平面线位误差带几何形状的解析表达.doc

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平面线位误差带几何形状的解析表达*
刘文宝①　戴洪磊③　徐泮林①　史文中②
(①山东矿业学院，泰安，271019，　②香港理工大学，香港)
(③东南大学交通学院，南京，210096)
THE ANALYTIC EXPRESSION OF GEOMETRIC FIGURE
ON PLANAR LINE’S ERROR BAND

Liu Wenbao①，　Dai Honglei③，　Xu Panlin①，　Shi Wenzhong②
(①Shandong Mining Institute, Taian,271019)
(②The Hong Kong Polytechnic University)
(③Southeast University, Nanjing,210096)

Abstract　Based on the envelop theory of the family of curve lines, this paper derives the boundary curve's functional expression of the segment's “g-band”,testifies the continuation of the function at the break point, and draws a conclusion that the “g-band” boundary is a closed continuous curve. Furthermore, according to isotropic, homogeneity and isotropic-homogeneity, this paper also gives the error band's equations and figures respectively. 测绘信息网
Keywords　Line segment, Error band, Boundary curve, Envelop
摘　要　本文根据求解曲线族包络线原理，导出了描述随机线元线位误差带(“g-带”)边界线的分段函数表达式，证明了函数在分段点处的连续性，得出了“g-带”边界为连续闭合曲线的结论。从理论和实验角度讨论了各向同性、准均匀性和准均匀且各向同性误差带的边界线方程及形状。测绘信息网
关键词　线元　误差带　边界线　包络线
分类号　P208 测绘信息网

1　引言
　　在测绘学科中，误差椭圆是衡量平面点位精度的实用方法［1］。在GIS中，误差带是衡量平面线位精度的实用方法［2］。这方面的研究始于Chrisman［3］，后人作了许多发展，有关评述见文献［4］。文献［4］还首次利用随机过程工具提出了一个广义误差带(“g-带”，原文简记为“De-带)，从理论上概括和统一了已有的一些结果。但迄今的研究仍集中在误差带的定义和概率分布上［4］，很少涉及误差带几何形状的数学描述这一重要问题。测绘信息网
　　由于平面点位误差椭圆是平面解析几何学中的典型二次曲线，其几何形状的数学描述非常简单，即由主轴方向和长、短半轴值三个参数唯一确定。然而，对于GIS中的平面线位误差带，其几何形状的描述则较为复杂。为使讨论具有一般性，本文针对“g-带”探讨其边界线几何形状的解析表达。测绘信息网

2　线段上任意点的点位误差椭圆方程
2.1　误差椭圆参数

图1　线段P0P1
Fig.1　Line segment P0P1如图1，P0P1为由端点P0(x0，y0)和P1(x1,y1)定义的线段，Pt为线元P0P1上任一点。记z0=(x0 y0)T，z1=(x1 y1)T和zt=(xt yt）T，则已知P0P1端点坐标的协方差阵Σz0z0和Σz1z1可唯一确定Σztzt［4］，进而导出Pt点处误差椭圆的长、短半轴At、Bt和主轴方向φt的计算公式为测绘信息网
　　　　　　　　　(1)
　　　　(2)
　　　　　　(3)
其中:t=|P0Pt|/|P0P1|，　(t∈［0，1］)

2.2　误差椭圆标准方程测绘信息网
　　将坐标系xOy通过坐标轴的平移和旋转，变换到新坐标系x′O′y′中。这里平移参数为(xt，yt)，旋转参数为(90°-φt)。这时，新坐标系x′O′y′的原点在Pt点处误差椭圆的中心上，y′轴与误差椭圆长轴方向重合，则Pt点处的误差椭圆在新坐标系x′O′y′下的标准方程为
　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
其中λ为截面常数［1］。当λ＝1时的误差椭圆方程称为标准误差椭圆。
2.3　误差椭圆一般方程
　　通过逆坐标变换，得到Pt点的误差椭圆在原坐标系xOy下的一般方程为测绘信息网
　　　　(5)
记X＝x-xt,Y=y-yt，将式(5)化为在平移坐标系XOY下的一般二次曲线方程为
utX2+2vtXY+wtY2+dt＝0　　　　　　　　　　　　　　(6)
其中：

3　线位误差带
3.1　“g-带”定义测绘信息网
　　利用线段上任一点Pt(xt,yt)处的点位误差椭圆参数At，Bt和φt可画出线元P0P1上的无数个误差椭圆(λ＝1)，如图2(a)。由线元随机过程理论知［4］，只有利用这一误差椭圆族才能完整地描述线元的位置不确定性。如图2(b)，端点P0、P1处的误差椭圆弧AD、BC与误差椭圆族的包络线［4］AB、DC一起构成了以线元真值为核心的带状区域，即为“g-带”。

图2　“g-带”
Fig.2　General error band
3.2　误差椭圆族包络线方程测绘信息网
　　根据包络线的定义［6］，AB和CD弧的函数x=f2（y和x=f3（y）描述了线段P0P1上任意点Pt处误差椭圆的极大、极小点在t∈（0,1）上的运动轨迹。为此，首先求误差椭圆的极值点方程。设线元P0P1的坐标方位角为α，令θ＝90°-α，将XOY坐标系旋转θ角至X″OY″坐标系，使Y″轴与线元P0P1方向重合，则新坐标系X″OY″下的坐标为
　　　　　　　　　　　　　(7)
将式(7)代入式(6)，得在X″OY″坐标系下的椭圆方程为
at(X″)2+2btX″Y″+ct(Y″)2+dt=0　　　　　　　　　　　(8)
其中：测绘信息网

将式(8)中X″对Y″求导，并令(X″)′＝0得
btX″+ctY″＝0　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
联立式(8)、(9)，可得在坐标系X″OY″下以t为参数的误差椭圆极值点方程为
　　　　　　　　　　　　(10)
顾及式(6)、(7)，可得在原坐标系xOy下误差椭圆极值点在t∈（0,1）上的运动轨迹方程为测绘信息网
　　　　　　　　　　(11)
上式就是所求的线段上任一点处误差椭圆族的包络线方程。
3.3　“g-带”边界线方程
　　如图2(b)所示，“g-带”的边界线函数由AD、BC弧段的曲线方程x=f0(y)、x=f1(y)和AB、DC弧段的曲线方程x=f2(y)、x=f3(y)构成。利用式(11)，并顾及λ＝1，可得方程x=f2(y)、x=f3(y)的参数式分别为
　　　　　(12)
　　　　　(13)
　　下面再求f0(y)、f1(y)的解析表达式。将式(7)代入式(9)，整理后得极值点直线方程为测绘信息网
x=xt+Rt(y-yt)　　　　　　　　　　　　　　　(14)
式中　　　　　　　　　　　Rt=(btsinθ-ctcosθ)/(btcosθ+ctsinθ)
将式(14)与式(6)结合，可得方程x=f0(y)、x=f1(y)的隐式形式分别为
　　　　　(15)
　　　　　(16)
于是，式(12)、(13)、(15)和(16)联立后将构成完整的“g-带”边界线方程。测绘信息网
3.4　“g-带”边界线的连续性

　　平面曲线的表示方式通常有三种：显式、隐式和参数式［6］。而“g-带”的边界线方程由两个隐式方程和两个参数方程共四个分段函数构成，因此需要分析边界线方程函数在分段点处的连续性。如图2(b)，对于A点，左侧x=f0(y)是P0点误差椭圆的一部分，A点为在坐标系X″OY″中误差椭圆的极大点，由于椭圆本身是连续的，故x=f0(y)在A点左连续；而函数x=f0(y)是误差椭圆族的包络线，本身在A点处是右连续的［6］。再由函数x=f0(y)求得椭圆上点A(xA，yA)处的坐标值为
　　　　　　　　　　　(17)
在函数x=f2(y)上，当t→0时，A点的极限值为
　　　　　　　　(18)
　　由式(17)、(18)可见，A点处左右函数的极限值相等。根据函数在一点处连续性的定义知［7］，“g-带”边界线分段函数x=f0(y)、x=f2(y)在分段点A处是连续的。同理可证，在B，C，D各点处，相应的边界线函数也是连续的。因此，“g-带”边界是一条连续闭合曲线。

4　“g-带”特例的边界线方程
4.1　各向同性“g-带”测绘信息网
　　当随机线元具有各向同性时， σ2x0=σ2y0=σ20, σ2x1=σ2y1=σ21，σx0y0=σx1y1=0，则线元两端点P0、P1处的误差椭圆变为误差圆。此时线元上各点处的误差椭圆也变为误差圆，其参数为λ＝1，φt＝90°，长、短半轴为A2t=B2t=(1-t)2σ20+t2σ21。于是，根据φt,At,Bt的值可计算出ut=1,vt=0,wt=1。则“g-带”边界线方程式(12)、(13)、(15)和(16)分别简化为
　　　　　　(12a)
　　　　　　(13a)
f0(y):(x-x0)2+(y-y0)2＝σ20，x=f0(y)≤x0-(y-y0)cotθ　　　　　(15a)
f1(y):(x-x1)2+(y-y1)2＝σ21，x=f1(y)≥x1-(y-y1)cotθ　　　　　(16a)
4.2　准均匀性“g-带”测绘信息网
　　当随机线元具有准均匀性时，σ2x0=σ2x1=σ2x，σ2y0=σ2y1=σ2y，σx0y0=σx1y1=σxy，则线元两端P0、P1处的误差椭圆大小和主轴方向完全相同。此时，线元上各点误差椭圆的主轴方向与两端点处的也相同，其参数计算式(1)～(3)分别简化为
　　　　　　　　(1a)
　　　　　　　　(2a)
　　　　　　　　　　　　　　　　(3a)
而“g-带”边界线方程的形式仍与式(12)、(13)、(15)、(16)相同。
4.3　准均匀且各向同性“g-带”测绘信息网
　　当随机线元同时兼有准均匀性和各向同性时，σ2x0=σ2y0=σ2x1=σ2y1=σ2,σx0y0=σx1y1=0，则线元两端点P0、P1处的误差椭圆变为半径相等的误差圆。此时，线元上各点处的误差椭圆也变为误差圆，但半径不等，其参数为λ＝1，φt=90°，A2t=B2t＝(2t2-2t+1)σ2。于是，“g-带”边界线方程简化为
　　　　　(12b)
　　　　　(13b)
f0(y):(x-x0)2+(y-y0)2＝σ2,x=f0(y)≤x0-(y-y0)cotθ(15b)　　　　　　
f1(y):(x-x1)2+(y-y1)2＝σ2,x=f1(y)≥x1-(y-y1)cotθ(16b)　　　　　　
5　算例分析测绘信息网
5.1　分析步骤
　　(1) 给定线段的两端点坐标值及其方差、协方差信息；(2) 确定线段上待画误差椭圆的密度或个数N(含两端点处的)及步长值t=|P0Pt|/|P0P1|；(3) 对t不同的步长取值，利用式(1)～(3)计算线段上选定点处的误差椭圆参数(At,Bt,φt)(t∈［0，1］)；(4) 画出线段上的N个误差椭圆；(5) 记录线段上点位误差σ2pt＝A2t+B2t最小的点位信息(t,xt,yt)及其对应的误差椭圆参数(At,Bt,φt)，并定义为临界误差椭圆，它是线段上的点从一端向另一端移动时，点位精度升、降的分界点；(6) 利用方程(12)、(13)、(15)、(16)画出“g-带”(λ＝1)的边界线；(7) 分析第(6)步的边界线与第(4)步的误差椭圆族的拟合程度，以验证“g-带”边界线函数式(12)、(13)、(15)、(16)的正确性。
　　根据上述思路，进行了大批数据计算试验。其中利用式(12)、(13)、(15)、(16)绘制曲线时，在AutoCAD平台下，选取5个特征点即得到与误差椭圆族拟合相当好的包络线。由于篇幅所限，下面仅列举四种情况。
5.2　试验结果举例测绘信息网
　　表1中给出了线段P0P1端点P0、P1的坐标值及四种误差状态，其中1为准均匀且各向同性线段，2为各向同性线段，3为一般线段，4为准均匀性线段。表2中列出了计算的线段P0P1端点误差椭圆和临界误差椭圆的信息。
表1　起算数据
Tab.1　Initial data

线
元
号
P0
P1
X0
Y0
σ2x0
σ2y0
σx0y0
X1
Y1
σ2x1
σ2y1
σx1y1
1
300.00
100.00
15.84
15.84
0.00
300.00
120.00
15.84
15.84
0.00
2
500.00
100.00
3.96
3.96
0.00
500.00
120.00
15.84
15.84
0.00
3
500.00
100.00
18.91
8.71
8.83
500.00
120.00
18.91
8.71
-8.83
4
500.00
100.00
18.91

8.71
8.83
500.00
120.00
18.91
8.71
8.83

表2　计算数据
Tab.2　Calculation data

线
元
号
P0
Pt
P1
A0
B0
φ0
t
Xt
Yt
σ2xt
σ2yt
σxtyt
At
Bt
φt
A1
B1
φ1
1
3.98
3.98
0
0.50
300
110
7.92
7.92
0.00
2.81
2.81
0
3.98
3.98
0
2
1.99
1.99
0
0.20
500
104
3.17
3.17
0.00
1.78
1.78
0
3.98
3.98
0
3
4.90
1.90
30
0.50
500
110
9.46
4.35
0.00
3.07
2.09
0
4.90
1.90
150
4
4.90
1.90
30
0.50
500
110
9.45
4.36
4.42
3.46
1.34
30
4.90
1.90
30

　　在图3中，(a)为四种误差状态下线段P0P1上各自的21个误差椭圆；(b) 为由方程(12)、(13)、(15)、(16)绘出的“g-带”边界线；(c)为(b)中边界线与(a)中线段端点处误差椭圆及临界误差椭圆相叠加的结果。从表2和图3中可见，对线段1，临界误差(椭)圆必在线段中点处；对线段2，临界误差(椭)圆必靠近精度高的端点；对线段3，临界误差椭圆的主轴方向必垂直于线元(本例中)；对线段4，临界误差椭圆的主轴方向必与端点处的一致。测绘信息网

6　结论
　　(1) 平面线段线位误差带(“g-带”)的几何形状取决于线段端点坐标的误差状态。
　　(2) 平面线段线位误差带(“g-带”)的边界线方程可由分别归属于端点处的误差椭圆和线段上各点处误差椭圆族包络线的四个分段函数表达。
　　(3) 平面线段线位误差带(“g-带”)的边界线为连续闭合曲线。

　　　　(a) The family of point　　　　(b) The boundary curve of　　　　(c) The end points and
　　　　　　error ellipses　　　　　　　　line error band　　　　　　　critical error ellipses
图3　线段P0P1四种误差状态下的线位误差带
Fig.3　Four error band of line segment P0P1
*收稿日期： 1997-07-14， 截稿日期： 1998-03-20。刘文宝，男，33岁，博士，副教授。
国家自然科学基金(编号：49671063)和煤炭青年科学基金(编号：97039)资助项目。测绘信息网

7　参考文献
1　於宗俦，鲁林成.测量平差基础.北京：测绘出版社，1983.453～470
2　Caspary W, Scheuring R. Positional Accuracy in Spatial Databases. Computer Environ and Urban System, 1993,17(2):103～110
3　Chrisman NR. A Theory of Cartographic Error and it's Measurement in Digital Databases. Auto-Carto,1982(5):159～168
4　刘文宝.GIS空间数据的不确定性理论：［博士学位论文］.武汉：武汉测绘科技大学，1995
5　史文中.Modelling Positional and Thematic Uncertainties in Integration of Remote Sensing and GIS. ITC Publication,1994(2)
6　冯德坤，马香峰.包络原理及其在机械方面的应用.北京：冶金工业出版社，1994
7　数学手册编写组.数学手册.北京：高等教育出版社，1984.174～179