如何数三角形.doc

如何数三角形
1层三角形的个数
行数
正三角形
个数
倒三角形个数
合计三角形个数
1
1
0
1
2
2
1
3
3
3
2
5
4
4
3
7
5
5
4
9
6
6
5
11
7
7
6
13
8
8
7
15
9
9
8
17
10
10
9
19
合计
55
45
100
【问题】　由100个完全一样的小三角形组成一个大三角形，问这个大三角形中一共有多少个三角形？
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

【分析1】 由完全一样的小三角形拼成一个大三角形，其拼法如上
图所示，形成一个层又叠的大三角形，每层小三角形的个数如上图右表，对应的层数的三角形个数为层数的两倍-1，用n表示层数，第n层三角形的个数=2n-1，各层小三角形个数依次组成一个等差数列：
1，3，5，……，2n-1，
所有小三角形个数和等于此数列各项的和，利用数列求和公式
Sn=(a1+an)*n/2=[1+(2n-1)]*n/2=n*n
又：100=10*10，所以100个相同的小三角形能组成一个层数为10的大三角形。
【分析2】100个相同的小三角形能组成一个层数为10的大三角形，该三角形图中所包含的三角形分为尖朝上的正三角形和尖朝下的倒三角形两种情况，其中正三角形又分别为1层的，2层的，3层的，……，10层的。倒三角形又分别有倒1层的，倒2层的，倒3层的，倒4层的，倒5层。

【定义】 尖朝上的正三角形和倒三角形如图：
1个小三角形
1层

4个小三角形

2层

9个小三角形

3层

4层

16个小三角形

……
【解法】 明确了100个小三角形能层叠成一个大三角形，也明确了这个大三角形中包含的三角形分为正三角形和倒三角形两大类形，也明确了正三角形中有1层、2层、…、10层等10种，还明白了倒三角形有1层、2层、……、5层等5种，下面就分别数大三角形中各种三角形的个数，列表如下：

1层
2层
3层
4层
5层
6层
7层
8层
9层
10层
合计
正
55
45
36
28
21
15
10
6
3
1
220
倒
45
28
15
6
1
0
0
0
0
0
95
合计
100
73
51
34
22
15
10
6
3
1
315
具体数法如下：

2、2层三角形的个数如图
2层三角形的个数
行数
正三角形
个数
倒三角形个数
合计三角形个数
1
0
0
0
2
1
1
2

3
2
2
4
4
3
3
6
5
4
4
8
6
5
5
10
7
6
6
12
8
7
7
14
9
8

8
10
9

9
合计
45
28
73

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

3、3层三角形的个数如图
3层三角形的个数
行数
正三角形
个数
倒三角形个数
合计三角形个数
1
0
0
0
2
0
0
0
3
1
1
2
4
2
2
4
5
3
3
6
6
4
4
8
7
5
5
10
8
6

6
9
7

7
10
8

8
合计
36
15
51
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

4、4层三角形的个数如图
4层三角形的个数
行数
正三角形
个数
倒三角形个数
合计三角形个数
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0

4
1
1
2
5
2
2
4
6
3
3
6
7
4

4
8
5

5
9
6

6
10
7

7
合计
28
6
34

10
9
8

7
6
5
4
3
2
1

5、5层三角形的个数如图
5层三角形的个数
行数
正三角形
个数
倒三角形个数
合计三角形个数
1

2

3

4

5
1
1
2
6
2

2
7
3

3
8
4

4
9
5

5
10
6

6
合计
21
1
22

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
正
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
倒
1
2
3
4
5
6
7
8
9

2
正
1
2
3
4
5
6
7
8
9

倒
1
2
3
4
5
6
7

3
正
1
2
3
4
5
6
7
8

倒
1
2
3
4
5

4
正
1
2
3
4
5
6
7

倒
1
2
3

5
正
1
2
3
4
5
6

倒
1

6
正
1
2
3
4
5

倒

7
正
1
2
3
4

倒

8
正
1
2
3

倒

9
正
1
2

倒

10
正
1

倒

【归纳】
1、数三角形为两种，正三个形和倒三角形。
2、正三角形的种类有10种（10为大三角形的层数），倒三角形有5种（层数的一半）
3、每种三角形的个数规律：
（1）1层正三角形的个数S1正=1+2+3+…+10
1层倒三角形的个数 S1倒=1+2+3+…+9
（2）2层正三角形的个数S2正=1+2+3+…+9
2层倒三角形的个数 S2倒=1+2+3+…+7
（3）3层正三角形的个数S2正=1+2+3+…+8
3层倒三角形的个数 S2倒=1+2+3+4+5
（4）4层正三角形的个数S4正=1+2+3+…+7
4层倒三角形的个数 S4倒=1+2+3
……
【问题】
1、 各层正三角形的个数都是一个首项为1，公差为1的等差数列的和，关键是这个等差数列的项数如何确定？以上算法中不难看出，项数=大三角形的层数减去小三角形的层数+1
2、 各层倒三角形的个数也是一个首项为1，公差为1的等差数列的和，而这个等差数列的项数如何确定？以上计算中的项数分别是9、7、5、3、1，其规律是项数=大三角形的层数-（小三角形的层数*2-1）（为什么？）
【提高】
若干个三角形层叠组成的nn为正整数）层大三角形，包含的三角形个数如何求呢？需要的小三角形个数为n2，
数1层三角形的个数：
S1正=1+2+3+…+n=n×(n+1)/2
S1倒=1+2+3+…+（n-1）=（n-1）×(n-1+1)/2
……
k层三角形的个数，（k为正整数）
Sk正=13+…+（n-k+1）=[1+(n-k+1)]* (n-k+1) /2 （n-k+1＞0）
Sk倒=1+2+3+…+（n-2k+1)= [1+(n-2k+1)]* (n-2k+1) /2 （n-2k+1＞0）
正三角形总数S正= S1正+ S2正S3正+…+ Sk正（k≤n）
倒三角形总数S倒= S1倒+ S2倒+ S3倒+…+ Sk倒（k≤（n+1）/2）
三角形的总数S=S正+S倒