奥赛专题(2)因式分解.doc

第二讲 因式分解(二)
　　1．双十字相乘法
　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
　　可以看作是关于x的二次三项式．
　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即
　　-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
　　 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以
　　原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
　　　　=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　　它表示的是下面三个关系式：
　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
　　(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
　　这就是所谓的双十字相乘法．
　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
　　例1 分解因式：
　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
　　(2)x2-y2+5x+3y+4；
　　(3)xy+y2+x-y-2；
　　(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
　　解 (1)

　　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
　　2)

　　原式=(x+y+1)(x-y+4)．
　　(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

　　原式=(y+1)(x+y-2)．
　　(4)

　　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
　　说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
　　2．求根法
　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
　　f(1)=12-3×1+2=0；
　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
　　定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
　　根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
　　定理2

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．
　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
　　例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．
　　分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，
　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
　　解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
　　　　=(x-2)(x2-2x+2)．
　　解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

　　所以
原式=(x-2)(x2-2x+2)．
　　说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
　　例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
　　分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：

　　所以，原式有因式9x2-3x-2．
　　解 9x4-3x3+7x2-3x-2
　　　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
　　　=x2(9x3-3x-2)9x2-3x-2
　　　=(9x2-3x-2)(x2+1)
　　　=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
　　说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　　可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
　　总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
　　3．待定系数法
　　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
　　例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
　　分析 由于
　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
　　解 设
　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3
　　=(x+2y+m)(x+y+n)
　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
　　说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
　　例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
　　分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
　　解 设
　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，
　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以
　　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
　　说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
练习二
　　1．用双十字相乘法分解因式：
　　(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；
　　(2)x2-xy+2x+y-3；
　　(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．
　　2．用求根法分解因式：
　　(1)x3+x2-10x-6；
　　(2)x4+3x3-3x2-12x-4；
　　(3)4x4+4x3-9x2-x+2．
　　3．用待定系数法分解因式：
　　(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；
　　(2)x4+5x3+15x-9．

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