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三角函数周期的求法
高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。
1．定义法：
定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，
ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）
都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin（）的周期
解：∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2）
　　=3sin（）=3sin[]
= f（x+3）
这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin（）的周期是T=3。
例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期
解∵f（x+）= sin6（x+）+ cos6（x+）
= cos6x +sin6x= f（x）
∴f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=
例3：求f（x）=的周期
解：∵f（x+）=
=
=
= f（x）
∴求f（x）=的周期：T=
2．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：、、。
例4：求函数y=1-sinx+cosx的周期
解：∵y=1-2（ sinx-cosx）
　　=1-2（cossinx-sin cosx）
　　=1-2sin（x-）
这里=1　　∴周期T=2
例5：求：y=2（sinx-cos3x）-1
解：∵y=2（sinx-cos3x）-1
　　=2sin（3x-）-1
这里=3 　∴周期为T=
例6：求y=tg（1+）的周期
解：这里=，∴周期为：T=/=
（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。
例7：求f（x）=sinx·cosx的周期
解：∵f（x）=sinx·cosx=sin2x
这里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T=
例8：求f（x）=sin2x的周期
解：∵f（x）=sin2x=
而cos2x的周期为，∴f（x）=sin2x的周期为T=　　
注：以上二题可以运用定义求出周期。
例9：求y=sin6x+ cos6x的周期
解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。
∵y=sin6x+ cos6x
=（sin2x+ cos2x）（sin4x-sin2x·cos2x+ cos4x）
=( sin2x+ cos2x)2-3 sin2x·cos2x
=1-3 sin2x·cos2x
　　 =1- sin22x
=+cos4x
而cos4x的周期为T==,
∴y= sin6x+ cos6x的周期为T=
例10：函数y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。
∵y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x
=3-2sinx·cosx+2cos2x
=3-sin2x+cos2x+1
=4+2(cos2x-sin2x
=4+2cos(2x+)
∴y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期为T=
3．定理法：
如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1
事实上，由（既约分数），得T= P2T1=P1T2
∵f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2）
=f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2）
= f1（x）+ f2（x）
=f（x）
∴P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。
例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
解：∵y=tg6x的周期为T1=，tg8x的周期为T2=
由P1T2= P2T1，得==，取P1=4，P2=3
　　 ∴y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=。
例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期
解：∵sin2x的周期为T1=，sin3x的周期为T2=
而=，即是T=2T1=3T2，
　　 ∴y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2
例13：求函数y=cos+sin的周期
解：∵cos的周期为T1=6，sin的周期为T2=8
而，即是T=4T1=3T2
　　 ∴y=cos+sin的周期为T=3T2=24。
类似，y=sin-2sin的周期为T=30，y=tg3+2ctg2的周期为T=。
由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。
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