直线与方程1.doc

第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
主要知识考点：
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念,理解直线的倾斜角的唯一性;理解直线的斜率的存在性;斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
1. 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2. 直线l的倾斜角的范围是.
3. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.
4. 已知直线上两点，则有斜率公式.
经典要点解析
要点导学
1. 直线的倾斜角与斜率
（1）一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
（2）直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
即确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素为一个点P和一个倾斜角α.
2. 斜率公式
（1）对于斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.
（2）直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大.
【经典例题】
【变式训练一】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．
【分析】已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式,代入即可求得k的值.而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上,可由斜率公式列关系求解.
【解】(1) 直线AB的斜率>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
(2)， .
∵ A、B、C三点在一条直线上，
∴ ， 即，
解得或.
【点拨】已知两点坐标, 而且x1≠x2, 求斜率，可用斜率公式.三点共线时，可以利用斜率相等，由此证明三点共线的一种方法是利用斜率相等. 此外，还可利用两点间距离公式、直线方程等证明三点共线.

【变式训练二】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.
【分析】可用数形结合，当倾斜角时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当倾斜角时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大.
【解】如图所示, 直线PA的斜率是,
直线PB的斜率是.
当直线由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角增至90°，斜率的变化范围是[5,；当直线由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90°增至，斜率的变化范围是.
所以斜率的变化范围是.
【点拨】分别计算过线段两个端点的直线的斜率，体现了研究问题的一种运动变化思想. 由图象的运动变化规律，观察得到斜率的变化范围.

3.1.2 两直线平行与垂直的判定
主要知识考点：进一步理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；理解两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
1. 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
2. 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即Û.
名师要点解析
要点导学
1. 是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果, 那么一定有; 反之则不一定.
2. 结论成立的条件. 即如果, 那么一定有; 反之则不一定.
3. 两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，且都垂直于x轴.
【经典例题】
变式训练一】（1）已知直线经过点M（-3，0），N（-15，-6），经过点R（-2，），S（0，），试判断与是否平行？
（2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？
【分析】根据两直线平行或垂直的条件，先计算与的斜率，再判断两直线是否平行或垂直.
【解】（1） ∵=，. ∴ //．
（2） ∵ ，， ， ∴⊥．
【点拨】当与的斜率存在时，，. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.

3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
主要知识考点理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
1. 根据斜率公式，可以得到，当时，，即，当时，，次式也成立，而此方程由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
2. 经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是，或.
3. 经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是，或.
4. 已知直线的斜率为，且与轴的交点为，直线的方程为
名师要点解析
要点导学
1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.
2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或.
4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.
5. 截距”与“距离”不同，截距可正、可负、可为零，而距离不可能为负值.

【经典例题】
【变式训练一】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
【分析】
【解】
由已知得与两坐标轴不垂直．
∵直线经过点，∴ 可设直线的方程为，即.
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.
根据题意得，即.
当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，此方程无实数解.

故直线的方程为，或.
即或.
【点拨】
已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

3.2.2 直线的两点式方程
主要知识考点根据确定直线位置的几何要素，探索直线方程的两点式、截距式. 理解直线方程的两点式的形式特点及适用范围；了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
1.已知两点，通过这两点的直线方程为
.当时，方程可以写成
由于这个直线方程由两点确定，所以把它叫直线的两点式方程，简称两点式.
2. 已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，则直线的方程可写成，次方程是由直线在x、y轴上的截距a，b确定的，叫做直线方程的截距式.
名师要点解析
要点导学
1. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.
2. 线段中点坐标公式.
【经典例题】
【变式训练一】3 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？
请求出这些直线的方程

【分析】可用直线的截距式方程解题，要注意截距为0的情况讨论.
1. 【解】解：当截距为时，设，过点，则得，即；
当截距不为时，设或过点，
则得，或即，或
这样的直线有条：，，或

【点拨】直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程，也可以用由图形性质，得到k=-1时截距相等，但本题是直线在两轴上截距的绝对值相等，还有k=1时的情况.若本题选用点斜式解题时，特别要注意截距都是0的情况，这时选用方程.

3.2.3 直线的一般式方程
主要知识考点据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，明确直线方程一般式的形式特征；会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
1. 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
2. 直线一般式方程化为斜截式方程是，表示斜率为，y轴上截距为的直线.

名师要点解析
要点导学
1. 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式.
2.与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.
3.经过点，且平行于直线l的直线方程是；
4.经过点，且垂直于直线l的直线方程是.
【经典例题】
【变式训练一】写出过两点A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．

【分析】可由直线的截距式或两点式写出直线方程，再化为直线方程的其他形式.
【解】两点式方程：；
点斜式方程：，即；
斜截式方程：，即；
截距式方程：；
一般式方程：．

【点拨】应熟记直线方程的五种形式及其适用范围.
【变式训练二】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．
【分析】由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.
【解】直线l:3x+4y－12=0的斜率为，
∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，
又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.
【点拨】
根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.

3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
主要知识考点进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系；理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标

名师要点解析
要点导学
1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.
【经典例题】
【变式训练一】 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
【分析】先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
【解】解方程组得交点(－).
若＞0，则＞1.当＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0.因为≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上
【点拨】也可先讨论=1时，两直线平行，无交点.再考虑≠1时的情况.
【变式训练二】若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.
【分析】可通过联立方程组将交点坐标解出，再求直线l的倾斜角的取值范围，也可以通过数形结合解决.
【解】如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：y＝kx必过点（0，－）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线l绕C点逆时针（由位置AC到位置BC）旋转时，交点在第一象限. 根据，得到直线l的斜率k>.
∴倾斜角范围为.
【点拨】此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.
3.3.2 两点间的距离
主要知识考点探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.

名师要点解析
要点导学
1. 平面内两点，，则两点间的距离为：.
特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.
2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

【变式训练一】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.
【分析】可利用数形结合转化为对称问题解决
【解】找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则
，解得， 所以线段.
【点拨】问题转化为两定点在直线的同侧时，直线上有一点与两定点之间的距离之差有最大值；两定点在直线的异侧时，直线上有一点与两定点之间的距离之和有最小值

【变式训练二】△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且│AB│2=│AD│2+│BD│·│DC│．用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
【分析】首先建立直角坐标系，设出点的坐标，由距离公式可得等式，再化简.
【解】作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系．
x
y
B
O
C
A
D
设，，，．
∵ ，
所以，由距离公式可得，
∴
∴
∴
∴
所以，为等腰三角形．

【点拨】坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
3.3.3 点到直线的距离
主要知识考点理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式.
点到直线的距离公式为
名师要点解析
要点导学
1. 点到直线距离公式中不能忘掉绝对值符号，距离是一个非负数．
2. 当点落在直线上时公式仍然成立．
3. 求点到直线距离时，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要.
【经典例题】
【变式训练一】已知点到直线的距离为，求的值；
【分析】可直接带入点到直线距离公式求解.
【解】

【点拨】注意求出来的a值有两个，都不能舍去，因为过直线外一点到直线的距离为常数（不等于0）的直线有两条.

3.3.4 两条平行直线间的距离
主要知识考点会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想
两条平行直线，之间的距离公式为.
名师要点解析
要点导学
1. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为.
2. 在求两条平行线间的距离时，有时可不用公式，仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理．

【经典例题】
【变式训练一】求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.
【分析】先把x,y的系数化为相同，设所求直线的方程，利用两组平行线间距离相等可得等式.
【解】直线的方程化为. 设所求直线的方程为，
则，即，解得. 所以所求直线方程为.
点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：
【点拨】与两条平行直线，都平行且到它们的距离都相等的直线方程.

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