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点扩展函数的估计
一般的点扩展函数估计是图像恢复中的一个非常困难的问题，一些常用的方法是“运用先验知识的方法，运用后验知识的方法以及误差—参数曲线分析法。
Ø 运用先验知识的方法
一般来说，大气湍流、光学系统散焦以及照相机与景物之间的相对运动造成的模糊是图像处理中经常遇到的情况，这类退化的点扩展函数可以根据导致模糊的物理过程（先验知识）来确定。研究表明，对于长时间曝光下大气湍流造成的转移函数（它的傅里叶逆变换即为点扩展函数）可近似为高斯型，即表达成
Hu,v≈exp⁡[-c(u2+v2)5/6]
其中，C为与湍流性质有关的常数。光学系统散焦造成的转移函数式熟知的“Bes-Sinc”函数，可写成
Hu,v=J1 (πdp)/(πdp)
其中，p=u2+v212,d为光学系统的散焦点扩展函数（在线性移不变系统中是圆函数）的直径，J1 (.)是第一类一阶贝塞尔函数。
下面以摄影中照相机与景物之间的相对移动造成模糊的情况，作为先验知识来确定转移函数的具体例子。
假定照相机不动，图像fx,y在图像面上移动并且图像fx,y除移动外不随时间变化。令x0(t)和y0(t)分别代表位移的x分量和y分量，那么在快门开启的时间T内，胶片上某点的总曝光量是图像在移动过程中一系列相应像素的亮度对该点作用之总和。如果快门开启时间与关闭时间可以忽略不计，且光学系统假设是完善的，且有下列关系存在
gx,y=0Tf[x-x0t,y-y0t]dt
对其两边取傅里叶变换，得到
Gu,v=-∞∞-∞∞0Tfx-x0t,y-y0tdt∙exp-j2πux+vydxdy
=0T-∞+∞-∞∞fx-x0t,y-y0t∙exp-j2πux+vydxdydt
根据傅里叶变换的空间位置平移性质可得
Gu,v=0TFu,vexp-j2πux0t+vy0tdt
=f(u,v)0Texp-j2πux0t+vy0tdt
定义
Hu,v=0Texp-j2πux0t+vy0tdt
那么上式可以表示成
G(u,v)=H(u,v)f(u,v)
可见，H(u,v)的表达式就是移动模糊的转移函数。如果移动只代表为沿着x方向以速度V作匀速运动，那么有
x0=Vt， y0t=0
将上式代入H(u,v)表达式，可得
Hu,v=0Texp-j2πuVtdt
=1πuVsinπuVtexp-jπuVt
=Texp-jπuVtsinc πuVt
Ø 运用后验判断的方法
如果事先并不知道退化的物理过程，或者这种物理过程过于复杂，难以用来确定hx,y，那么可能的办法只有从退化图像本身来估计hx,y。例如，若有把握断定原始景物某部位有一个清晰的点，于是那个点在退化图像上的模糊影像就是点扩展函数，天文图片会有这种情况，图片上某颗细小星体的退化图像可用来估计点扩展函数。
如果原始景物含有明显的直线，则有时可以从这些线条的退化图像来确定hx,y，为了说明这一方法，可假定原始景物中有一条平行于x轴的理想线源，记做δ(y)，此处δ(y)被看作是二维函数，但不依赖于x。该理想线源的退化图像则称为线扩展函数，记做h1y，可表示成
h1y=-∞∞-∞∞δβh(x-a,y-b)dαdβ
利用δ函数的筛选性质，此式变成
h1y=-∞∞h(x-a,y)dα
对上式做变量置换x-a=x，可得
h1y=-∞∞h(x,y)dx
这说明线扩展函数在y方向的分布与位置x无关，即在任何一条与x轴平行的线上，h1y的值是一个常数，而h1y在y方向上任一点的数值是点扩展函数在该点沿x方向的积分。显然，如果点扩展函数式圆对称函数，则线扩展函数与线源的取向无关；否则，就与线源的取向有关。
若h1y的傅里叶变换为H1V,则
H1V=-∞∞h1(y)exp⁡(-j2πvy)dy
但我们知道
Hu,v=-∞∞-∞∞h(x,y)exp⁡[-j2π(ux+vy)]dxdy
如果把u=0代入这一方程并使用上两式可以得到
H0,v=-∞∞[-∞∞hx,ydx]exp⁡[-j2πvy]dy=H1(v)
这表示平行于x轴的线扩展函数的傅里叶变换是转移函数Hu,v在频谱平面上验u=0直线所取的值。同理可以证明，与x轴成θ的线扩展函数，其傅里叶变换则是Hu,v在频谱平面上沿斜率为θn+90°的直线所取的值。因此，如果能断定原始景物含有各种取向θ1，θ2，⋯，θn的线，就能从这种集购物退化的图像上推到出Hu,v沿着过原点具有斜率θ1+90°,，θ2+90°，⋯θn+90°的那些辐射形直线上的值。
如果能肯定点扩展函数是圆对称的，则Hu,v也是圆对称的。因此盒子要知道沿一条辐射线的Hu,v的值，就知道它各处的值。如果没有这种先验知识，一般必须求得沿着紧挨在一起的许多辐射线上的Hu,v值。倘若频谱平面能被足够密集的这种线上的Hu,v值所覆盖，就能构成Hu,v的精密近似值。并通过内插法求得频谱面坐标网络交点上的值，然后通过傅里叶变换即可求得hx,y。
假使原始景物不含有点或者线的内容，然而它可能含有明显的界线。现在将要证明界线的退化图像的导数等于平行于该界线的线源的退化函数。
一条沿x轴的理想界线在数学上可用S(y)表示，这里的S(y) 单位阶跃函数，即
Sy=1, y≥00, &y<0
设hsy是该界线的退化图像，那么
hsx,y=-∞∞-∞∞hx-a,y-βSβdαdβ
=-∞∞-∞∞ha,βS(y-β)dαdβ
由于平行于x轴的界线的退化图像与x无关，所以上式中的hsx,y可用hsy代替，变成
hsy=-∞∞-∞∞ha,βSy-βdαdβ
上式中两边对y取偏导数并在右边互换积分和微分算符的次序，得到
∂hsy∂y=-∞∞-∞∞ha,β∂∂ySy-βdαdβ
=-∞∞-∞∞ha,βδy-βdαdβ
=-∞∞ha,yda
比较h1y=-∞∞h(x,y)dx和上式，可以看出
∂h(y)∂y=h1(y)
上式表明，一条线的退化图像就是平行于此线的界线退化图像的导数，因此，若原始景物中含有各种取向的界线，则可用前面讨论过的方法由这些界线退化图像的导数来确定点扩展函数，事实上，由于偏微分算子∂∂y是线性位移不变算子，所以根据上式可得
h1y=∂hsy∂y=∂∂y-∞∞Hsvexpj2πvydv
=-∞∞Hsv(j2πv)expj2πvydv
式中Hs(v)是hs(y)得傅里叶变换，由傅里叶变换定义可以看出
H1v=j2πvHsv
H0,v=j2πvHsv
还有一个方法可从退化图像本身估计转移函数Hu,v，把退化图像分成n个大小相等的子图像gix,y,i=1,2,⋯,n，假设点扩展函数取值范围与上述子图像的尺寸相比足够小，那么对于每个子图像，可以得到
gix,y=-∞∞-∞∞fiα,βhx-α,y-βdαdβ, i=1,2,⋯n
对等式两边取傅里叶变换，有
Giu,v=Hu,vFiu,v, i=1,2,⋯n
对于i取乘积变换，得
i=1nGi(u,v)=i=1nFiu,vHnu,v
或者
Hu,v=i=1nGi(u,v)1/n/i=1nFi(u,v)1/n
若原始景物各子图像内灰度起伏足够大，且各子图像之间灰度也有相当大的差异，则可期望上式右边的分母接近于一个常数（也即与u、v无关）。另一方面，Gi(u,v)也可由退化子图像gi(x,y)求得。于是根据上式即可估计H(u,v)，从而求得点扩展函数h(x,y)。
Ø 误差-参数曲线分析法
对于点扩展函数可用由某一参数来表征的退化方式（如线性移动和散焦等），这里介绍误差-参数曲线分析方法来估计点扩展函数。
如果点扩展函数可用某一个参数表征，点扩展函数的估计就变成了对应参数的估计。比如散焦和移动分别用散焦半径r和移动距离d来表征。现在把点扩展函数写成h(α)的形式。误差-参数曲线分析法是用下面的方法产生一个误差-参数曲线通过对曲线的分析来决定点扩展函数的参数，其基本步骤如下。
（1） 选定一个参数搜索范围，设α0为该范围的初始位置，∆α为搜索步长，K为搜索步数。
（2） 对i=1,2,⋯k，有
α=α0+(i-1)∆α
由参数α得到点扩展函数h；
由h和退化图像y，实施恢复算法得到恢复图像x；
计算恢复误差E=y-x*h2或其他误差度量。
判断E≤ε(ε为预先设定的阈值)。是，执行(3)；否，则回到(2)。
（3） 做出E-α曲线，由此判定实际退化参数的α值，并获得实际的点扩展函数。
在上述算法中，原则上任何一种有效的恢复算法都可以使用，同样，恢复的误差可以E=y-x*h2，也可以是其他任何更为合适的度量误差。在步骤(3)中，观察误差-参数曲线，从曲线右端（最大的参数值）开始，曲线变化率开始显著减小的位置对应的即为真实参数的近似。
在一定的信噪比下，误差-参数曲线分析法对于散焦和移动的情形可以进行良好的点扩展函数的估计，但对于其他情形（比如高斯退化），并不能简单地加以推广，还必须辅之以其他的方法，另外，需要人为参与，这也是该方法的缺点。