数学分析课程简介.doc

数学分析课程简介
课程编码:21090031-21090033
课程名称：数学分析
英文名称：Mathematical Analysis
课程类别：学科基础课程
课程简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19世纪末及20世纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程基本的内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分学等方面的系统知识，用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特性——连续性、可微性、可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。
教材名称：数学分析
教材主编：华东师范大学主编（第四版）
出版日期：2010年6月第四版
出版社： 高等教育出版社

《 数学分析1》课程教学大纲
（2010级执行）
课程代号：21090031
总 学 时：80学时（讲授58学时，习题22学时）
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学
先修课程：本课程不需要先修课程，以高中数学为基础
一、本课程地位、性质和任务
本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科基础课程。通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。
二、课程教学的基本要求
重点：极限理论；一元函数微分学及贯穿整个课程内容的无穷小分析的方法。
基本要求：掌握极限、函数连续性、可微等基本概念；掌握数列极限、函数极限；闭区间连续函数性质；熟练掌握函数导数、微分的计算及应用；掌握微分中值定理及其应用。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容
(一) 课程学时分配一览表
章节
主要内容
总学时
学时分配
讲授
讨论
习题
实验
其他
第-章
实数集与函数
4
4

第二章
数列极限
14
8

6

第三章
函数极限
16
12

4

第四章
函数的连续性
12
8

4

第五章
导数和微分
12
8

4

第六章
微分中值定理及其应用
22
14

8

(二) 课程教学要求及主要内容：
第一章 实数集与函数
教学目的和要求：

1、了解函数的基本概念、初等函数的定义；
2、掌握函数的表示形式及简单特性。
3、掌握上、下确界定义、确界存在定理；
教学重点和难点：
上、下确界定义、确界存在定理，两个常用不等式。
教学内容：
1、介绍数学分析课程涉及的有关集合的一些基本概念和问题；
2、介绍函数、初等函数的定义；函数的表示形式及简单特性；
3、两个常用不等式。
4、上、下确界定义、确界存在定理；
第二章 数列极限
教学目的和要求：
1、熟练掌握数列极限定义；
2、掌握收敛数列的性质；
3、掌握数列极限存在的条件
教学重点和难点：
数列极限的定义，单调有界定理、Canchy 收敛原理。
教学内容：
1、数列及数列极限定义；
2、收敛数列极限性质；
3、单调有界原理；
4、Canchy 收敛准则；
第三章 函数极限
教学目的和要求：
1、熟练掌握函数极限定义、性质及计算；
2、掌握函数极限与数列极限关系；
3、掌握函数极限存在的条件；
4 、熟练掌握两个重要极限；
5、掌握无穷小量与无穷大量的定义及无穷小量比较；
6、了解曲线的渐近线
教学重点和难点:
函数极限定义、函数极限与数列极限关系、两个重要极限、Canchy 准则。
教学内容：
1、函数极限的定义（两种情形）、性质及计算，
2、函数极限存在的条件（归结原则、Canchy 准则）
3 两个重要极限
3、无穷小量与无穷大量及无穷小量的比较；
4 、曲线的渐近线
第四章 函数的连续性
教学目的和要求：
1 、掌握连续函数定义；
2、了解间断点及其分类
3 、掌握闭区间连续函数性质、
4 、了解一致连续的定义。
5、了解初等函数的连续性
教学重点和难点：
连续函数的定义、闭区间上的连续函数性质、一致连续的定义。
教学内容：
1、连续性概念
2、间断点及其分类
3、闭区间连续函数性质
4、一致连续的定义
5 、初等函数的连续性
第五章 导数和微分
教学目的和要求：
1、了解微分、导数定义的导出背景，
2、熟练掌握导数定义.
2、熟练掌握求导基本公式，复合函数求导法则，隐函数求导法则.
3、掌握高阶导数定义及运算法则.
教学重点和难点:
导数定义、复合函数求导法则.
教学内容：
1、微分定义的导出背景；微分的定义及其意义；
2、产生导数的实际背景；导数的定义及其意义；
3、微分与导数的四则运算；反函数求导法则；微分与导数的基本公式；
4、复合函数求导法则；隐函数求导法则；参数方程求导法则；
5、高阶导数的实际背景；高阶导数的定义；高阶导数的运算法则。
第六章 微分中值定理及其应用
教学目的和要求：
1、掌握微分中值定理.
2、熟练掌握L’Hospital法则.
3、理解泰勒公式及应用；
4、理解极值、凸性的定义；
5 、掌握函数极值与最大(小)值求法
6、掌握函数图像的描绘。
7 、了解方程的近似解
教学重点和难点:
Rolle定理，Lagrange中值定理、cauchy中值定理、L’Hospital法则. 函数的极值，泰勒公式。
主要内容：
1、微分中值定理（Fermat引理，Rolle定理，Lagrange中值定理cauchy中
值定理）及其应用；
2、待定型的定义；L'hospital法则；各种待定型极限的计算。
3、Taylor公式及其应用；
4、极值、凸性的定义；最值问题
5、函数作图；
6、简单介方程的近似求解法。
四、使用教材与参考书目；
建议使用教材：
华东师范大学数学系编《数学分析》第四版. 高等教育出版社（2010）
教学参考书：
[1] 陈传璋、金福临、朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．复旦大学
数学系．高等教育出版社（1983）。
[2]陈纪修、於崇华、金路等编《数学分析》第二版，高等教育出版社（2004）。
[3] 斐礼文．数学分析中的典型问题与方法。
[4]菲赫金哥茨．叶彦谦译．微积分教程．人民教育出版社（1959）。
[5] 刘玉琏、扬奎元、吕凤．数学分析讲义学习指导书．高等教育出版社。
五、实验要求与实验内容/课程实践环节基本要求:
本课程每讲授二节课后，可布置一次课外作业，以巩固所学的知识。期中
可安排一次测验，以检查教学情况，及时做出调整。
六、教学方法的原则性建议：
1、结合课程讲授，辅以自学和讨论.
2、适当介绍建立数学模型的思想.
3、应注意采用现代教学的思想观点和方法.
七、考核方式及成绩构成
该课程为考试课，考核形式为闭卷，平时作业与期中考试占30%、期末考试占70%.
八、必要的说明
本课程是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，起着承上启下的重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展，另一方面它又为许多后继课程，如复变函数、实变函数、常微分方程、概率论、泛函分析、微分几何等课程提供重要的基础.本大纲从2010级开始执行.
九、本大纲编写参照系、编写根据、编制人：
本课程以数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的培养方案对本课程的要求为根据编写而成.
编制人：赵利彬
《 数学分析2》课程教学大纲
课程代号：21090032
总 学 时： 96学时（讲授66学时，习题30学时）
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学
先修课程：《数学分析1》
一、本课程地位、性质和任务
本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科基础课程。通过本课程的教学,使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础
二、课程教学的基本要求
重点：定积分；数项级数的收敛性、函数项级数的一致收敛性.
基本要求：了解实数完备性的基本定理及其等价性、理解不定积分的定义，理解定积分的定义、可积条件，了解反常积分的概念，熟练掌握换元积分和分部积分法，熟练掌握微积分学基本定理、基本公式，掌握反常积分的收敛性判别法，熟练掌握数项级数的收敛性判别法，掌握函数项级数的一致收敛性判别法、函数的幂级数展开、了解傅里叶级数。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容
(一) 课程学时分配一览表
章节
主要内容
总学时
学时分配
讲授
讨论
习题
实验
其他
第七章
实数的完备性
10
6

4

第八章
不定积分
10
8

2

第九章
定积分
16
10

6

第十章
定积分的应用
10
6

4

第十一章
反常积分
10
8

2

第十二章
数项级数
14
10

4

第十三章
函数列与函数项级数
14
10

4

第十四章
幂级数
6
4

2

第十五章
傅里叶级数
6
4

2

(二) 课程教学要求及主要内容
第七章 实数的完备性
教学目的和要求：
1 、理解区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理
2 、了解实数完备性基本定理的等价性；
3 、掌握闭区间连续函数性质的证明
4 、了解上、下极限定义及其计算。
教学重点和难点:
实数完备性基本定理的等价性、闭区间连续函数性质的证明
教学内容
1 、区间套定理
2 、聚点定理
3 、有限覆盖定理
4 、实数完备性基本定理的等价性；
5 、闭区间连续函数性质的证明
6 、上 、下极限定义及其计算
第八章 不定积分
教学目的和要求：
1、熟练掌握不定积分的计算及换元积分法、分部积分法；
2、掌握有理函数不定积分的计算。
教学重点和难点:
换元积分法、分部积分法、有理函数积分法。
教学内容：
1、不定积分的定义及其性质；
2、换元积分法和分部积分法；
3、有理函数的不定积分及其应用。
第九章 定积分
教学目的和要求：
1、理解定积分定义的导出背景，定积分定义，掌握其性质；
2、理解Darboux和Riemann可积的充分必要条件；
3、熟练掌握微积分基本定理、定积分的计算；
教学重点和难点:
微积分学基本定理、基本公式、可积条件。
教学内容：
1、定积分定义的导出背景；定积分的定义及其性质；
2、Darboux和；Riemann可积的充分必要条件；
3、微积分基本定理（Newton-Leibniz）公式；
4、定积分的换元积分法和分部积分法；
5、定积分的计算.
第十章 定积分的应用
教学目的和要求：
1 、掌握平面图形的面积的计算公式
2 、掌握体积的计算公式
3、掌握平面曲线的弧长的计算公式
4 、理解旋转曲面的面积
5、了解定积分在物理中的应用
6、了解定积分的近似计算
教学重点和难点:
平面图形面积的计算公式、体积计算公式、平面曲线弧长的计算公式
教学内容：
1 、平面图形的面积
2 、体积的计算公式
3 、平面曲线的弧长与曲率
4 、旋转曲面的面积
5 、定积分在物理中的应用
6 、定积分的近似计算

第十一章 反常积分
教学目的和要求：
1、了解反常积分的定义；
2、掌握反常积分的计算及收敛判别法。
教学重点和难点:
反常积分收敛判别法。
教学内容：
1、反常积分的定义及计算；
2、反常积分的收敛判别法。
第十二章 数项级数
教学目的和要求：
1、理解数项级数及其敛散定义，数项级数基本性质；
2、熟练掌握正项级数敛散的判别法，交错级数的Leibniz判别法；
3、掌握任意项级数判别法。
教学重点和难点:
正项级数收敛的判别法、任意项级收敛数判别法。
教学内容：
1、数项级数及其敛散定义；
2、数项级数基本性质；
3、正项级数的定义及其敛散的判别法（比较判别法、Cauchy判别法，D'Alembert判别法、Raabe判别法、积分判别法）；

4、交错级数的定义及Leibniz判别法；
5、任意项级数的定义；Abel判别法与Dirichlet判别法；
6、级数的绝对收敛与条件收敛的定义及其判别法、性质；
第十三章 函数列与 函数项级数
教学目的和要求：
1 、掌握函数列的一致收敛定义
2、掌握函数项级数点态收敛与一致收敛定义；
2、掌握函数项级数一致收敛判别法；
3、掌握函数项级数和函数的分析性质；
教学重点和难点:
函数列、函数项级数一致收敛判别法、函数项级数和函数的分析性质。
教学内容：
1、函数列的一致收敛的定义
1、函数项级数及其点态收敛的定义；
2、函数项级数一致收敛的定义；
3、函数项级数一致收敛的判别法；
4、一致收敛函数列的性质
5．函数项级数和函数的分析性质；
第十四章 幂级数
教学目的和要求：
1、掌握幂级数的收敛半径及收敛区间
2、掌握幂级数和函数的性质
3、掌握幂级数的运算
4、理解函数的幂级数展开
教学重点和难点:
级数和函数的性质、函数的幂级数展开
教学内容：
1、幂级数的收敛半径及收敛区间
2、幂级数的性质
3、幂级数的运算
4、泰勒级数
5初等函数的幂级数展开

第十五章 傅里叶级数
教学目的和要求：
1、掌握函数的傅里叶级数展开；
2、掌握傅里叶级数的收敛性定理；
3、掌握傅偶函数与奇函数的傅里叶级数；
教学重点和难点:
傅里叶级数的收敛性定理、偶函数与奇函数的傅里叶级数；
教学内容：
1、傅里叶级数
2、收敛定理及其证明
2、以2l为周期的函数的傅里叶级数.
3、偶函数与奇函数的傅里叶级数
四、使用教材与参考书目；
建议使用教材：
华东师范大学数学系编《数学分析》第四版. 高等教育出版社（2010）
教学参考书：
[1] 陈传璋、金福临、朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．复旦大学数学系．高等教育出版社（1983）。
[2]陈纪修、於崇华、金路等编《数学分析》第二版，高等教育出版社（2004）。

[3] 王俊青．数学分析中的反例．电子科技大学出版社（1996）。

[4] 斐礼文．数学分析中的典型问题与方法。
[5]菲赫金哥茨．叶彦谦译．微积分教程．人民教育出版社（1959）。
[6] 刘玉琏、扬奎元、吕凤．数学分析讲义学习指导书．高等教育出版社。
五、实验要求与实验内容/课程实践环节基本要求:
本课程每讲授二节课后，可布置一次课外作业，以巩固所学的知识。期中可安排一次测验，以检查教学情况，及时做出调整。
六、教学方法的原则性建议：
1、结合课程讲授，辅以自学和讨论。
2、适当介绍建立数学模型的思想。
3、应注意采用现代教学的思想观点和方法。
七、考核方式及成绩构成
该课程为考试课，考核形式为闭卷，平时作业与期中考试占30%、期末考试占70%.
八、必要的说明
本课程是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，起着承上启下的重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展，另一方面它又为许多后继课程，如复变函数、实变函数、常微分方程、概率论、泛函分析、微分几何等课程提供重要的基础. 本大纲从2010级开始执行
九、本大纲编写参照系、编写根据、编制人：
本课程以数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的培养方案对本课程的要求为根据编写而成.
编制人：赵利彬

《 数学分析3》课程教学大纲
课程代号：21090033
总 学 时 80学时（讲授56学时，习题24学时）
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学.
先修课程：《数学分析1》《数学分析2》
一、本课程地位、性质和任务
本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科基础课程。通过本课程的教学,使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。
二、课程教学的基本要求
重点：多元函数微分学、多元函数积分学.
基本要求：理解多元函数极限、连续性定义，理解偏导数、全微分定义、理解多元函数各类积分的定义，熟练掌握多元函数微分法及应用，熟练掌握各类积分的计算方法及公式。了解含参变量积分的概念、性质，掌握含参变量积分的一致收敛性及其判别法。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容
(一) 课程学时分配一览表
章节
主要内容
总学时
学时分配
讲授
讨论
习题
实验
其他
第十六章
多元函数的极限与连续
12
8

4

第十七章
多元函数微分学
18
12

6

第十八章
隐函数定理及应用
8
6

2

第十九章
含参变量积分
6
4

2

第二十章
曲线积分
8
6

2

第二十一章
重积分
20
14

6

第二十二章

曲面积分
8
6

2

(二) 课程教学要求及主要内容
第十六章 多元函数极限和连续
教学目的和要求：
1、理解平面点集的基本概念
2、掌握平面上的完备性定理；
2、掌握多元函数极限，累次极限的定义及计算方法；
3、掌握多元函数连续性定义及多元连续函数的性质。
教学重点和难点:
多元函数的极限的定义、平面上的完备性定理；
教学内容：
1、平面点集的基本概念
2、平面上的完备性定理；
3、多元函数定义；
4、多元函数的极限、累次极限的定义及计算方法；
5、多元函数的连续性定义；多元连续函数的性质。
第十七章 多元函数的微分学
教学目的和要求：
1、掌握偏导数、全微分定义，多元复合函数求导法则；
2、掌握多元函数可微性条件
2、理解方向导函数、梯度、高阶偏导数定义；
3、掌握多元函数的极植
4、掌握条件极植与Lagrange乘数法。
教学重点和难点:
多元复合函数求导法则、多元函数可微性条件；
教学内容：
1、偏导数、方向导数、全微分、梯度、高阶偏导数概念
2、可微性与全微分
3、多元复合函数的求导法则；
4、多元函数的Taylor公式；
5、多元函数的极植
6、条件极值及求法。
第十八章 隐函数定理及应用
教学目的和要求：
1、掌握隐函数存在性定理
2、了解隐函数组存在定理
3、掌握隐函数求导法则、
4、掌握偏导数在几何中的应用；
教学重点和难点:
函数组存在定理、隐函数求导法则、偏导数在几何中的应用
教学内容：
1、隐函数的概念
2、隐函数存在性定理
3、隐函数求导法则、
4、隐函数组的求导法则
5、平面曲线的切线与法线
6、空间曲线的切线与法平面
7、曲面的切平面与法线
第十九章 含参变量积分
教学目的和要求：
1、了解含参变量积分的概念、性质
2、了解含参变量积分的一致收敛性
3、掌握含参变量积分的一致收敛性判别法。
4、掌握含参变量积分的性质
5、了解欧拉积分
教学重点和难点:
含参变量积分的一致收敛性判别法、含参变量积分的性质
教学内容：
1、含参变量正常积分的概念；
2、含参变量反常积分的概念
3、含参变量积分的一致收敛性
4、含参变量积分的一致收敛性判别法
5、含参变量积分的性质
6、欧拉积分
第二十章 曲线积分
教学目的和要求：
1、理解两类曲线积分的定义；
2、掌握两类曲线积分的计算公式；
3、掌握两类曲线积分的关系
教学重点和难点:
曲线积分计算公式、两类曲线积分的关系
教学内容：
1、第一类曲线积分的定义及计算；
2、第二类曲线积分的定义及计算；
3、两类曲线积分的关
第二十一章 重积分
教学目的和要求：
1、理解二重积分的定义、性质；
2、熟练掌握重积分的计算公式；
3、掌握格林公式
4、掌握曲线积分与路线无关的条件
5、掌握二重积分的变量代换公式
6、理解三重积分的定义、性质
7、熟练掌握三重积分的计算公式
8、理解重积分的应用
3、了解反常重积分概念。
教学重点和难点:
重积分计算、重积分变量代换、格林公式、曲线积分与路线无关的条件
教学内容：
1、二重积分定义、性质；
2、直角坐标系下二重积分的计算公式；
3、格林公式
4、曲线积分与路线无关的条件
5、二重积分的变量代换；
6、极坐标系下二重积分的计算公式；
7、三重积分定义、性质；
8、三重积分的计算公式；
9、重积分的应用
10、反常重积分；
第二十二章 曲面积分
教学目的和要求：
1、理解两类曲面积分的定义；
2、掌握两类曲面积分的计算公式；
3、了解两类曲面积分的关系
4、掌握Gauss公式，Stokes公式、
教学重点和难点:
曲面积分的计算公式、Gauss公式，Stokes公式。
教学内容：
1、第一类曲线积分，第一类曲面积分的定义及计算；
2、第二类曲线积分、第二类曲面积分的定义及计算；
3、两类曲面积分的关系
4、Gauss公式和Stokes公式
5、简单介绍场论初步；
四、使用教材与参考书目；
建议使用教材：
华东师范大学数学系编《数学分析》第四版. 高等教育出版社（2010）
教学参考书：
[1] 陈传璋、金福临、朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．复旦大学数学系．高等教育出版社（1983）．
[2]陈纪修、於崇华、金路等编《数学分析》第二版，高等教育出版社（2004）.
[3] 王俊青．数学分析中的反例．电子科技大学出版社（1996）．
[4] 斐礼文．数学分析中的典型问题与方法．
[5]菲赫金哥茨．叶彦谦译．微积分教程．人民教育出版社（1959）．
[6] 刘玉琏、扬奎元、吕凤．数学分析讲义学习指导书．高等教育出版社.
五、实验要求与实验内容/课程实践环节基本要求:
本课程每讲授二节课后，可布置一次课外作业，以巩固所学的知识。期中可安排一次测验，以检查教学情况，及时做出调整。
六、教学方法的原则性建议：
1、结合课程讲授，辅以自学和讨论.
2、适当介绍建立数学模型的思想.
3、应注意采用现代教学的思想观点和方法.
七、考核方式及成绩构成
本课程为考试课，考核形式为闭卷，平时作业与期中考试占30%、期末考试占70%。
八、必要的说明
本课程是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，起着承上启下的重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展，另一方面它又为许多后继课程，如复变函数、实变函数、常微分方程、概率论、泛函分析、微分几何等课程提供重要的基础。本大纲从2010级开始执行
九、本大纲编写参照系、编写根据、编制人：
本课程以数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的培养方案对本课程的要求为根据编写而成。
编制人：赵利彬