现代应用数学基础.doc

《现代应用数学基础》复习
2013-11-12
1. (Lebesgue控制收敛定理) 设
(1) 是可测集上的可测函数列;
(2) a.e.于, 且在上Lebesgue可积;
(3) 依测度收敛于.
则在上Lebesgue可积且
.
证明:
分两步进行讨论.
第一步. 先设.
利用Lebesgue积分的绝对连续性, 对任意,存在,使得 且
时,

由依测度收敛于知,存在,当时,

于是, 当时,

因此,

+
+.
故等式成立.
第二步 设.
采取用测度有限的集合列逼近的方法. 选择集合列满足条件
且

由此推出

另一方面, 从上可知, 存在,当时,

因此,

++
证毕
2.（1）求证：是度量空间的有界集当且仅当，有
，其中为某定点．特别地，是赋范空间的有界集当且仅当，．
　　（2）若是度量空间中的收敛点列，则是有界集．
　　证明　（1）设是有界集， . 则．取 . 则，，有
．
反之，设， ，．于是，
，
，
即是有界集．
特别地，当是赋范空间时，取，有，因此是有界集当且仅当，，．
（2）设，则．即是收敛于的数列．所以，，．由（1）已证，此式表明是度量空间中的有界点列．
3.（压缩映射原理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，即，存在，使.则存在唯一的不动点，即
证明 任取由此点出发逐次迭代，， 得到点列，其中.
先证是列.事实上，由于是压缩的，存在有
.
对任意有

.
由于所以是列.
次证不动点存在性.因为完备，故使.又因为是压缩映射，从而必是连续映射，对令得到.
再证不动点的唯一性.若又有使则

即由于，因此即
4.设计一种迭代格式，利用压缩映射原理求方程在的根.
解 令，因为故是严格增加的.又因为所以方程在内有且仅有一个根.
取初值，将方程写成用进行迭代，则得到近似解不收敛.这是因为在不是压缩映射.
现改进迭代公式，引入参数，令.
,由微分中值定理得，使

因,故取,有
，
从而，这表明是上的压缩映射，压缩常.作为一维欧氏空间的闭度量子空间是完备的，由压缩映射原理，有唯一不动点，就是方程的唯一的根.

迭代公式即

取，得，，，，，，，.取近似解则，.于是，误差

5.（常微分方程解的存在唯一性）考虑初值问题
（A）
其中在平面上连续，且关于变量满足条件：
，
为常数.则初值问题（A）在上存在唯一解，其中.
证明 首先指出，初值问题（A）有解与积分方程
（B）
有连续解是等价的.
事实上，设（A）有解则它满足常微分方程与初始条件

对上式两端积分可得，

这表明是（B）的解，且由的可微性知是连续的.
反之，若是（B）的连续解，则在式（B）中令得由于连续，故变上限积分函数可微，对式（B）两边求导得，

这表明是方程（A）的解.
现利用方程（B），在连续函数空间上定义映射为
（C）
由的连续性可知且

因故是空间上的压缩映射.由压缩映射原理，存在唯一的使 按式（C），就表示是方程（B）的唯一的连续解.从而方程（A）存在唯一的解.
6.(线性代数方程组解的存在唯一性)设有线性方程组其中为矩阵，为矩阵（列向量）.若满足
.
(即是所谓的对角占优阵)，则存在唯一解.
证明 由于，记 ，则原方程组与同解.记为单位矩阵，其中则方程组与下述方程组同解：
. （A）
对任意列向量，取范数

则是有限维赋范空间从而是空间.由式（A），令为
（B）
因为有

其中，故是压缩映射.由压缩映射原理，存在唯一不动点，由，是方程（A）的唯一解，从而是方程组的唯一解.
7.（积分方程的定理）设 是定义在矩形上的可测函数，且是平方可积的，即.则积分方程
（A）
当时有唯一解
证明 作上的映射为
. （B）
由不等式（）得，

故从而由是线性空间及可知， 是到的映射.已知是空间，由不等式（）得，

即.因为故为压缩映射.由压缩映射原理得，存在唯一不动点由及式（B）可知，是积分方程（A）的唯一解.
8． 设,是赋范空间，是线性算子，则下列诸条件等价：
（1）是有界算子；
（2），有；.
（3）在某一点连续；
（4）在上连续．.
证明 （1）（2）设有界，即将的任一有界集映射为的有界集．则将映射成有界集．即有.从而，, 若, 则, 显然有; 若, 则, 由于故.
（2）（3）设 由条件（2）得，.于是由得，.这表明在连续．
（3）（4）设在某点连续，即当有.设是任一点且.令.则，从而应有. 由于是线性的，故. 因此，
，
即.的任意性表明在上连续．
（4）（1）（反证法）若不是有界算子，则将的某有界集映射成的无界集．不妨设有界而无界．于是， ；且（正整数），，有.令，则
，.
由于连续，因而 . 这与

相矛盾. 所以有界．
9． 设积分算子定义为
，其中．
(1)是从到的算子.
(2) 是从到自身的算子.
分别求出.
解　(1) ,有

,
得到.令,则,且,于是得到
.
所以.
(2) ，有

图

b
a

，
得到．（正整数），令

（如图所示）.则
,

,
．
由的任意性得,.所以.
10．　设，为赋范空间，是线性算子．
(1)为闭算子的充要条件是：任一点列，若，，则．
(2)有界线性算子是闭算子．
证明　(1)必要性　设是闭算子且设，，．则，且
，
即．由于是中闭集，故，从而有．
充分性　设，．则

．
所以，．于是由题设所述的条件得，，即，是闭的．证得是闭算子．
(2) 设是有界的，并设，且．由的连续性得，；再利用极限的唯一性得，．由(1)可知，是闭算子．
11．　设是从Banach空间到Banach空间的线性算子且是幂等的，即对，．若零空间与值空间都是闭的，证明是有界的．

证明　先证是闭算子．设，，且．因为是闭的．故，从而存在使．因为
，
故，而是闭的，所以
．
于是，从而有．证得是闭算子．
因为，是Banach空间，故应用闭图象定理得，是有界的．证完.
12.　在欧氏空间中，点列收敛等价于依坐标（分量）收敛．
事实上，设，，其中，．我们有
，
．
于是，．
　13.　在连续函数空间中，点列收敛等价于函数列一致收敛．
事实上，设，．我们有
.
于是，

函数列在上一致收敛于．
　　14.　在离散度量空间中，由于，等价于，因此点列收敛于意味着基本上是常点列，即存在正整数，必有，从而就是．
15.　在（）中，点列收敛于，即
．
这种收敛被称为函数列的次幂平均收敛．特别地，当，其物理意义是按能量收敛．由函数列的次幂平均收敛一般不能得到逐点（对每点）收敛于，但必定存在子列，使 a.e.．
16. 证明：完备（即函数列一致收敛Cauchy准则）．
证：设为Cauchy列. 则，，，,有　
．　　　 （2.9）
固定，则是Cauchy数列，从而有唯一的使．由此式定义的是上的函数．对式（2.9）令得，，，，即一致收敛于．又每个是连续的，所以极限函数连续，即.由依范数收敛与一致收敛的等价性（例2.13），有．这表明完备．
17． 证明：（）完备．
证：设为Cauchy列，其中. 则，， ，有

　　 　　　　 　 （2.10）
于是，有，即是Cauchy数列（），因而可设，，由式（2.10）得, ，，
．　　　　 　　 　 （2.11）
对式（2.11）令得，，，
．　　 　　　　　 　 （2.12）
对式（2.12）令得，，，即．这表明．而且由也表明．由于是线性空间，故．因此是完备的．
18． 证明：完备．
设是Cauchy数列，其中.则，， ，有．于是
　　,, ,　　　　 　　　　（2.13）
即是Cauchy数列（），因而可设，. 对式（2.13）令得，，，．于是，．这表明．由也表明．由于是线性空间，所以，因此完备．
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