分析力学复习资料-4.doc

分析力学复习资料
1（刘延柱19-1）一半径为R、厚度为h、质量为m的均质圆盘，上下面边缘处沿x轴方向反对称的增加两个质量为m0的质点，如图所示，计算此圆盘的转动惯量和惯性积。
解：

2（刘延柱19-2）求边长为，质量为的均质长方体对其对角线的转动惯量。

对角线长为
对角线上的单位的单位矢量为

3（刘延柱19-3）求图示质量为m，边长为的均质矩形板对点o的惯量矩阵。并求a=b时此正方形板对点o的惯量主轴及主转动惯量。

对0点惯量矩阵为：

当a=b时，简化为

显然即为一个主方向，其他两个主方向与垂直，设其中一个方向与夹角为，则另一个主方向与夹角为，由于对称性，。即两个主方向为

4（刘延柱19-4）一厚度可以忽略不计、半径为、质量为的均质圆盘由于安装不好，其转动轴与圆盘的中心轴有一偏角，如图示。试计算圆盘对的惯量矩阵。其中轴沿圆盘径向，同时垂直于轴和轴。

5（刘延柱19-5）

设主转动惯量为，则
，
，

，

按由小到大的顺序排列，主转动惯量分别为。对应于的特征矢量的列阵由下式确定

对应于的特征矢量的列阵由下式确定

对应于的特征矢量的列阵由下式确定

以下是按Mathcad计算的过程。
，
，
，

如果采用试探的方法求出一个主方向和主值，其他两个主值便可由一元二次代数方程决定便于求解。对于正方形板主轴方向为

和，那么对于截面为正方形的棱柱，和是否还是主方向呢？先用尝试，
=
可见，的确是主轴方向，而且主转动惯量为。另外两个主值按不变量（关系）计算，
，
将代入上面两式，得到
(1)
(2)
从（1）容易得到，
(3)
代（3）入（2），得到

可以得到
，。
6 （刘延柱19-6）均质细杆AB长，重,其中点与转动轴CD刚联接，设沿CD，在AB与CD形成的平面，写出杆AB相对的惯量椭球方程。
杆AB相对的惯量矩阵为

惯量椭球方程为

7(刘延柱19-7) 均质杆AB长，重W，其一端绕水平轴A在铅锤平面内摆动，同时绕铅锤轴z转动。设在某一瞬时，AB与铅锤线成角，角速度分别为和，如图。
垂直于纸面

求此瞬时杆AB的动能以及对点A的动量矩。
角速度为
角速度分量列阵为

杆AB对A点的转动惯量在本体系下的分量构成的矩阵为

杆AB的动能为

杆AB的动量矩在本体系下的分量列阵为

杆AB的动量矩为

8（刘延柱19-8） 一顶角为的均质正圆锥体在平面上绕其顶点无滑动匀速滚动如图。已知圆锥体质量为，底面半径为，底面中心的速度为。求其动能及对点的动量矩。

,

9（刘延柱19-9）图示匀质杆AB，质量为m，长2b，相对于过质心的水平轴以转动，整个系统绕铅锤轴以转动，求杆AB对点的动量矩及动能。

10（刘延柱9-10）一长方体可绕水平轴AB转动，此轴又可绕通过点的铅锤轴转动，如图所示。长方体质量为，长、宽、厚分别为，质心至点的距离为。试给出长方体的动力学方程。
轴AB绕铅锤轴的转动角为，长方体绕轴AB的转动角为，则长方体的（绝对）角速度列阵为

即

长方体对O的转动惯量

（1）和（2）即为长方体的动力学方程。
11（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度即地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。
记AB轴绕CD轴的转角为，转子绕的转角为，。
采用以下5套坐标系：
：惯性坐标系，基矢量为。
：与地球固联的坐标系，基矢量为。
：大地坐标系，沿（或），即沿铅垂线；沿纬度线，即沿东西；沿子午线，即沿南北；基矢量为。
：与AB固联的坐标系，基矢量为。
：与转子固联的坐标系，基矢量为。

记AB轴绕CD轴的转角为，转子绕AB轴的转角为，则有

地球自传角速度在的分量构成的列阵为，变换到坐标系，分量为

变换到坐标系，分量为

又转子相对于地球的角速度在的分量构成的列阵为

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

由于转子的运动是给定的，所以陀螺仪仅有一个自由度，即陀螺仪支架绕AB轴的转角。假设轴AB处的摩擦可以忽略，则对于虚位移，主动力的虚功，因此对应于广义坐标的广义力为。系统得动能为

列写第二类Lagrange方程，有

显然，是一特解。
如果考此题，请优先采用这种方法。因为这种方法不涉及概念把握的问题。
11（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度即地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。
记AB轴绕CD轴的转角为，转子绕的转角为，。
采用以下5套坐标系：
：惯性坐标系，基矢量为。
：与地球固联的坐标系，基矢量为。
：大地坐标系，沿（或），即沿铅垂线；沿纬度线，即沿东西；沿子午线，即沿南北；基矢量为。
：与AB固联的坐标系，基矢量为。
：与转子固联的坐标系，基矢量为。

记AB轴绕CD轴的转角为，转子绕AB轴的转角为，则有

地球自传角速度在的分量构成的列阵为，变换到坐标系，分量为

又转子相对于地球的角速度在的分量构成的列阵为

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

由于转子的运动是给定的，所以陀螺仪仅有一个自由度，即陀螺仪支架绕AB轴的转角。假设轴AB处的摩擦可以忽略，则对于虚位移，主动力的虚功，因此对应于广义坐标的广义力为。系统得动能为

列写第二类Lagrange方程，有

显然，是一特解。
11（刘延柱19-11）11（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度即地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。
记AB轴绕CD轴的转角为，转子绕的转角为，转子的（绝对）角速度为。。
下

上

北

天北极

天南极

对于任何动坐标系（不一定于刚体固联），动量矩的导数等于
（1）
其中为动坐标系的角速度，为刚体的（绝对）角速度。对于本题，如果动系为，则
（2）
其中，左上标表示在坐标系的导数。因此，动量矩定理可以写成
（3）
如果，则转子角速度在坐标系下为常量，故 。这样，动量矩定理简化为
（4）
或者写成矩阵的形式
（5）
注意在式（5）中，转子角速度、地球角速度、外力（主）矩和转动惯量的分量必须都是同一坐标系（坐标系）下的分量列（矩）阵。容易写成地球角速度、转子（绝对）角速度在坐标系下的分量列阵
，
另外，因为转子是对称的，所以转子自旋不会改变的分量，即在坐标系和在坐标系下，的分量矩阵是相同的。因此，动量矩在坐标系下分量列阵为

在忽略轴承摩擦的条件下，，。这就是说，如果，方程组（5）中的后两个方程满足轴承无摩擦的条件，因而是方程的一个特解。
试比较
11（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度及地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。

11（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度即地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。

建立两套坐标系
与球体固联的坐标系，基矢量为
与支架固联的坐标系，基矢量为
转子相对于支架的角速度在坐标系的分量列阵为
，
球体转动角速度在坐标系下的分量列阵为

变换到坐标系，分量列阵为

转子（绝对）角速度在坐标系下的分量列阵为

转子的转动属于绕回交轴的转动，角加速度等于

角加速度在坐标系下的分量列阵为

列写Euler运动学方程
：.

：
：
如果忽略转轴CD和转轴AB轴承处的摩擦，则，。因此，当AB指向南（北）时，转子的动平衡可以实现并保持。
11（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度即地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。

设支架绕自身轴CD的转角为，现在证明是一特解。
建立3套坐标系
：与地球固联的坐标系，基矢量为。
：大地坐标系，沿（或），即沿铅垂线；沿纬度线，即沿东西；沿子午线，即沿南北；基矢量为。
：与支架固联的坐标系，基矢量为。
转子相对于支架的角速度在坐标系的分量列阵为
，
支架相对于球体的转动角速度在的分量列阵为

球体转动角速度在坐标系下的分量列阵为

变换到坐标系，分量列阵为

支架（绝对）角速度在坐标系下的分量列阵为
转子（绝对）角速度在坐标系下的分量列阵为

转子关于的转动惯量在坐标系下的分量矩阵记为，在下写转子的动量守恒方程，有

写成矩阵的形式，有

显然。如果，则，，，容易观察出。这样，在忽略了轴承处的摩擦的条件下，转子的动量矩平衡得以满足。因此，是一特解。
12（刘延柱19-12） 上题中，如支架的转轴CD固结在水平面内并沿东西方向如图所示，则陀螺仪的转子轴AB可在子午面运动。试证明转子轴沿与球体转轴平行的方向（从而指示所在地的纬度）是该陀螺的一个特解。
选取5套坐标系：
：惯性坐标系，基矢量为。
：与地球固联的坐标系，基矢量为。
：大地坐标系，沿纬线（向西为正）；沿铅锤线（向上为正）；平行于子午线（向北为正）；基矢量为。
：与AB固联的坐标系，沿DC，沿BA，基矢量为。
：与陀螺转子固联的坐标系，沿BA，基矢量为。

AB轴绕CD轴的转角为（-）

地球自传角速度在的分量构成的列阵为，变换到坐标系，分量为

又转子相对于地球的角速度在的分量构成的列阵为

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

由于转子的运动是给定的，所以陀螺仪仅有一个自由度，即陀螺仪支架绕AB轴的转角。假设轴AB处的摩擦可以忽略，则对于虚位移，主动力的虚功，因此对应于广义坐标的广义力为。系统得动能为

列写第二类Lagrange方程，有

显然，是一特解。意味着转子轴沿与球体转轴平行的方向。其中，表示指向天北（即指向天北，或指向天南）；表示指向天南（即指向天南，或指向天北）。
12（刘延柱19-12） 上题中，如支架的转轴CD固结在水平面内并沿东西方向如图所示，则陀螺仪的转子轴AB可在子午面运动。试证明转子轴沿与球体转轴平行的方向（从而指示所在地的纬度）是该陀螺的一个特解。
选取5套坐标系：
：惯性坐标系，基矢量为。
：与地球固联的坐标系，基矢量为。
：大地坐标系，沿纬线（向西为正）；沿铅锤线（向上为正）；平行于子午线（向北为正）；基矢量为。
：与AB固联的坐标系，沿DC，沿BA，基矢量为。
：与陀螺转子固联的坐标系，沿BA，基矢量为。

AB轴绕CD轴的转角为（-）

地球自传角速度在的分量构成的列阵为，变换到坐标系，分量为

支架角速度

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

转子角速度在系下导数为

列写Euler动力学方程

可见，上式第一个方程与Lagrange方程

相比，只差一个负号。因此，是一特解。意味着转子轴沿与球体转轴平行的方向。其中，表示指向天北（即指向天北，或指向天南表示指向天南（即指向天南，或指向天北）。
但是，矢量（力学）的方法比分析（力学）的方法得到的信息更多。从Euler动力学方程可以看出，如果，则。其中，与等价，而和则是采用分析（力学）方法得不到的结论。
12（刘延柱19-12） 上题中，如支架的转轴CD固结在水平面内并沿东西方向如图所示，则陀螺仪的转子轴AB可在子午面运动。试证明转子轴沿与球体转轴平行的方向（从而指示所在地的纬度）是该陀螺的一个特解。
选取3套坐标系：
：与地球固联的坐标系，基矢量为。
：大地坐标系，沿纬线（向西为正）；沿铅锤线（向上为正）；平行于子午线（向北为正）；基矢量为。
：与支架固联的坐标系，沿DC，沿BA，基矢量为。

需要分4种情形讨论。第1种情形：AB指向天北，且角速度也指向天北。第2种情形：AB指向天北，且角速度指向天南。第3种情形：AB指向天南，且角速度指向天北。第4种情形：AB指向天南，且角速度也指向天南。先讨论第1种情形。
支架角速度在坐标系下的分量列阵

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

转子角速度在系下导数为

列写Euler动力学方程

。如果不计轴承处的摩擦，则。
再讨论第2种情形。
支架角速度在坐标系下的分量列阵

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

转子角速度在系下导数为

列写Euler动力学方程

。如果不计轴承处的摩擦，则。
再讨论第3种情形。
支架角速度在坐标系下的分量列阵

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

转子角速度在系下导数为

列写Euler动力学方程

。如果不计轴承处的摩擦，则。
再讨论第4种情形。
支架角速度在坐标系下的分量列阵

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

转子角速度在系下导数为

列写Euler动力学方程

。如果不计轴承处的摩擦，则。
最后，把4种情形合起来。
支架角速度在坐标系下的分量列阵

转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为

转子角速度在系下导数为

列写Euler动力学方程

。如果不计轴承处的摩擦，则。
13（刘延柱19-13）题19-6中，设杆AB绕轴以匀角速度转动，求轴承处的压力，设。

在AB和CD构成的平面处于铅锤位置时，杆AB的角速度为

角加速度分量为

，

如果只考虑动反力，则有

可以解出。
14（刘延柱19-14）半径为得均质圆盘的中心与固定点之间通过一刚杆相连，垂直于盘面，点为球铰接，且圆盘在水平面上无滑动地滚动。求证在接触点处的动压力可以由下式表示：
其中为对称轴绕竖直轴的转动角速度，如图所示，为圆盘对点的主转动惯量（为极转动惯量），
圆盘绕汇交轴OB和OC轴动，角速度的合成如图。

15（刘延柱19-15）碾磨机的碾轮重，半径，对中心轴回转半径，碾轮在水平磨盘上以绕铅锤轴转动，如图所示。设碾轮与磨盘的接触处无相对滑动。求磨盘受到的压力。

,

16（刘延柱19-16）均质薄圆盘与绕铅锤轴以匀角速度转动的驱动轴之间用万向接头以及与圆盘固结的轻杆相连接如图所示。轻杆质量不计，相对铅锤轴的倾角为，，圆盘可绕对称轴转动，并相对固定圆筒壁作纯滚动，其质量为，半径为。设，试计算：
（１）圆盘的角速度模值
（２）圆盘相对点的动量矩及动能；
（３）筒壁对圆盘的正压力
（４）保证圆盘与筒壁接触的最小转速

，，

由于
17（刘延柱19-17）一电动机安装在以匀角速度转动的平台上，如图所示。电动机带动两个鼓风扇以匀角速度转动。若鼓风扇和电动机内的电枢总重，对风扇轴和轴的回转半径分别为和，求作用于电动机内轴承的力矩。

18（刘延柱19-18）

（1）飞轮相对于船的角速度，船的角速度，飞轮的（绝对）角速度

（1）

（2）
由（1）和（2），可以解得
（2）飞轮相对于船的角速度，船的角速度，飞轮的（绝对）角速度

由列出两个标量方程
（3）
（4）
由
（5）
（6）
由（3）和（5）可以解出

由（4）和（6）可以解出

19（刘延柱19-19）

维持圆盘极轴与水平方向成150需要的力矩为

20（刘延柱19-20）

=（为轨道半径）

(1)
(2)

(3)
由（3）解出，得到
(4)
将（1）代入（4）
(5)
联立（2）和（5），得到

21（刘延柱19-21）设无力矩轴对称刚体的主转动惯量，初始时对称轴在铅锤位置，角速度矢量与轴成，试求动量矩矢量的位置。进动角速度及自转角速度。

无外力矩，在惯性空间的方向不变。由Euler动力学方程，可以写出

可见，自旋轴与夹角不变规则进动，且的方向即为进动方向(取为)。由角速度矢量三角形，可以写出

其中，为和决定的平面与平面交线上的单位矢量。动量矩矢量与的夹角满足：，
即
画出角速度的矢量三角形，可以写出

[注释] 进动角速度在惯性系的方向不变，自旋角速度在惯性系的方向却是变化的。然而，在给定的瞬时，自旋角速度岩铅锤方向。从图上似乎自旋角速度方向固定，而进动角速度方向变化。这就是传统的教科书给人的迷惑。为什么要面向21世纪？这一问题可以引发大家思考。
22（刘延柱19-22）上题中，设，起始条惯性系的方向不变件不变，试求进动角速度及自转角速度。

按照与上题相同的思路

23（刘延柱19-23） 一均质的扁方块绕质心做定点运动，外力矩为零。扁方块的长宽高分别为。初始时刻，刚体的角速度为，方向沿对角线（为方块棱角）。求任意时刻角速度在三根主轴上的分量，并求此时角速度沿原来对角线方向的投影。

由（6）得

将（7）（1）（2）代入（4）（5）有

（8）（9）消元

结合初始条件，解得

24（刘延柱19-24） 一均质轴对称刚体绕质心点做定点转动，对点的主转动惯量为。初始角速度在对称轴上的投影为。作用在刚体上的阻力矩为，是瞬时角速度。求证在任意时刻，转动瞬轴与对称轴的夹角由下式给出：

再证：如果刚体为扁形，阻力矩将使偏角减小；如果刚体为细长形，则使偏角增大。
解：

积分（3）得
得

积分（5）得

如果刚体为扁形，则，阻力矩将使偏角减小；如果刚体为细长形，，则使偏角增大。
25（刘延柱19-25）19．25质量为5kg的均质圆盘与不计质量的均质细杆刚性连接，并用球铰链固定如图示。今圆盘以6000r/m高速转动。求β=200时进动角速度的近似值，并指出其进动方向。设圆盘的直径为20cm．杆长50 cm。

系统的Lagrange函数为
（1）
循环积分
（2）
（3）

（4）
设，则（2）和（3）自行满足，而方程（4）成为

或
（5）

（6）
方程（5）的根为

26（刘延柱19-26）

系统的Lagrange函数为
（1）
循环积分
（2）
（3）

（4）
设，则（2）和（3）自行满足，而方程（4）成为

或
（5）

（6）
方程（5）的根为

27（刘延柱19-27）
（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度及地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。利用陀螺力矩理论解释。

如果转轴AB在子午面内意味着，自旋角速度（大小为）在子午面内，因此转子（绝对）角速度在子午面内，动量矩也在子午面内。
地球自传角速度，因此陀螺力矩垂直于子午面。又因为不及支架的质量，陀螺仪（转子连同支架）的陀螺力矩近似地等于。这样，陀螺仪的陀螺力矩在和方向的分量为零。而根据支撑条件，外力矩延和方向的分量为零。因此，陀螺仪为“平衡的”（即在随地球转动的坐标系下是“动平衡的”）。
（刘延柱19-12） 上题中，如支架的转轴CD固结在水平面内并沿东西方向如图所示，则陀螺仪的转子轴AB可在子午面运动。试证明转子轴沿与球体转轴平行的方向（从而指示所在地的纬度）是该陀螺的一个特解。利用陀螺力矩理论解释。
无论轴AB如何转动，自旋角速度（大小为）始终在子午面内，因此转子（绝对）角速度在子午面内，动量矩也在子午面内。
地球自传角速度，因此陀螺力矩垂直于子午面。又因为不及支架的质量，陀螺仪（转子连同支架）的陀螺力矩近似地等于。这样，陀螺仪的陀螺力矩在和方向的分量为零。
而只有转子轴沿与球体转轴平行的方向，，陀螺力矩才会在方向的分量为零，从而才能维持“平衡”状态换句话说，转子轴沿与球体转轴平行的方向（从而指示所在地的纬度）是该陀螺的一个特解。

28 设为一惯量主值（主转动惯量），对应的特征矢量为，证明

证明：所谓惯量主轴是指当角速度沿着此方向时，即，动量矩平行于角速度，即。于是，有

或

以点乘上式，得到

29 设、是两个不同的主转动惯量，对应的主轴方向分别为和，证明。
证明，根据主转动惯量和惯性主轴的定义，可以写出
（1）
（2）
以点乘（1），以点乘（2），得到
3）
（4）
（3）—（4），得到
（5）
式（5）左边
式（5）左边
于是，式（5）变化为

因为、是两个不同的主转动惯量，即，故有

30 试证明

左边=
右边=
左边=右边：
因此，有

是正交矩阵，，
因为是正反对称张量，所以
31 试证明，。
根据Euler有限转动定理，可以写出
（1）
展开上式，得到

对上式求转置，得到

通过观察，可以发现
（2）
利用上题结果，有
（3）
将式（1）和（2）代入（3），通过简化，得到
（4）
以及
（5）
考虑到，，可以将式（5）扩展为
（6）
32

33 设刚体对某点的转动惯量矩阵为，为单位矢量，试证刚体绕的转动惯量为

证明。以为一轴上的单位矢量，构造一坐标系，设其余两轴上的单位矢量分别为和。
此坐标系相对于原坐标系的方向余弦矩阵为

34 试证明，
证明：

按第三行展开，得到

于是得到著名的恒等式

矢量的第个分量为，因此

35(金尚年《理论力学》4.31)

动量矩与圆盘对称轴的夹角

因为动量矩守恒，（常量）。取沿方向，如图1所示。

图1 初始时刻圆盘的位置

36 (金尚年《理论力学》4.33)

由于，在任何时刻。
系统的Lagrange函数为
（1）
循环积分
（2）
（3）
能量积分
（4）
将（2）代入（4），得到
（5）
将（2）代入（3），得到
（6）
将（6）代入（5），得到
（7）
化简式（7），得到

（8）

37 （金尚年《理论力学》4.32）

采用记号，，。
系统的Lagrange函数为
（1）
循环积分
（2）
（3）
能量积分
（4）
将（2）代入（4），得到
（5）
将（2）代入（3），得到
（6）
将（6）代入（5），得到
（7）
改写式（7），得到
（8）

（9）
初始条件，，可以确定积分常数和
（10）
把（10）代入（9），得到
（11）

（12）
（13）
（14）

（15）
（16）
带回原来变量，有
（17）
在式（17）两边求导，得到

从而有
（18）
代（7）入（6），得到
（19）
（20）
或
（21）
从式(21)可以看出，进动角速度的频率为，平均值为。

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