1、 高二数学
极坐标
1极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距
2、离|OM|叫做点M的 _____,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的_____,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.
特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
2.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标
3、是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式
在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
过极点,倾斜角为的直线
过点,与极轴垂直的直线
过点,与极轴平行的直线
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.
4、
习题：
1．将点的直角坐标(－2，2)化成极坐标得( )．
A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)
2．极坐标方程 r cosq＝sin2q( r≥0)表示的曲线是( )．
A．一个圆 B．两条射线或一个圆
C．两条直线 D．一条射线或一个圆
3．极坐标方程化为普通方程是( )．
A．y2＝4(x－1) B．y2＝4(1－x)
C．y2＝2(x－1) D．y2＝2(1－x)
4．设点P在曲线 r sin q ＝2上，点Q在曲线 r＝－2cos q上，则|PQ|的
5、最小值为
( )．
A．2 B．1 C．3 D．0
5．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是( )．
A．直线 B．椭圆 C． 双曲线 D． 圆
6．在极坐标系中，直线，被圆 r＝3截得的弦长为( )．
A． B． C． D．
7．r＝(cos q －sin q )(r＞0)的圆心极坐标为( )．
A．(－1，) B．(1，) C．(，) D．(1，)
8．极坐标方程为lg r＝1＋lg cos q，则曲
6、线上的点(r，q)的轨迹是( )．
A．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆
B．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点
C．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆
D．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆
二、填空题
9．在极坐标系中，以(a，)为圆心，以a为半径的圆的极坐标方程为 ．
10．极坐标方程 r2cos q－r＝0表示的图形是 ．
11．过点(，)且与极轴平行的直线的极坐标方程是 ．
12．曲线 r＝8sin q 和 r＝－8cos q(r＞0)的交点的极坐标是 ．
13．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为r cos q ＝3，r＝4cos q (其中0≤q＜)，则C1，C2交点的极坐标为 ．
14．是圆 r＝2Rcos q上的动点，延长OP到Q，使|PQ|＝2|OP|，则Q点的轨迹方程是 ．
三、解答题
15．已知直线l的极坐标方程为，点P的直角坐标为(cosq，sinq)，求点P到直线l距离的最大值及最小值．
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