《高等数学》课件-第4章 不定积分.pdf

firrrrijCE.第四早不定积分微分学的基本问题是“已知一个函数，如何 求它的导数那么，如果已知一个函数的导数，要求原来 的函数，这类问题是微分学的逆问题这就产生 了积分学.积分学包括两个基本部分：不定积分和定积分第一节不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念二基本积分表 三不定积分的性质（积分法则）)=cos X答案sinx+C原函数与不定积分的概念1.原函数定义如果在区间上，对，都祥/Fx)=/(x)那么函数就询为在区间上的原函数例如（sin%），=cos%.,sin%是cos%的原函数.问题：1.原函数存在的条件？2.原函数唯一吗？3.如何表示原函数?1)/(%)满足什么条件，其原函数一定存在？原函数存在定理：若/(%)在区间I内连续，则在区间I内一定存在/(X)的原函数.简言之：连续函数一定有原函数.2)若有原函数，原函数是否唯一？9例(sinx)=cosx sin x是cos%的一个原函数,sin x+C也是cos x的一个原函数.即：若于(x)有原函数，则/的原函数有无 穷多个.3)/(W的全体原函数如何表示?设昌的L氽扇函数，则设建的)另户给原函数，则歹(%)=/(%)Gr(x)=/(x).g(x)-F(x)=0=G(x)-F(x)=C.G(x)=F(x)+C(C为任意常数)/(x)的任何两个原函数至多相差一个常数.若F(x)是住V)的一个原函数，则/仕)的全体 原函数可表示为厂(x)+C.(C为任意常数)2.不定积分全体原函数的记号定义2在区间/上，设函数厂(%)是X)的一个原函 数，则/(%)的全体原函数方(”)+C称为/(%)的 不定积分，记作M任意常数 X?XZIV积分变量.收被积表达式 被积函数积分号f(x)的积分曲线不定积分是一族函数，称为积分曲线族.例 1 x5 dx.6，解乂到）=r x6/.|x5dx=-F C.J 6例 2 求 f rdxJ 1+x21解?(arctan x)f=-1+x2 I 7x=arctan x+C.J 1+工二基本积分表例如由于积分运算和微分运算是互逆的，因此 可以根据求导公式得出积分公式.xdx=-F C.+1口(*-1)基本积分表J kdx=kx+C(左是常数)r x+ixdx=-+CJ +1ln|x|+C(工-1)说明：X =lnx+c9J xx0 且 awl)J Ina例4解求积分I x2 4xdx.J 5 jx24xdx=(x2dx1X5-2X5,-+122-=-x27+C根据基本积分公式(2)-龙+1xdx=-+CJ +1+c三不定积分的性质（积分法则）j/(x)g(x)dx=J f(x)dx j g(x)dx;土=|j f(x)dx等式成立.-gxdx=/(x)g(x).（此性质可推广到有限多个函数之和的情形）J kf(x)dx=kJ f(x)dx.(左是常数，kwO)例5 求)dx。j i+x2 7rzm解 f(二T-=)dxJ 1+x2 日，=3f dx-l/1 dxJ1+/Ja/1T?=3 arctan x-2 arcsin x+C例6求1+X+X?-ax.x(l+x2)解f匕二二+(1+公J x(l+x2)J x(l+x)_ rf 1 1Y二I-大 H dxJl+X X)-frdx+dx J 1+x2 J X被积函数变形化 为两个函数之和=arctanx+In|x|+C例7求 f%-dxJ 1+x2r%4 1+1,解：原式=-dxJ 1+x2f(x2-1 d-)dxJ 1+xx3-x+arctan x+C.3例8求-dx.J 1+cos 2x解 f；-f-5-dxJ l+cos2x J l+2cos x-1-fdx=nx+C.2J cos2x 2例9：求cos2x2 2cos xsm xdx2 2解：原式=js%sin cos2 xsin2 x=cos x=J esc2 xdx-J sec2 xdx=-cotx-tan x+C注：被积函数有时需要进行恒等变形，再使用基本积分表.例9已知一曲线y=/(x)在点(x J(x)处的切线 斜率为sec2 x+sinx,且此曲线与y轴的交点为(0,5),求此曲线的方程./f(x)=sec2 x+sin x,/./(x)=J(sec2 x+sin xjdx=tanx-cosx+C,/(。)=5,C=6,所求曲线方程为j=tanx-cosx+6.-练习求下列不定积分 J制”(3)f tan2 xdx(ex+2-32x.-dx3X12解 Jd%=J(X 3+x3)dx2 53 3=一3 23 _|_ Q2 5邛4.中x+2-3xdx4-(-)x31)+2-3x/ln3+C思考同一函数的不定积分的结果形式是否唯一？解答不唯一例如r 1.一1I-dx=-arctan x+C;-dx=arc cot x+C3 1+x2 3 1+x2注：要判断不定积分的结果是否正确，只要验证结果的导数是否等于被积函数。作业P19 2 2（双数题）;5;6备用题1.已知J/%dx=Axy 1 x2+以心J a/1-x2求4,5.解：等式两边对X求导，得，一 x2 a/1-x2B+a/1-x2_(A+B)-2 Ax2J 一%2A+B=O fA=-1-2A=1 B=1X H-X)1x2r 1 x+r x+JJ(1)e Xdx=j e X(x+Ydx 1 JCu 三.1 lx=+-=ieudu=eu+Cx+1Xd e x+C.思考求f 1dx.J xlnx解 f-dx=j 1 d(lnx)J xlnx J In%|w=Inx=du=n u+CJ u=ln|lnx+C.例4 求解 t.用x=-J(ln x)J x(l+21nx)Jl+21nx=-f1J(l+21nx)2Jl+21nxu=1+21nx=fdu=In|u|+C 2J u 2=In 11+21n x +C.一般地 2_(f(I nx)-dx=(/()4J X U=ln x例 5 求 f-r5dx.J a+x例6 求 Jf-J x-8x+25,r dx例7求J”一f x-a例 5 求 f-r5dx.J a+x解 f 2 1 2dx=J a+x I-dxF X1+人 a1 x=arctan+C例6对-dx.x 8x+25解dx=f Jf-dx一 4y+91 x 4=-arctan-+C.3 3思考求2x-3 7-ax.x 8x+25.c dx例7求一fx-a解：原式=f(-)dx2a x-a x+a _ 1 d(x-a)fd(%+)2a 3 x-a xa1=In|x-a|-ln|x+a|+C 2a1 x a=In|-+C2a x+a例8利品”，解 Ldx=x+1Z1dx解 J(l+x)3 J(l+x)3J号/-，备”1-+1+X1 2(1+x)2-+1+X2(1+x)2+C.+G乙例9 求 J esc xdx.sinx解法一(esc xdx=f 1 dx=jJ J sinx sin xdx-d(cos x)1-COS XU=COS X-Lw 1+uJ1.1-COS X=-In-2 1+cos x+C.解法二|esc xdx-dxJ sinx=f-dx.X X2sin cos2 2V=In|tan +C=In|CSC X-COt X +C.2sin 2sinsin 一 4%2 2 2注:tan=-=-2 x x.xcos 2cos sm 一2 2 21-COS X=-=CSC x-cot Xsinx类似地可推出J sec xdx=In|sec x+tan x +C.小结第一类换元法的实质是凑微分，将原来的微分 d%凑成新的微分4火工）,使原积分变成一个 可利用积分公式来计算的不定积分.在凑微分之前，有时需要对被积函数进行 变形，常用的方法有：有理化、加减项、三角公式变换等.二、第二类换元法问题，dx=?解决方法 改变中间变量的设置方法过程令x=sint t g7T 71、52n dx=costdt.j Vl-x2Jx=j Jl-sin、cos tdt二 j cos2 tdt.（应用“三角公式”即可求出结果）换元目标x=(p(t)0j f(x)dx=j f(p(t)(pf(t)dt=F(t)+c_八=/t(x)F-1(x)+c.易难注意换元的条件是什么？X 是单调、可导函数使用注意J f(x)dx=J f(p(t)(pf(t)dt-广)代换x=(p(t),一起换 代回原变量第二类积分换元公式例1求 j飞4-，dx.解令 x=2sin dx=2cos tdt t e71 71、22,-x2dx=j a/4-4sin21-2cos tdt=4 j cos2 tdt=2(1+cos I t)dtx=I sint=2t+sin2t+C=2t+2sintcost+C=2 arc sin+2 4X+C.2 2 2=2arcsin+a/4-x2+C.2 2例2求J=dx(a 0).x+a解令 tan/=dx=a sec2 tdt t I71汽、22,=dx=x2+a2-a sec2 tdt sec tan t=Inx+x2+a2+C1,C1=C-I na 例3求J=dx(a 0).a解当时(心令x=asec dx-a sec t-tan tdt te 0,I 2)f 1 A _ r asect tantdtJ/2 2aX-7 7x-a J atant=J sec tdt=ln(sec t+tan t)+Cx a/%22=ln(-+-)+Ca a=ln(x+a/x2-a2)-I na+C2 2x-aX sect=ln(%+Jx 一2)+a，g=C-I naa cost=x当 va时令=-xX 时，-=dx=ln(x+Vx2-a2)+ClV%2 q2=rdx=x-a-f=du J J2_2f-ln(+J it2-a2)+clii(-x+Ja?2 )+C=In-+C._ -x+V x2a?ln(-x-J*2)+和，G C-2 In a合并得J彳三dx=In x+Ji _2+q说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有(1)可令 =Qsin;(2)a2+x?可令 x=Qtan 门(3)Jx2-a2 可令=sec 九 最后回代时，画直角三角形来确定各个三 角函数的值.5（三角代换很繁琐）解 令/=a/1+x2=t2=1+x2 tdt-xdxf可f A：4-=i xdxJ Vl+x2tdt=j(t4-2t2+t1 2 1=/+，+c=(8-4x 5 3 152+3，)71+。.说明（2）以上例子所使用的代换为根式代换.被积函数含有场*1（。工0,为正整数）的因子时,时，可令t=ax+b,化简函数后再积分 在既可以用三角代换，又可以用根式代换的 情况下，需根据被积函数的情况来定.补例求解令=/6=欧=6/dt,r 1 _ r 6t 6t2,I Vx(l+Vx)t3(l+t2)l+t2=6/1；1力=6心白=.说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的 根式时，可米用令X=tn(其中为各根指数的最小公倍数)补例求J-%-dx x(x+2)解令=dx=7 d3t t*1*f=f-dt=-dtx(x+2)J(1V I t)1+2，+21、/1 1-ln|l+2f|+C=-ln|2+x7 l+lnlxl+C.14 14 2说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换=1.t基本积分表0(16)J tan xdx=-In cos x+C;(17)J cot xdx=In sin x+C;(18)jsec%6 Zx=ln sec x+tan%+C;(19)=cscx-cotx+C;fl 1 x(20)I-dx=-arctan+C;J a+x a a(21)=J x-a 2a x+a(22)J=dx=arcsin +C;V 1 x2(23)(i=dx=ln(x+Vx2+2)+C.G+a?(24)(i 1 dx=In x+J/_2+q例8求 f、1 dxJ a/4x2+9解 f 1 dx=f/=dxa/4x2+9 J(2x)2+3?4/d(2x)7(2x)2+32由公式(23)1 _f-y dx=-ln(2x+V4x2+9)+C.J a/4779 2三、小结两类积分换元法：J（一）凑微分I（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表（2）作业P207 1(5);(12);(14)2(4);(7);(9);(11);(20);2(22);(23);(25);(28);(32);(33)2(36);(37);(38);(40);思考题求积分J(xln x)(In x+l)dx.思考题解答v rf(xlnx)=(1+In x)dx?.|(xln x)p(ln x+l)dx=J(xln x);?6?(xln x)(xlnx)p+1-+C,plp+1In xlnx+C9 p=-l第一类换元法例题补充例9求Jjd”.解f1 5 1+e-e-dx=f-dxl+ex J l+ex=j 1-dx=jdx-j 1+e Jr 1=x-d(l+ex)h+ex，dxl+ex=x-ln(l+e)+C例I。求2X+3+S 1dx.原式=Ja/2x+3 J 2x 1G 2x+3+a/2x-1)(“2x+3-J 2x-)=：J J2x+3dx J J2x-Idx=；J 41x+3d(2x+3)-；J V2x-ld(2x-1)=+3)1)+C.思考求 J cos2 xdx=?rl+cos2x,=I-ax=J 2J cos3 xdx=?=J cos2 xd sin x=J(l-sin2 x)d sin x.sin3 x-=sinx-+C 3cos4 xdx=?求 J cos4 xdx.解 4/2、2.l+cos2x 2E COS X=(COS X)=(-)2_ l+2cos2x+cos2 2x 一 4 dx=2tdt原式=内2a=(尤山=2广1+1出1+J1+t 3 1+t=2,一-1)+山=(r-l)2+ln(l+O+C二(Vl+x-1)2+ln(l+Vl+x)+C例求J屋4dx（分母的阶较高）解dx2Jl+d(l+)a/1+31 x+a/1+u+C+C.x综合题例 15 设/r(sin1 2 x)=cos2 x,求/(%).解/f(sin2 x)=l-sin2 x,令=sin2 x n cos2%=1fr(u)=l-u,f(u)=j(l-u)du=u-u2+C21/(x)=x-x2+C.第三节分部积分法利用两函数乘积求导法则得到的积分方法设函数=()和y=v(x)具有连续导数,9(wv)=v+吟，UV9=(WV)一V,J uvfdx=wv-J u vdx,uv-vdu.分部积分公式应用一：两类基本初等函数乘积的不定积分如 J x cos xdx=?J xexdx=?|xln xdx=?J x arcsin xdx=?这类积分在具体计算过程中，如何正确地选定和v 显得非常重要.一般按“反对塞指三，后者先凑入”的原则确定和y.例1求积分Jxcosxdx.解Jx cos xdx=J xd sin xsinx-jsin xdx=xsinx+cos x+C.解()J x cos xdx=J cos xd 2 2X f x=cos x-I d cos x2 J 2x2cos x+Jsin xdx2显然，选择不当，积分更难进行.例2（练习）求积分J/eZx.解 J x2exdx=J X2dex=x2ex-jexdx=X2ex-xexdx（再次使用分部积分法）、r=x2ex-1J xdex=x2ex-21xex-exdx=x2ex-2（xex-ex）+C.例3求积分J e sin xdx.解 Je sinxdx=Jexdcosx=-excosx+Jcosxdex=-ex cos x+J cos xdex=-ex cosx+Jex cosxdx=ex cos x+JexJsinx=-ex cosx+(ex sin x-J sin xdex)-X(sinx-cosx)-j ex sin xdx 注意循环形式：.jex sin xdx=(sinx-cosx)+c.注意：此类积分通过产生循环形式的 等式求得不定积分.应该指出：对于被积函数是指数函数与三角函数 乘积的不定积分，既可选择先将三角函数凑微分,也可选择先将指数函数凑微分,出现循环方程以计算积分结果.般要通过产生实际计算时可灵活处理.如|ex xdx应用二：单个函数的积分补例4 求 J arctan xdx解 设=arctanx,v=巧由分部积分公式得原式二 arctan x-J xd arctan xr x 7=xarctanx-axJ 1+x21 f 1 2=xarctanx-d(Ax)2h+x2=x arctan x-ln(l+x2)+C补例5求J In2 xdx解令曲分部积分公式dv,2 2 I 2In xdx=xln x-xdln x=xln2x-ix-2nxdxJ x2 W=xln2 x-xdx-xln2 x-2 xlnx-Jxdlnx=xln2 x-2 xlnx-x-dxJ x=xln2 x-2xlnx+2x+C补例6求积分 J sin(ln x)dx.解 J sin(ln x)dx=x sin(ln x)-J xJsin(ln x)=x sin(ln x)J xcos(ln x)dx=x sin(ln x)-x cos(In x)-j xJcos(ln x)xsin(ln x)-xcos(ln x)+j xJcos(ln x)=xsin(ln x)-cos(ln x)-J sin(ln x)dx*e J sin(lnx)Jx=sin(ln x)-cos(ln x)+C.应用三：分部积分前先变量替换或凑微分等 例 7 求解令 Vx=t.贝！J x=/,dx=ltdt原式=Je ltdt-2J tdd-2k-2Jefdt=29-2/+。=2e&-2e+CdCOSX 7 J sin x解原式二乎s，尤=-f=-f xdesc2 xJ sin x 2J sin x 2J=-(xcsc2 x-jcsc2 xdx)-(xcsc2 x+cot x)+C 例8求积分j sec3 xdx.解 J sec3 xdx=J sec xd tan x=sec x tan x-j tan xd sec x=secxtanx-|secxtan2 xdx=sec x tan x-J sec x(sec2 x-l)dx=sec x tan x+J(sec x-sec3 x)dx=secxtanx+ln|.sex+tanx|-jsec3 xdx 注意福环形式r q 1-4SeC xJx=-(secxtanx+In|secx+tanx|)+C.小结分部积分法及常见应用（三种类型的题目）直接积分法积分法-换元积分法-凑微分法（第一换元积分法）第二换元积分法分部积分法作业P2123;4;5;7;8;9;11;20;22补例9已知的十阶原函数是，求6*解 由条件J/(x)dx=e-,+C,/(x)=(exy=-xeJ xfx)dx.-x2：.jxf(x)dx=j xdf(x)=f(x)dx,=-2x2e-x-e-x2+C.补例 10 设 f(siY%)=cos?招 求/(%)解 令=sin2%n cos2 x=l-八)=1一，f u)=J(1-ujdu=_ 5 2+Cj12c/(x)=X-X+C.练习J 一 arcsinx arcsin x ea/1-x2dxJx arctan xV1+X2dx.(3)J sec3 xdx.arcsin x earcsin xdx解原式=J arcsin x-earcsinxJ arcsin%=j arcsin%Jearcsinx=arcsin xex exd arcsin x_八arcsinx _arcsinx.厂arcsm xe-e+Cmi 八 r arctan x例求积分J dx.解.卜1+=XJ1+，fxarctanx tanxd?41+x2 Ja/1+x2 arctan x-J a/1+x2J(arctan x)=a/1+x2arctanx-Ja/1+x2 dr l+x2=a/1+x2arctanx-f/2dx+x 令 x=tan t.2dx=-=sec2 tdt=(sectdtJ A/l+x2 J Jl+tan2/J=In|sec/+tanr|+C=In|x+71+x2|+Cr x arctan x,I、.dxJ Jl+x1a/1+x2 arctan x-In|x+x2|+C.例 4 求积分 J xarctanxJx.解 J x arctan xdx=|arctan xd(、)，X2arctan x-J 6d(arctan x)2 2.x 4 2 1/-arctanx-I-dx2 J 2 l+x22 1r p 1arctan x-I-(1-2 J 2-T)dxl+x22 1x 1一arctan x(x-arctan x)+C.2 2例5求积分J x3ln xdx.解 r 3,i 3.，j x In xdx=J In xd 1 4,If 3 w=-x Inx x dx4 4J1 4,1 4 c=-x Inx-x+C.4 16规律:若被积函数是幕函数与对数函数或反三角 函数的乘积,一般选择将幕函数凑微分.第四节有理函数的积分有理函数的积分三角函数有理式的积分一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.P(x)_ aoxn+a1xn1 H-an_lx+anQ(x)=b.xm+b1Xm-l+-+bm_1X+bm其中机、都是非负整数；Go，%,。及 品，伉，,图都是实数，并且旬。0,%工0.假定分子与分母之间没有公因式(1)nm,这有理函数是真分式;(2)之山，这有理函数是假分式;例如1 x2+lx+1x2+l-真分式;真分式X3+X+1X2+1假分式;利用多项式除法或加减项，假分式可以 化成一个多项式和一个真分式之和.例+x+1 x(+1 J-hl 1X2+1 X2+1 X+x2+1难点真分式的积分化为部分分式之和.x(x-l)解法加减项法例11-X+Xx(x-l)2x(x-l)21-X X=-1-x(x-l)2 x(x-l)21 1+-x(x-l)(x-1)2,1 _ 1 1 _1_x-1 x(x-1)2-x+(x-l)2-x-l解法二待定系数法例11 A B C,-1-1-x(x1)X(x 1)(x I)2l=A(x-1)2+Bx(x-1)+Cx(1)代入特殊值来确定系数A.B.C取=0,=4=1 取 x=l,=C=1取*=2,并将A,C值代入(1)n 3=1111 1-=-|-x(x-l)2 x x-1(x-1)2有理函数化为部分分式之和的一般规律：(1)分母中若有因式(工-。)3则分解后为其中4,4，,4都是常数特殊地：4=1,分解后为；x-ak=2,分解后为-+4.，(x-q)(x-a)(2)分母中若有因式(必+加则分解后有 Mx+N；X2+ax+b1_4&+C例2(1+2x)(1+x2)-1+2x+1+x21=A(1+x2)+(Bx+C)(l+2x整理得 1=(A+25)，+(5+2C)x+C+A,A+2B=0,4 2 15+2C=0,n A=,3=,C=,5 5 5A+C=l,I J4 21-X d_1_=5 5 5(1+2x)(1+x2)l+2x 1+x2*二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义:由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之.一般记为K(sin%,cosx)Y X2 tan 2 tan e X X 7 2/sinx=2sincos=-=-2 2 2sec 1+tan2 22%.2%cos x=cos sin 2 27 X 9 X1-tan2 1-tan22 2cos x=-=-2 X f J 2u 1-21 2J J 1+u2 l+u2）l+u2、-r 八 r sinx,例1求积分J:l.-dx.1sin x+cos x解由万能置换公式sin%=产),1+u1-u2 J 2 Jcos x=-7 ax=-4u,1+u2 1+u2sinx,f 2u-dx=-1+sinx+cosx J(1+u)(l+u)f 2ll+1+1=J(l+)(l+2)-du1+u=arctan u+ln(l+u2)-nl+u+C 2xe u=tan 2X x X5+In|sec|-In 11+tan|+C./2 2作业P218 1,2,6,*16例3求积分z 1.dx.J x(x-l)解 f1-x=f|i+J X(X-1)2 J|_X(x-1)2 x-1=dx+-dx-j 1 公J x J(x-1)2 J x-1=Inx-x 1-ln(x-l)+C.第五节积台表的使用第四章积分计算比导数计算灵活复杂，为提高求积分 的效率，已把常用积分公式汇集成表，以备查用.如P374附录IV.积分表的结构：按被积函数类型排列积分表的使用：1）注意公式的条件I 2）注意简单变形的技巧注：很多不定积分也可通过Mathematica,Maple 等数学软件的符号演算功能求得.例1求k 了J 5-4cosx解：这里=51=4,应使用P381公式105.r d x5-4cosx2 15+(-4)二-一；一二 1-arctan5+(-4)V5-C-4)(/5+(4)x)J/-tan-+CV 5 (4)2)X2 八=-arctanl 3tan-l+C32；例2.求dxxa/4x2+9U J I/2+32NE.3u+C原式=J解法1令u=2x,则fdum/2.q 2 J/2.q 2yA/W+3 u7u+3乙（P376 公式 37）JnVHEz33 u+C=3lna/4+9 3 2 x+C例2.求dxLa/4?79解法2 令 +9,贝U/=4+9,mW=4xdxr 4 xdx r du原式（P375 公式 21）=6lnu 3+c=ln oa/4x2+9-3 a/4x2+9+3+CM+3 a/4x2+9-3+C=In-.3 2 x+C例3.(x+4)dx+2x+4)J x?+2x+5解：令x+1=2tan九贝U dx=2sec?%出但f r 2tanr+3-,原式=I-2sec tdt(4 tan t+3)2 sec tr 2sin/L+3cos/L.二2-天也J 4 sin r+3 cos tc sinZdZ or cos rdf9 9 9J 4 sin r+3 cos t J 4 sin r+3 cos tdcos?or dsin?=-2-+“?-J 4-cos t,sin(+3=-2 5+3,J 4-cos21dsinZ sin2?+3（P375 公式21）（P375 公式 19）x+l=2tan/L*1 1 2 cos（=-ln-2 2+cos/+V3 arctan（sin 八3）+C=2ln%?+2x+5-1+2x+5+1+V3 arctanX+lA+C