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蚊香的几何特征及香条长度的测量
【摘要】 对盘式蚊香香条边线的几何特征进行了解分析，发现除中央部位极短的一段外，其余部分的香条线符合以香条宽度与π之商为参数的阿基米德螺线方程。根据该螺线的数学规律，建立了一种简便准确的盘式蚊香香条长度的侧量方法。

盘式蚊香(以下简称蚊香)是东方人百年前的发明创造，其盘旋典折的形状，似乎也蕴含了东方文化的玄奥。但作为一个几何图形，构成蚊香的线条遵循什么样的数学规律?

在蚊香的设计研究过程中，经常需要知道香条长度这一重要的物理特性，而目前该物理量只能通过繁琐的手工测量获得。在研究蚊香的数学规律之后，能否建立较为简便的测量方法?本文对上述问题进行了探讨并提出了解决方案。
1、盘香几何的解析
1.1盘香的几何特征
将一盘蚊香光滑面朝上，放置一水平面上，自上俯视，会观察到典型的、如图 1所示的蚊香平面图。

 图1由3根连续线条构成。中央部位2根短粗的直线表示安插蚊香架的糟隙，另外1根细长曲线表示组成蚊香的2根香条之间的边线。由于前面2根短粗直线所代表的槽隙对蚊香的诸多特性均没有值得计较的影响，所以这条细长曲线便成了蚊香几何的唯一研究对象。将这条曲线单独绘制出来，并加上一定的标志，得到了图2所示的蚊香香条曲线图。

图2中，点。为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。观察图2,首先会发现曲线AB是一个关于点 O呈中心对称的图形，这样，只要知道曲线OA和曲线OB中任何一条的数学描述，就可以容易地得到整个曲线 AB的数学描述。为此，将其中的1条曲线OA单独绘制出来，如图3所示，进行研究。

图3中的曲线OA实际上是单盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物，会发现其对应的OA曲线上，接近点O的一段(图中以OP表示)
也就是所谓“太极头”部位的曲线，在形状上各有不同，但对于剩下的一大段曲线PA ，则具有这样的特征:曲线PA上任取一点Q，假使点Q可在曲线PA上移动，则点Q越接近点A，点Q与点O的直线距离(以r表示)越大;而且，每移动一定角度(以 0表示)，r增加的值与该角度成正比。
1.2 蚊香香条的曲线方程用数学语言描述曲线QA的上述特征，可表示为
△r =k△0，或 r=k0十c (1 )
式(1)中，k和 c均为恒定常数，若以点 0为极点，建立极坐标，则选择适当方位的极轴，可以将式(1)转移为:
r=k0, 0e[o,a] (2 )
式(2)中a为点A，即香条末端对应的极角。式(2)所描述的曲线一单盘蚊香香条外侧边线 实际上正是公元前三世纪阿基米德在其《论螺线》一书中述及的、后人所谓的“阿基米德螺线”。

由于蚊香香条边线是一中心对称图形，所以，根据式2)，可以得出蚊香中另一单盘香条边线的曲线方程为:
r=k(π+0), 0e[-π，a-π] (3 )

需要说明的是，式(2)和式(3)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程，由于不同厂牌蚁香的“太极头”没有统一固定的形状，所以无法对其作出确切的描述。同时，由于“太极头”一段香条的长度极短，因而其形状对蚊香香条长度的影响事实上也可以忽略不计。

图4绘出了严格由式(2)、式((3)所述2条曲线构成的图形，观察后会发现，只是在其中央极小的区域内与图1的示的蚊香实样有所不同。
1.3 参数 k的确定
图2中直线AB与曲线AB交于若干点，每相邻两点间的距离即为通常所谓的香条宽度”。进一步观察发现，这相邻两点实际上分别是曲线OA和曲线O上极角(A)相同的两个点。如果用w表示香条宽度，则根据式(2)或式(3)，可得式(4).
(4 )
这样，在测量出蚊香的香条宽度之后，即可完全确定其数学方程。

2 香条长度的测量
2.1测量方法及计算公式
首先确定香条曲线方程中极角(0)的取值范围。如果忽略蚊香“太极头”部位香条形状与阿基米德螺线的差异，也就是说，将蚊香香条的外侧边线 OA和OB(如图2所示)近似地看作式(2)、式 (3)所描述、极角(B)分别在[0,a、][ π,a,- π]区间内取值的阿基迷德螺线，若以S表示图(2)中直线AB一通常所谓“蚊香盘径”的长度，则有式(5),
s=2aa (5)
亦 即:
(6)
而香条长度L可表示为任何一条螺线弧长在极角(0)取值区间内的积分，即:
(7)
将式(4),(5)代人式(7)，则得:
(8)
通过式(8)，只要测量出香条宽度(W),蚊香盘径(s)即可得到蚊香的香条长度。

2.2 测量方法的误差本测量方法的误差有2处来源。其一是对蚊香“太极头”部位香条形状作近似处理带来的系统误差;其二是测量 S,w时带来的随机误差。以下对这2个不同来源的误差作逐项分析，然后推断整个测量方法的误差。

2.2.1近似处理带来的误差 对照蚊香实样(图1所示)和严格的阿基米德螺线(如图4所示)发现，由于“太极头”的存在，使得蚊香香条比严格的阿基米德螺线要略短:同时，对曲线OA而言.“太极头”区域曲线的极角总是分布于下限为 0、上限不大于π的一段区间内。这样，对形状近似处理带来的误差总小于这一段螺线的长度L1，而由式(7)和式(4)可知，L1的大小为二wπ/2，根据式(8)可得:
(9)
通常，双盘蚊香的圈数总大于12，也就是说S是w的12倍以上，由式(9)知，形状近似处理给香条线长带来的测量系统误差的相对值总小于3%.

2.2.2 尺寸测量带来的误差
对式(8)取对数后再作微分可得:
(10)
由于可以通过测量多圈蚊香宽度后求平均得到香条宽度w，这样对于盘径大于100 mm的蚊香、用最小分度值为1mm(相应的最大读数误差为0.5mm的直尺测量S和w)。根据式(10)可知，尺寸测量给香条长度带来的测量随机误差相对值将在3%范围内。
综合上述两方面，考虑到形状近似处理带来的总是正偏差，本文所述的蚊香香条长度测量方法的相对误差将在-3%~6%范围内。
应用本文方法要特别注意的是，不可通过将香条开在小段，再用游标卡尺或直尺丈量获得香条宽度w，由于蚊香正面香条之间存在的模具冲切形成的空隙，这种做法将会使最终结果的测量误差(正偏差)高达10%以上。正确的方法是，在蚊香背面，作出图2中所示AB直线，然后测量5~7个香条宽度之和的尺寸，再通过算术平均值，获得 w值。