1.Px2=1=1/4故 PX1=X2=l/2概率论2.设离散型随机变量(x,v)的联合分布律为(X,y)|(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P 1/6 1/9 1/18 1/3 a fi且x、y相互独立,则 a.A.z=2/9,/?=1/9 B.a=1/9,/=2/9C.a=1/6,夕=1/6 D.a=8/15,A=1/18概率论解因为X、Y相互独立，所以PX=l,Y=3=PX=1PY=3即 工=(2+/)(/+少)18 6 9 18 18解得 fi=1/9又因为 a+-+-+-=1 或者”+/二!6 9 18 3 3故 a=94概率论3.设 yN（2，。；），那么 x和y的联合分布为c.A.二维正态分布，且=0B.二维正态分布，且P不定C.未必是二维正态分布D.以上都不对f（x,y）=-2 exP2冗。2，1 一当x、y相互独立 时，则x和y的联 合分布为A.2（1-/）42概率论二、解答题1.一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷 中正面出现的次数，而y为正面出现次数与反面出 现次数之差的绝对值,求(x,y)的分布律与边缘分 布-解(X,y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3=(1/2)3=1/8、PX=1,Y=1=；=3/8 0 o 1/800PX=2,Y=l=-=3/8PX=3,y=0=(1/2)3=l/8.3/8 3/8 023概率论(X,Y)关于X的边缘分布Px=o=尸x=o,y=i+Px=o,y=3)=i/8,PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,y=3=3/8,PX=2=PX=2,Y=1+PX=2,3=3/8,PX=3=PX=3,Y=1+PX=3,y=3)=l/8.(X,Y)关于Y的边缘分布 3PY=1=PX=k,Y=l=3/8+3/8=6/8,PY=3=PX=k,Y=3=l/8+l/8=2/8.左=0 概率论2.设二维连续型随机变量（x,y）的联合分布函 数为F（x,j）=A（B+arctan）（C+arctan）2 3（1）求A、B、C的值，（2）求（x,y）的联合密度，（3）判断X、Y的独立性.概率论解(1)由 F(+oo9-oo)=0,F(一8,+00)=0,厂(+00,+8)=1,得到n 7tA(B+-)(C-)=02 2n nA(B-)(C+-)=02 2n nA(B+-)(C+-)=12 2解得 A=n,B=C=-n 2概率论（2）（x,y）的联合密度为f（x）JM 一 M dxdy/64+x2）（9+/）（3）人（%）=/（工。）刈6 f+0 1,二储（4+叱仃。2 v 2=7-arctan-=7-n2y4+x j 3 7iy4+x j（-00 X +00）pv概率论4（力【二/（/）血6 f+8 1%2（9+y2）L 4+x2 X3 x=7T）arctanIE3=Z7）（可见/（占了）=，x（x）4（y）（占了）衣.故X、Y相互独立.概率论(3)Fx(x)=F(x,+oo)=1%、/、=(+arctan-)(-0o x +00)n 2 24(丁)=万(+M=1 n y n n)(5+5)1/TT y、=(F arctan)(-00 y 02 2=P Y f(x,y)dxdy,其中 生j.概率论x=by=/4 b)概率论当月4时,px1 2-4y o=fj f(x,y)dxdy A=dxdyF 01 b=-1-2 24概率论当b4时,PX2-4Y 0=JJ f(x,y)dx dy=*Jj dxdy D2 4。4条从+SS 2折)+.134b概率论因而PX2-4YO=1 A-+,0b 434b可见 limPx2-4y 0 bis(=lim 1-L.概率论4.设（x,y）的概率密度是Ay（l-x 0 xl?0 j x/（X,J）=0,其它求A的值（2）（X,Y）的分布函数（3）两个边缘密度.f（x,y）dxdy解1=R2=可。”旬（17再Afi 2 3j=（X-x）ax2 J。=A/24故 A=24.概率论解(2)/=f(x,y)dxdy积分区域 D=(-oo9xx(-oo,j/(%,7)。0区域(x9j)|0 xl9O j x)当x0时，不论”0还是”0,都有耳(x,y)=O.当04xl,y0时，F（x,j）=O.当时，方（%,y）=2 ydyX（-x）dx2 3=24。（-+）y-V+-dy=3/-8/+12（x-x2/2）/.概率论当 0Vx时,厂(x,y)=24r Q-J7ydy-12/。(，_ x3)dx=4x3 3x4.当时,尸(x,y)=24 j：(1-x)dx y dy当 xNl,Oy 1,j 0 或”03/-8/+12（x-x2/2）0 x 1,0 j xF（%,y）=4x3-3x4,Q x x3/-8/+6j xl90 j l9 1概率论解(3)%(%)=8/(马丁)力当1或工0时，Vy(-%+8),都有/(x,y)=o,故/x(x)=0.当 04x41 时，_九(*)=/(马)方+f(x,y)dy+f(x,y)dy.概率论当04x41时，x(x)=L：/(x，y)dy+Jo)(x，y)dy+J；/(x,y)dy.=JoV24j(l-x)dy=12(1 x 综上，0 x 1或y 0时，对V%e(-叫 都有 x,y)=0,故/r(j)=0.当OVyVI时，人(3)=1/(x,j)j xJ00+1；ydx+J；fg y)dx2 4y(l x)dx=12j(l-概率论综上,人（y）=2 4y(l-y)0,0 j1 其它概率论5.设(X,V)的概率