高考数学文一轮分层演练：第6章数列第3讲.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学一、选择题1设 Sn为等比数列 an的前 n 项和，已知3S3a42，3S2a32，则公比q()A3 B4 C5 D6 解析：选 B.由题意知，q1，则3a1（1q3）1qa1q323a1（1q2）1qa1q22，两式相减可得3（q3 q2）1qq3q2，即31 q1，所以 q4.2(2018 成都第二次诊断检测)在等比数列 an 中，已知a36，a3a5a778，则 a5()A12 B18 C36 D24 解析：选 B.a3a5 a7a3(1q2q4)6(1q2q4)78?1q2q4 13?q23，所以a5a3q26318.故选 B.3(2017 高考全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯()A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏解析：选 B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为 an，则前 7 项的和 S7381，公比 q 2，依题意，得a1（127）1 2381，解得 a13，选择 B.4(2018 广州综合测试(一)已知等比数列 an 的各项都为正数，且a3，12a5，a4成等差数列，则a3a5a4a6的值是()A512B.512C352D.352解析：选 A.设等比数列 an的公比为q，由 a3，12a5，a4成等差数列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故 q2q10，解得 q152或 q152(舍去)，由a3a5a4a6a3 a3q2a4 a4q2a3（1q2）a4（1q2）1q25 12（51）（51）（51）512，故选 A.5 在正项等比数列an中，已知 a1a2a34，a4a5a612，an1anan1 324，则 n 等于()A12 B13 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C14 D15 解析：选 C.因为数列 an是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，也成等比数列不妨令 b1a1a2a3，b2a4a5a6，则公比 qb2b11243.所以 bm43m1.令 bm324，即 43m1324，解之得 m5，所以 b5324，即 a13a14a15324.所以 n14.6在递增的等比数列 an中，已知a1an34，a3an264，且前 n 项和 Sn42，则n 等于()A3 B4 C5 D6 解析：选 A.因为 an为等比数列，所以 a3an2a1an 64.又 a1an34，所以 a1，an是方程 x234x640 的两根，解得a12，an32或a132，an2.又因为 an是递增数列，所以a12，an32.由 Sna1anq1 q2 32q1q42，解得 q4.由 ana1qn124n132，解得 n3.故选 A.二、填空题7在等比数列an中，若 a1a516，a48，则 a6 _解析：因为 a1a516，所以 a2316，所以 a3 4.又 a48，所以 q 2.所以 a6a4q28432.答案：32 8已知数列 an 是递增的等比数列，a1a4 9，a2a38，则数列 an的前 n 项和 Sn_解析：设等比数列的公比为q，则有a1a1q39，a21q38，解得a11，q2或a18，q12.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又an为递增数列，所以a1 1，q2，所以 Sn12n122n1.答案：2n1 9(2018 郑州第二次质量预测)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 27a3a60，则S6S3_解析：由题可知 an 为等比数列，设首项为a1，公比为 q，所以 a3a1q2，a6 a1q5，所以 27a1q2a1q5，所以 q3，由 Sna1（1qn）1q，得 S6a1（136）1 3，S3a1（133）13，所以S6S3a1（136）1 313a1（133）28.答案：28 10已知数列 an 满足 a12 且对任意的m，nN，都有amnaman，则数列 an的前 n项和 Sn_解析：因为anmam an，令 m1，则an1a1an，即an1ana12，所以 an 是首项 a12，公比 q2 的等比数列，Sn2（12n）122n12.答案：2n12 三、解答题11已知等差数列an 和等比数列 bn 满足 a1b11，a2a410，b2b4 a5.(1)求 an的通项公式；(2)求和：b1 b3 b5 b2n1.解：(1)设等差数列 an 的公差为d.因为 a2a410，所以 2a14d10.解得 d2.所以 an2n 1.(2)设等比数列 bn 的公比为 q.因为 b2b4a5，所以 b1qb1q3 9.解得 q23.所以 b2n1 b1q2n23n1.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学从而 b1b3b5 b2n113323n13n12.12已知 an是等差数列，满足a13，a412，数列 bn满足b14，b4 20，且 bnan为等比数列(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)求数列 bn的前 n 项和解：(1)设等差数列 an 的公差为d，由题意得da4a131233 3，所以 ana1(n1)d3n(n1，2，)设等比数列 bnan的公比为q，由题意得q3b4a4b1a1201243 8，解得 q 2.所以 bnan(b1a1)qn12n1.从而 bn3n 2n1(n1，2，)(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，)数列 3n的前 n 项和为32n(n1)，数列 2n1 的前 n 项和为12n1 22n 1.所以，数列 bn的前 n 项和为32n(n1)2n1.1已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.(1)设 cnan 1，求证：cn是等比数列；(2)求数列 bn的通项公式解：(1)证明：因为 anSnn，所以 an1Sn1n1.得 an1anan11，所以 2an1an1，所以 2(an11)an1，当 n1 时，a1S11，所以 a112，a1112，所以an11an112，又 cnan1，所以 cn是首项为12，公比为12的等比数列(2)由(1)可知 cn 1212n 112n，所以 ancn1112n.所以当 n2 时，bnanan1112n112n 112n 112n12n.又 b1a112也符合上式，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以 bn12n.2设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a12a23a3 nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求 a2，a3的值；(2)求证：数列 Sn2是等比数列解：(1)因为 a12a2 3a3nan(n1)Sn2n(nN*)，所以当 n1 时，a1212；当 n2 时，a12a2(a1a2)4，所以 a24；当 n3 时，a12a23a32(a1a2 a3)6，所以 a38.综上，a24，a38.(2)证明：因为 a12a23a3nan(n1)Sn 2n(nN*)所以当 n2 时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n 1)，得 nan(n1)Sn(n 2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn1 2nanSn2Sn12.所以 Sn2Sn12 0，即 Sn2Sn12，所以 Sn22(Sn12)因为 S1240，所以 Sn120，所以Sn2Sn12 2，故Sn2 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学END小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学END