工程数学线性代数(同济五版)课后习题答案.pdf

2 0 11-4-1-1 8 3=2x(-4)x 3+0 1 8-Ox l x 3-2(-l)x 8-l x(-4)x(-D=-24+8+16-4-4.a b c解 b c ac ab=ac b+bac+c ba-bbb-aaa-c c c=3abc-c-b3-c3.1 c-1 6讲1(3)J“W C寸 c4c/+旅优二岫(k)(C-0,i v.Hr r r(4)j x+J 卜中i v r/,x y H j 解 y x+y x r wHi,x y J二中卅代1#+力+（杜小巧=3M+犷匕，w r/r J/=-2（丽.4 J1J;S 21,41,41加3“图1挪解逆序数为华：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2.7 4,7 6(3 个)(277-1)2.(277-1)4,(2/z-l)6.一，(2/z-l)(2z?-2)(az-1 个)解逆序数为（尸1）：3 2（1 个）5 2,5 4（2 个）（2al1）2,（力z-l）4,（2l1）6,（2w-1）（2az-2）（n-1 个）4 2（1 个）6 2,6 4（2 个）（涮2,（2n）4,（2n）6,（2）（讣2）（n-1 个）渭螂渊慨肝岫视解含肝。他的醐一辘描H)%侬网其中雇2加4构成辨例研聊快蒯个，即24和42.般含肝。饱的财睚H九例幽4二%磔如产岬2独泡4川。曲伽4尸卜临曲例篇。他呼42，4.计算下列各行列式:44 11I o=1 O0 2 4 _ 一901742072021125 141O4 9 Au 7/2 o 2 111 2 CJ 11 4102 O 2 1 11 2 3 O4i 11 5 Au9c30117与 n-nz+0 2 4 -11 nz 3 41=1A1-2 336Auv A/-Auv A/-4 CM zhv020o4 3-1411 一.A/14 A/-ro A11 一解o=0 0-00 4 o-o HA-A/Auv 1-i o_-ab ac ae解 bd-c d d e-ad f b bf c f-e f bbf c f-e f-1 1 11-1 11 1-1c e-c e c-e=4abc d e f.OOI 1 CT 甘TO00167 o c-111 TP-o Too/11+ab a 0|c3+(c2+ab a ad=(1)(1)2+1 1 c 1 1 c 1+c d0-1 4|0-1 0=(-1)(-1)ad l+c d-e ibc d+ab+c d+ad+1.5.证明:a2 ab b22a a+b 2b1 1 1明 证出为1t2Alc2-ci fl2 a ft-a2 b2-a2似 ba 2b-2a c3-q 11 0 0b2-a2助-2。二-映-啷1曲T。阳。曲 r r础而窗枷r/丽丽砒r IE r 川:I;I:n r证明a v+Z)v 71力（ml）=（-1）2 口-1-/）瓜-1）n+（w-l）+-+1=（-1）（-1）-一 口（一）=!（，）+&；1(4)为 二4*q 4%解4月=q Aqaa（按第i行展开）4如0o 4.1qbq 4h i W-l+（T产为qU a于是而w1 0%o o 44.i o再按最后一行展开得递推公式。方-4即。2=（。/同；瓦:。/）/）2-2,/一%=PI（M-皿）。2.A-z=2q 4二q d-c.所以-%)./-I解3210 71 A cn A 11 11 0123。“二 det(q 0=ii1 ii2 一3 一4-1111 1 1 1 1 1 1 1 1-1 1 1 1 11-1 11-2 72-3 72-42 ooo-721 112 7/3 774 01 11 10oooo-J其中岫碱.0 0 0-q 00C一%q0 U-q 0 0 0 0 00 1 00-1 10c o T1 二 w4.0 00 0 00 1 00-1 100 11-C .一%0 00 0 0 10 0 10 0 1 0 0-0 0 a；1 0 0 可1 T 1心-0 1 l+4i 0 0 Of1 0 0 对 1 0 0 可 1 ,T 1 Hl二(w q)Q+8.用克莱姆激懈下列方程组:%+M+N+M=54+为不+也二一2.4-3丁13-5,14二-2 Sx+x.+l Yo+l k-OI 1 4 J为 因解-O-4-A-一=3-万-2-=马91=Az)-以 所%+68=1他+6号 二。x2+5,x3+6x4=0.$+5为+6*二 0+5*二 1为 因解=-1145,000650065 1065101A 1X510 0 0o o o 6 51A 11 06510 65100 510 0 0一一A2 511 62 6o 6 7 6-000650065106510=150703 7-65100510 0 0=00065 0065 106510 6 5 10 0o-400065006511 Il6 5 10 0si o o o=A21A2 一一1X 11 00651 065106 51005 10 0 0=A=%以 所伏+0+3二9.问4 取何值时.齐次线性方程组+0+玉=0有非%+20+工3=0零解？解系数行列式为2 1 11D-1 1 2 1|令D=0.得4。或在1.于是,当归0或/二1时该齐次线性方程组有非零解.f(l-2)怎_ 2%+4七=010.问丸取何值时,齐次线性方程组1=2或/二3时，该齐次线性方程组有非零解.(1-4)怎 _ 2%+4.%3=010.问X取何值时,齐次线性方程组口F+(3-丸氏+电工。、+.0+(1/1)工3二0有非零解？解系数行列式为1-2-2 4 I-3+2 4D=2 3-2 1=2 12 11 1 1-2|1 0 1-A二(1-2)3+(/-3)4(12)-2(1 2)(3一丸)=(1-2)3+2(1-2)2+2-3.令D=0.得公0,2=2或公3.于是.当公0,右2或公3时.该齐次线性方程组有非零解.1.已知线性变换:*二2乂+2%+为0=3册+%+5弘，壬=3.乂+2%+3y3求从变量M,工2,X3到变量的线性变换.解由已知:/=6叫+3.07%.y3=3xl+2x2-4x32.已知两个线性变换=2 K+y3 jj=-3;i+吃y 二一2另+3为+2y3,(10).(3)1(-1 2);解，2)1(-1 2)2x(-1)2x2)=1x(-1)1x2/xJb 3x2；(-2 4)=-121-3 6)解6-7 8120-5-6；%3羯人引解%小，“王、（怎 X2 X3）q 2%。23。33人电 JX、二（1述1+。12.丫2+。13丫3 1K1+。22.丫2+。23丫3。13丫1+。2K2+。33丫3）X2=C4田+%+%君+4 2苒马+29 3%玉+2。2/2天.5.设*B=(课问：k1 DJ V 乙 J(1)AB=R4 吗？解 ABBA.因为月3=(；2,A4=(；所以招工34(2)C4+3)2=/2+2+32 吗？因为4+3=（；,（+叫我凝盟），但小一+叫评砥机卜瑞野 所以（月+3）2=/2+2如+32.(3)伊联4-8讨4吗?解(4+3)(4-5闷2-呼.2 1 o ODD-4A2 52 2B+4 为 因而 1一出一口 8/1。一 28叩 A”14 11；3 4f!v 1 7y故(4+3)(4-3)4 2一胜6.举反列说明下列命题是错误的:若/=0,贝吐0;a o o z/flx=取 捽 电则月2=0,但44).若/=4贝口=0或/=E;解取二13)，贝U/2=4但Q0且HmE(3)若Afe4K 且加0,则用Y.一网x D则Afe 4K且4w 0,但其F.7.设4=（；17（A 1 0、8.设,4=0 2 1，求屋.解苜先观察尤o O 一一l 1X0 go V 7 o 1 A 1 A o golo-fr2/2A/01227A3=A2-A=a4=a3-a=无O 00o O4宏6/4牙0于/U5 5才 1013/5二月4./二0才5才J 0 无，尤比产T.（左一1）小一2Ak=0 尤 认T0 0/J对称篝3为阶矩阵，且$为对称矩阵，证明小也是证明改冉则（岫侬加从而闻也朗称懈证明由已知:三4於充分性:AB=BAaAB二 BaJaB二（明、即忍是对称矩阵.必要性：网丸二/aJ、Aar4=AB.11.求下列矩阵的逆矩阵:解 4=（晨）.|4|=1,故4存在.因为故 八导*=匕一）.俨3年一 明伴3 二位、体03泗S-丫印W，二*F-伊oj(4伊03例用(i 2-r(3)3 4-2;15-4 1)zi 2-r解=3 4-2.川二2工0,故41存在.因为 15-4 1Jf4i 4 4 I 2 o4*二&32423 4J-13 6-1,c32 14-2所以=4*I用_9-161 03-7-1q q o（遍2凡工0）.0 工I an）q o解 A=Qj.,由对角矩阵的性质知 0k 4/12.解下列矩阵方程:(2 1 f a _1 3、k1 1 1 7/._i 32 1-1Y 解腔h叮二.Ao 1 of2-1 0)1 3-4、1 0-2；-I o 1 o 2 1 oOOI。1 c?:3)解3To=C1 3 OOI loo/I X/OOI loo11 o I XI/4/(Xloo，_、;3To 4)0-o-OOIloo12 1)2 o-1一6o 1looo 1 o-X解0Y1)2 八101100-o1013.利用逆矩阵解下列线性方程组:8+2q+3.q=l(1)2 1+2%+5%=2;、3.3+5%+、3=3解方程组可表示为故XI1 o O _-%二1 从而有x2=0.壬二0X _马_*=2(2)21-马一3.q=1.3x+2q _5.q=0解方程组可表示为A IA-2r I=、7%M M1 2 3二 0,故5 0 3=-怎M M故有证明因为才二。，所以万/二E又因为 二#=(7)(月七4七12+.一七广1),所以(T)(+44+/-I)=E,由定理2推论知(T)可逆,且(7尸二加+/+/。15.设方阵4满足A0,证明j及7都碰 并 求不及(4+2短.证明由f7-2=O得 A2-A=2.&P A(,4-F)=2,或 Ag(A-&=E,由定理2推论知.4可逆，且，=1(4-.由-A-2E=O 得42TH6=-4.即(4+2殡4-3止-4及或(/+2)4(3Y)=E4由定理2推论知(4+2)可逆，且(+2与t=!(3ET),416.设/为3阶矩阵，|月上)，求|(24尸-5”.解因为占/*.所以Ml|(2/尸14|二|#一%|J J J二|-24-、(_2油18Kl=_8x 2=T6.17.设矩阵/可逆，证明其伴随阵/*也可逆，且(4*)一“-1)*.证明 由.4*.得*二母,所以当可逆时，有|4*|=*|/4一下履rJo,从则/*也可逆.因为/*=1447,所以*)T=Hp4又4二击(4-1)*=0T)*,所以 0 I*)T 二 Hl/二.切(47)*=7)*18.设阶矩阵/的伴随矩阵为/*,证明：(1)若|牛0,则以牛0;证明 用反证法证明.假设&*卜0,则有工*尸二E.由此 得,4T A*(,4*)T=H,(，*)T=0,所以4*=。，这与曰华0矛盾，故当用二0时，有4*|二o.呼川？证明 由于不二储*,则期工胭取行列式得到若津0,则田R4厂；若14=0,由知田卜o,此时命题也成立.因此*国4尸.f 0 319.设/=1 1L-1 9v 1-A fy 3 0 3,AB=A+2B.求 B.解由,如=/+22可得（5-2项3=4故3二（/一2项一/二f-2 3 3丫1 1 1 0v 1-17(0 31 1L-1 9 103J(0=-120.设/二11 11 zr IV、I/1A 11 O 2 0且 求 B.3、3 3 03 2 1解由AB+E=A?+B得(A-E)B=A2-.即(A-E)B=(A-E)C4+E).因为|月-|=loo o 1 oOOI=-U0,所以（,4-均可逆，从而Al110 3 02 0 1B=A十E=0 221.设/二di a g(l,2,1),，*区4=2区48E,求 3.解 由 A*BA=2B.4r 8E 得 0*-2)&4=-8,3=-8*-2)-4】=-8.4(4*-2)-1=-8(A4*-Z4)-1=-8(pi|-24)-1=-8(-2-24)-1=4月尸=4di a g(2,-l52)r1=4di a g(y,-l,y)=2di a g(l,-2,1).Z122.已知矩阵.4的伴随阵且*二J0且.4-1=3,+3瓦 求 3.解由田目4餐&得MFZ由 4&4-1二氏+3 得.45=3+343=3Q4-)4=3/3-/7)14 二3(44*尸=6QE4*尸0 0 0 8 o O 1 OO 1 O-1 7 o O 0-1 0 0 6 0 0 6 0 3 6 0 6 0-1IAo o oo o 1 o 0 10 31 o-loI 6一一11 求/o 2-1O23.设叫人A,其中P:二；，A解而故由尸,小A,得4二PAP1,所以屋二小可A尸.2产4嗯（，A二f-l of l 0 2j_(-0)-l 0 2nh4二f 1 f-1-4Y-1 o)3 I 1 认 0 2HJ 1 32731 2732、1 v-683-684/IX/_-A12 1OT24.设且尸=尸八，其中尸二解(A)=A8(5-6A+A2)=di a g(1.1 d)di a g(5,5.5)-di a g(-6.6.30)+di a g(1.1.25)=di a g(1,1,58)di a g(12,0,0)=12di a g(1.0.0).a，)=pA)krr 111-I/-11 1 n)2-o o o o o o25,凝白、，及,州轲送硼r铲也可退并证明因为伊硼三=鼠m0+8/是三个可豌阵的乘机蒯J（+M坷也 即/+R碰型hWY=购步%1、3 2 2 oo 1 o o1 o o o/_0 11310 2 02 10 01 o o o26.计算18 2 8解则 而以 所27,取 4二 B 二-C=DM|B CD|C|D44=AuHA.nV o o-D.oo oo oo CMCM Auvo 1HA Avo-17 oo 1 o11 GII1 oo 1 oAMV-B D解oDD D ho LT出区DD D而 故Of8 求Au A;O62 2zf-4-4 令8解则故。148=(4。丫/*0 一。4厂。财那目那|4泪4Pl 4F二i o叱X(4；。|-【。刈一?4 A Q-u U 6 9429.设阶矩阵4及s阶矩阵3都可逆,求(1)(0b o，(OC2JAC3 ACA(En O、B O)C3 BC2)-O Ej由此得所以口。3=纥C3=A-ACa=O cA=o BCX=O G=O、BG=E,c2=B-1(o aY_(o WI B O)T41 O y设仅=1扉则解由此得所以7。丫4 1g AD.=(En。6 bd3 da)cd1+bd3 cd2+bd4)o e$7*4 AD2=O cd+bd3=o cd7+bd4=e,匕.A4AA130.求下列矩阵的逆阵:(A-y 0 0 3 2 0 0 8 52 10 0-贝 8 5=B?/2 1 5 2 u I-阪 抨1-2 0 0、-2 5 0 0 0 0 2-30 0-5 8；0 0 3 20 0 8 52 10 05 2 0 O是XJ014 J30 0 0 4(/1 1 IX I7J 11 zr0 2-12-11 1A 04 41/设解X c o o 1-3 1-2 zr x-1-r1/01-0-1-65-4 moo 力,5 20 0 3 1早1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:2-B3 1(下一步 9+(-2)，3+(-3)人)4-31o o O 12 32 3 4 o o Orx!7 13 0 2 1 2-o o o loo（下一步臼一力）A 7 1 3 o 二 2 11 o o o loo(下一步也+(-1),臼+(-2).)解A-72 10 o o o loo-1、一3(下一步:3+3.)3U 0 2 T0 0 1 3(下一步力+3万),0 0 0 1 y0(下一步 n+(-2)z n+万)2 10 o o o looA 7 OOI o 1 o o o o loo z/mmkz0 2-3 r(2)0 3-4 3;AO 4-7-l ro 2-3 V解 0 3-4 3(下一步限2+(-3九,凸+(-2%.)(0 4-7-1J6 o?2 5 814 7/r k=y 11 11 o 1 oloo/r L OAO)loo e 1 e/殳fO 1 0、解1 0 0是初等矩阵(1,2),其逆矩阵就是其本身.10 0 U1 o O zr LVo r1 o是初等矩阵次1,2(1),其逆矩阵是01,7 11 11O 1 O loo以1,21)y o 1 1 o o oA 64 7-7 o 1o o11 o-是 于2 2 2 5 2 8 4 17 XT Lk=l/-1O 1 o 1 o loo/I 7 6 3 9 5 2 83.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:o O 1O 1 O loo(3 2 1 1 0 00 1 4 1 1 0,0 0 2-1 0 1,3 OO103 0 00 21 O2 10 0 7/2 2 一9/2)-1 0 1 1-20 1-1/2 0 1/2；OO I0 0 7/6 2/3 3/2)10-1-1 20 1-1/2 0 1/2)7 3-221-2-2-3O7-671-2 r-L故逆矩阵为勺-2 0-P-1ft鼎a-11喀41-21-34.(122 1 J=2 2,豺住止B;31-1.,解因为(4 1-2(AJ)=2 2 1J 1-1l-3Vfl 0 02 2-0103-ly 10 0 110 2 _15 _3,12(10 2、所以 XArlB=-15-3112 V0 2 1,(9(2)设,4二 2-13,5-3 3-4 J3，求X使X4=A解考虑4%求因为(0 2-3 1 21(/,的二2-1 3 2-33-4 3 1(2-4)所以 的二(/)一呼二-1 7,从而x二mJ m(1 0 0 2-4)0 10-1 7,0 0 1-1 4jz 1-1 05.设/=0 1-1.AX=2X+A.求 X l-i 0 1,解原方程化为(4-2隙二4因为f-1-l 0 1-1 0(4-2EM)=0-1-1 0 1-1-1 0-1-1 0 1,0 If-10 1,1-1 ojf 0 1-1)所以 X=(A-1E)-A=-10 1.、I 0；OOI o 1 o loo6.在秩是r的矩阵中、有没有等于0的广1阶子式？有没有 等于0的r阶子式？解 在秩是r的矩阵中,可能存在等于0的L1阶子式，也 可能存在等于。的7阶子式.o o Oo O 1O 1 O1 o O，_，=.H(/)=3.o O o Oo o Oo O 1O 1 O是等于0的2阶子式,是等于0的3阶子式.7.从矩阵/中划去一行得到矩阵A问43的秩的关系怎 样？解 R(A)R(B).这是因为3的非零子式必是/的非零子式.故/的秩不会 小于B的秩.8.耕一悌是4的推蝴陆帽t(1,0,1,0,0),(1,-15 0,0,0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角阵 矩1 1 1 o Oo o O 1 O o O 1 o OO4OOOo o o O/此矩阵的秩为其第2行和第3行是已知向量.9.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:(3 10 2、(1)1-1 2-1;U 3-4 4；（3 10 2、解 1 一1 2-1（下一步 no）3-4 411-1 2-1、3 1 0 2（下一步*3n，凸-n.）J 3-4 4j1 o O2 6 04 O1 o O-15(下一步门-2)力矩阵的秩为2,3 11 一1B,个最高阶子式（下一步 n-2%点一2%臼一34）5 o nz-3 7 8 28 0 5 313 2 0-2 2 3 1 zr（下一步吵16%臼-169.）T 3 2 22 6 4 3-_1 3 2 O-o o O 1/r LV1A6 40 0 22 0 0 31 o o O o o O 1 1 O 3T o O 2 2 0 0 31 o o O roo o 107 132 4 OO3 2 o O O 1 o O1 o o Ozf 1=70w 0是一个高阶子式.7 8 20 5 3矩阵的秩为3.10.设/、B都是丽矩阵，证明AB的充分必要条件是 H(/)=K(3).证明根据定理3,必要性是成立的.充分性设火=K(3),则/与3的标准形是相同的.设/与3的标准形为。，则有AD,DB.由等价关系的传递性.有4小.11设/二33 2才2 一 2 一 1左 zf 1;(2)尺=2;(3近=3.-1k k-1 k-0-(k-r)(k+2)(1)当杉1时,尺(5)=1；(2)当a-2且辰4时.火=2;(3)当1且心-2时.R(4)=3.12.求解下列齐次线性方程组:(1).+x2+2x3-.=0 2丫1+X2+.0-2=0；2千+2.0+%+2 玉=0解对系数矩阵,4进行初等行变换.有于是上=_3.丫4 4电二5七故方程组的解为4-334-31k为任意常数）.8+2%+-0(2)3X+6.4-电-*4二；5+10%+电-5 T4=0解对系数矩阵,4进行初等行变换，有 7 13 5O 2 一 zf1 O o O o OK502-是 于壮工0=2 6 0O 3故方程组的解为/-八一 1 o OT、+&0(内，府为任意常数).1 72+3.0-.0+52=0 3xl+x2-2x3-7x4=0 4%+._33+6.丫4=0，20+4.0-72=0解 对系数矩阵/进行初等行变换.有于是SOOL o O 1 O O 1 o O 1 o o O故方程组的解为3%+4.0-5电+7.%=0(4)2天一3.0+3.0-2.丫4=04%+11.0 一1*0+16%=0-2q+七+3 工4=0解对系数矩阵/进行初等行变换,有37070011 1111于是故方程组的解为（月左2为任意常数）.13.求解下列非齐次线性方程组:4.+2 访工二 2(1)3-在2+2%=10;111+3=8I?对增广蛹避翎等行变执有(4 9-1B=3-1 210,11 3 0 8y3-3-8、0-10 11 3410 0 0-6；于是砌二2,而R=3,故方程组无解(2)2x+3y+=4 x-2y+4z=-5 3x+8v-2z=13；4x-1+9二二一6解 对增广矩阵3进行初等行变换.有-12 o O2To OO 1 o O1 o o O、二一2 二 T于是，产二+2,即为任意常数）.2x+y-二+w=l(3)4k+2t-2二+w=2;2x+v-z-yv=l解对增广矩阵3进行初等行变换,有(21-1 1 n(11/23=4 2-2 12-0 012 1-1-1 1)0 0-1/2 0 1/2)0 1 00 0 0)y=y，.-1-1于是即=0（航力2为任意常数）.2丫+了 一二+w=l(4)3k-Zp+i-3w=4.丫+4期一 3二+5w 二一 2解 对增广矩阵3进行初等行变换，有、/7 7 0/6 57 7 0/-197 7 0/4 5_ _O 1 O 1 o O r I 7 14 26-75-7 十 一是 于(除检为任意常数).6-75-70 OI+7 1-79-70 1R n14.写出一个以+2 3 10-/r)4 o L为通解的齐次线性方程组.解根据已知.可得+0 k b与此等价地可以写成或或%=2q-J4c2 七二q，X4=C2=2x3-x4、工2=-3七+42&_20+2=0 用+3.0-4.=0,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15.切取何值时.非齐次线性方程组Axl+x2-x3=l%+20+0 二丸、%+.0+&3=至(1)有唯一解;(2)无舟果(3)有无穷多个解?1XA2 111111 2 1111 11/r(=3单(1 A 尤、0 A-1 1-A aQ4).10 0(1-A)(2+)(1-A)(2+1)2)(1)要使方程组有唯一解.必须尺(月)=3.因此当加1且加-2 时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解，必须H(.4)0,(1-2)(2+1)20.因此在-2时.方程组无解(3)要使方程组有有无穷多个解.必须H0)=H(3)0,(170(4+1)2=0.因此当时.方程组有无穷多个解.16.非齐次线性方程组-2%+.%+.0=2 玉一2.0+电二丸.+.x2-1x3=A2当诚何值时有解？并求出它的解.（_?1 1解 B=12 1 1、1 1-2 引（-2 10 1-10 且(IT)-0,所以当在10时.方程组无解.(2-2)+20-2为二117.设1+(5吃43=2.-2%4.2+(5一2)丫3=一/一 问7为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有 无穷多解时求解.A 2 2 2xr L 2-2 1、5-2-4 24 5-4 一4一1 j2 0 05-2-4 2)1-4 1/I 1A0(1-2)00-2)(1-2)(4-2)；要使方程组有唯一解.必须H(/)=H(3)=3,即必须(l-A)(10-20,所以当加1且於10时.方程组有唯一解要使方程组无解,必须R(A)0 fi(l-A)(4-i y O,所以当;h i o时.方程组无解.要使方程组有无穷多解,必须H)=K(3)3,即必须(l-2)(10-2)=0 _a(l-A)(4-2)=0,所以当心1时.方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为2 o O2 o OA1IXO方程组的解为%=_七+再+1m 0(左，彩为任意常数).18.证明火(/)=1的充分必要条件是存在非零列向量。及非 零行向量巩使力二小证明必要性.由尺（月）二1知月的标准形为、o O o O 1 O0 0 0,充分性.因为与/是都是非零向量，所以/是非零矩阵.从而因为1二尺(。为向尺3),A(2)=nunl,1)=1,所以 R(/)=l.19.设/为7x矩阵,证明(1)方程止&有解的充分必要条件是R(，)刁旭证明 由定理7,方程4作扁有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,&),而|是矩阵(4&)的最高阶非零子式，故R(A)=R(A,Egi.因此，方程4a感有解的充分必要条件是H0)=7.(2)方程 氏片有解的充分必要条件是R)=.证明 注意，方程YAEn有解的充分必要条件是不于二E.有解.由(1)/勺&有解的充分必要条件是因此，方 程 氏当有解的充分必要条件是火20.设/为小矩阵.证明：若4/匕 且H(4)r,则田匕证明 由4通/K得/*7)=0因为H(4)=，由定理9,方 程4外1。只有零解,即人自。，也就是田上1-设功=(1,1,0)9 V2=(0,1,1)7,归(3,4,0)7,求片一畛及3y1+2艺一%解 片-1 手(1.1,0)乙(0.1,1)7=(1-0,1-1,0-1/=(1,0,-1)工3片+2吵r中3(1,1.0)r+2(0,1,1)7一(3,4,0)7=(3x l+2x 0-3,3x l+2x l-4,3x 0+2x l-0)r 二(0.1,2)工2.设 3(a i-a)+2(a 2+a)=5(s+Q),求&其中。尸(2,5,1,3)。产(10,1,5,10)5(4,1,-1,1)工解 由 3(1一4)+2(42+。)=5(的+。)整理得a=t(M+2a z-M)=13(2,5,1,3)7+2(10,L5,l 0)r-5(4,L 1)叮6=(1,2,3.4)工3.已知向量组且：。尸(0.1,2,3)0k(3,0,1.2)4尸(2.3,0,1 汽B:加二(2,1,1,2)*(0,2,1,1)1加=(4,4,1,3)1证明5组能由/组线性表示,但组不能由3组线性表示.证明由-0 3(4 B)=:2 2 0 4、3 1-240 1 1 11 2 1 3；二4 7 5 01A IX3 6 4 0O 1 o O2 5 3 01 o o OY知R(4)=R(4 3)=3.所以3组能由，组线性表示.由2 10工1 o OOO 1 o OO知火(3)=2.因为R(BRR.A).所以/组不能由3组线性表示.4.已知向量组A:ai=(0m)T,a(l9l90)T;B：i=(-l,0,l)7；g(1,2,1月*(3,2,I)7；证明，组与3组等价.1 1 OO 1 O3 2 O1 2 O4 0 0/1 1 O11 113 2 1-1 2 111 O 1-证明由(B,A)=知火(3)=火(3./)=2.显然在月中有二阶非零子式，故尺(/)之2,又 R次B,A)=2,所以 R(4)=2,从而H(4)=H(3)=H(4,B).因此/组与B组等价.5.已知五3,g的)=2,Rg 03,词=3,证明(1)。1能由。2,的线性表示证明 由氏(。2,43,。4)=3知。2,。3,。4线性无关，故。2,。3也线 性无关.又由性。1,。2,。3)=2知fi b 02,。3线性相关，故能由。2,。3线性表示.(2)04不能由G1,畋,。3线性表示.证明 假如UA能由。2,3线性表示，则因为a能由。2,线性表示，故。4能由2,的线性表示，从而。2,。3,。4线性相关,矛盾.因此a4不能由“1，/，3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(1)(-1,3,1)1(2,1,0)3(1,4,1)4解以所给向量为列向量的矩阵记为4因为A-(-2 r3 1 4I 1 o 1J1/-I 270 1110 0J00所以H)=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.(2)(2,3,0),(1,4,0尸,(0,0,2f解以所给向量为列向量的矩阵记为3.因为0 0 2-14 O2 3 O-所以R(3)=3等于向量的个数，从而所给向量组线性相无关.7.问。取什么值时下列向量组线性相关？工 工 工ai=(a,1,1),2=(1,-1),a i=(l,-1,6t).解以所给向量为列向量的矩阵记为4由 a 1 1A=1 a-l=6f(-l)(6f+l)1-1 a知.当赤-1、0、1时,H0)2=-22,彳仍 1+42历=0=%i=(3/4)为于是4二右0,与题设矛盾.11e设加=。1+。2,8尸。2+。3，3=。升。4，4=4+b 证明向量组 加，2,。3,4线性相关证明由已知条件得Q尸尻一色，。2=2一。3,。尸方厂小。4二64-。1,于是 d=bb汁。3二妆+厂44二bb 汁bpbAai,从而 加-历+方厂54=0,这说明向量组加,岳,岳4线性相关.12.设加二。1,2=。1+。2,厂=。1+。2+，且向量组。1,他，线性无关，证明向量组从,历,，(线性无关.证明已知的7个等式可以写成1 1 1、(4也.，)=(%，?，,%)2 1 二 1，、0 0 1 j上式记为因为区|=1 w O,K可逆，所以H(3)=K(/)=r,从而 向量组历，1线性无关.13.求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：(l)a i=(l,2,-1,4)1 痂(9,100,10,4)1 g=(-2,-4,2,-8)r;解由(1/、2k 4知R31刈03)=2.因为向量与。2的分量不成比例，故的，。2 线性无关，所以用,仅是一个最大无关组.-4 二 29 1001041 9-23 1 03 0 03 0 0(2)/=(1,2,1,3),。27=(4,-1,5,6),1(I,3,4,7).解由n 4 n(1 4 n(%,勺=i：5 二厂m，13-6-7J10 0 oj知R(q,。3下尺(1，a?,ai)=2.因为向量与做丁的分量不成比例，故。入色丁线性无关，所以A a 2T是一个最大无关组.14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1)257575319494321753542043、132.134 48；解因为?57575319494321753542043)13213448 J?5 0 031 171 0(0 043、3 3 02 1 O所以第1、2、3列构成一个最大无关组.2)12 0 111 o O 11?|A1 5-1 3-13 0 4-1.因为解q09126i?1 53-10 41、-1 13乜fl00101 22 10-20 02 1)5-19-?，0 0 J所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15.设向量组Q 3,1)：(2,3)1(1,2,1乂(2,3,1/的秩为2,求反解 设m=9,3,1)7,02=(2,3乂。三(1,2,I)7；出二(2,3,因为r 1 2。2、(生.。%。)二 2 3 3。(1113)0I。1 1 311 c i1 1 0 2a b5)而尺,偿,。3,处）=2,所以的2,入5.16.设a i,a2,，一是一组维向量,已知n维单位坐标向 量络，备能由它们线性表示，证明a i,3，%线性无关.证法一 记/=(m,。J E=(ei,您，呢).由已知条件 知.存在矩阵K,使E=AK.两边取行列式，得因小闷可见即0,所以HR,从而即。2,，为线性无关.证法二 因为?1,02,一,en能由02,一,四线性表示，所以 R(ei,02,一，en)R(a。2,一，纵),而 R(ei,%e)=n,R(a1,a2,a)n,所以 R(a,a2,a)=w,从而a i,2,，/线性无关.17.设41.42,，恁是一组维向量证明它们线性无关的 充分必要条件是：任一 维向量都可由它们线性表示.证明 必要性：设Q为任一 n维向量 因为4卜02,一，四线 性无关，而。2,a是计1个维向量是线性相关的.所以。能由外,02,一，四线性表示，且表示式是唯一的.充分性：已知任一 n维向量都可由色,外,线性表示,故单位坐标向量组的,侬,，必能由01，。2,，%线性表示,于 是有7尸氏（约，4,e）7?（a i,。2,一，恁），即 R（ai,a2,a）=n,所以 ab a2,时 线性无关.18.设向量组即。2,，砺线性相关，且。诺0,证明存在某 个向量耿（2引使耿能由“1，。2,一,线性表示.证明 因为。】，。2,%线性相关，所以存在不全为零的 数而为,为，使%1。1+/1以2+,而且丸2,居不全为零.这是因为，如若不然，则几1。1=0,由。伊0知几1=0,矛盾.因此存在左（247），使2产0,4+尸4+k.二几声0,于是41。1+4汹2+,+/必产0,。上二一（1/4）（41。1+义92+一+展-1四-1）,即数能由四,。2,耿-1线性表示.19.设向量组,一,即能由向量组4，一,线性表示 为,为=3,&)K,其中K为Jx r矩阵，且/组线性无 关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)k.证明 令3=(加,，),4二(。1,%).则有B=AK.必要性：设向量组3线性无关.由向量组3线性无关及矩阵秩的性质.有 尺,Rg&Rg,及 A(A)i i un n r.因此R(K)=.充分性：因为Rg=r,所以存在可逆矩阵C,使k。二 为K的标准形.于是(加,br)C=(,aKC=3i,4).因为C可逆，所以HS1,一,山)二火(。卜 ,田)=，从而方卜,心线性无关.20.设=a?+%+%A=i+%+冬 自二0+勺+。3+%证明向量组7,。2,，%与向量组1.62,，氏等价证明将已知关系写成(0 1 11 0 1员4)二(%&)1 1 0111 1 10J将上式记为3三世.因为0 11-1 0 1.|用 二 110-111-111=(-1)-1(72-1)0,0所以K可逆.故有/二3犬1由和/二3反一 1可知向量组即色,一,出与向量组1,民,，我可相互线性表示 因此向量组 即白2,，出与向量组.B?，乩等价21.已知3阶矩阵，与3维列向量;v满足廿3出42、且 向量组x,Av,A2x线性无关.(1)记代(羽4心A2x),求3阶矩阵R使，但PR.解因为AP=A(x,Axy/x)=(Xv,/x)=(Av,ItAx-Ax)(0 0 0)=(x,Ax,A2x)10 3,1。i-J(ooo)所以3=10 3.(0 1-1J求闺解 由月得/(3w/al#v)=0.因为 x,Av,A2x 线性无关，故3x-4b/2诃0,即方程 止0有非零解，所以 HG4)3,H