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第二章　点 集 拓 扑
§2.1. n维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念
定义2.1.1．，，定义 为 ． 称d为上的Euclid 距离．
易证距离d满足：
．； 　 ．； X
．， ． r .x A
定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) x y
X为非空集合，二元函数 满足：
．非负性：； 　 ．对称性：；
．三角不等式： ．
称d为X上的一个距离，为距离空间或度量空间．如 ，称为距离子空间．
，开球：； 闭球：．
开集：．，球 ，称x为A的一个内点．如A中每个点都是内点，则称A为开集．
开球是开集；中第一象限区域（不含坐标轴）是开集．
记中开集全体为，则有如下结论．
定理2.1.1．(1) ； (2) ； (3) ．
例：(1) 离散空间．
，定义 ．　称X为离散距离空间．
(2) 空间．
．， 定义，　d是距离．
(3) 有界函数空间．
，． 定义 ，()，d是距离．称为有界函数空间．
取 ，记．，．
定义2.1.3．设 ， 满足：

(1) ；　　　　　　　 　(2) 对于有限交运算封闭：；
(3) 对于任意并运算封闭：．
称为X上的一个拓扑( Topology )，X上安装了拓扑，是拓扑空间( Topological Space )． 每个 称为开集． 如 ， 令 ， 称为（拓扑）子空间．
例：(1) 度量空间是拓扑空间，称为由距离d诱导的拓扑．
(2) 设 ，，称是平凡拓扑空间．
(3) 设 ，，称是离散拓扑空间．
(4) ，令 ，则成为拓扑空间．

§2.2. 拓扑空间中的基本概念
　　设是拓扑空间，．
定义：(1) 若 是开集，称A为闭集．
(2) A的闭包 (包含A的最小闭集)．
(3) 若，G是开集，称G为x的一个邻域．邻域G，使，称x为A的内点．A的内点全体称为A的核（内部），记为． （书(3)错）
(4) 的邻域G，有，，称x为A的边界点．A的边界点全体称为A的边界，记为 ．
显然，，， 互不相交，．
(5) 的邻域G，有 ，称x为A的聚点．A的聚点全体称为A的导集，记．
(6) ，称x为A的孤立点．
(7) 若 ，称A为完全集（完备集）．
(8) 若 ，称A为疏朗集（无处稠密集）． A不在任何开集中稠密．
(9) ，若，称A在B中稠密．它等价于：．
(10) 型集A：，闭集)；
型集B：，开集)．
(11) 设B在A中稠密，，称A为可分集．若X可分，称X为可分空间．
(12) 若 ，疏朗)，称A为第一纲集；否则称A为第二纲集．
(13) 设 为度量空间，．若存在球 ，使，称A为有界集．
设 ．若，称B为A的一个．若，A具有有限的 B，称A为完全有界集．
注：可取有限的 ．
如：球 是完全有界集．
(14) 设， 若， 使 ． 称收敛于x， 记 或
．
极限是唯一的； 收敛点列是有界集．
(15) 设 为度量空间，．若A中任一点列都存在收敛于X中点的子列，称A为列紧集．
如：欧氏空间中的有界集是列紧集．
(16) 设 ，是开集族．若，称为A的一个开覆盖．若A的任一开覆盖，存在有限子覆盖：称A为紧集． 若空间X紧，称X为紧空间．
(17) 设为度量空间，，则称为Cauchy序列（基本列）． 若X中每个基本列均收敛，称X是完备的度量空间．
如：收敛点列必是基本列． 是完备的度量空间．
　　以下假设是拓扑空间．
定理2.2.1．（闭集的性质）
(1) 是闭集；　　　　　　(2) 有限个闭集之并是闭集；　　　　　　(3) 任意多个闭集之交是闭集．
定理2.2.2．(1) 是A的最大开子集； A为开集 ．
(2) 是包含A的最小闭集； A为闭集．
(3) A为闭集． (4) ． (5) ．
(6) 为度量空间，则为闭集中取极限运算封闭．
(7) A为度量空间X中闭集若 ．
选证：(1) 记为A的全体开子集所成之集族．则，于是 是开集，且是A的最大开子集． 故A为开集．
(3) 若A为闭集，则为开集，且．由聚点定义，，即，．
反之， 设，则， 故存在x的某个邻域G， 满足 ，
，即，说明x是的内点，是开集，A是闭集．
(6) 设点列，．若有无穷多项互异，则；否则．从而总有．由(2) 得证．
例1. ； ．
由于 不成立，E不是闭集．
例2. ， ． 则 ； ．
； ．
例3. 证明的导集是闭集．
证：需要证是开集．
不是A的聚点，存在x的邻域 ，中不存在异于x的A中的点，故中的每个点均不是A的聚点．于是 ， 是开集．
定理2.2.3． 非空开集 ，有 ．
证：设． 若开集G满足． 则 为闭)．由Th2.2.2.(2) 得 ， 于是，
．
反之，由于为开集，由条件，，得 ．
定理2.2.4．( 疏朗集的三种等价描述)
(1) ；　　　　　　　　　　　　　　　 (2) 非空开集 ；
(3) 非空开集G，必含有非空开子集 ，满足．
证：(1)(2)．若开集G满足，则， 于是． (2)成立．
(2)(3)．非空开集G，令 为G的非空开子集， 且．
(3)(1)．反证法．假设 ，由(3)，存在非空开集，满足 ，即 (闭集)，， (开集)， 从而 ( )．矛盾．　（ 错）
定理2.2.5．在度量空间中，完全有界集是有界的可分集．
证：设 为完全有界集，存在X中有限多个球 ，使． 固定 ，记 ． ， 故
，即 ， A有界．
对于，存在有限多个以A中点为中心的球，使．
记，则 D是A的至多可数子集．．于是，， D在A中稠密，A为可分集．
定理2.2.6．在度量空间中，列紧集是完全有界集．
证：反证法．假设是列紧集，但A不是完全有界集，没有有限的－网．，使．同理，不是A的－网，，使．继续下去，得到，满足：．显然，点列无收敛子列，A非列紧．
定理2.2.7．在度量空间中，A为紧集为列紧的闭集．
证：只需证明：A为紧集 中每个点列均有收敛于A中点的子列．
“”． 反证法．假设存在点列无收敛于A中点的子列．则时，有 ．现为紧集A的一个开覆盖， 存在 满足
．
令 ，则当 ． 从而 ． 矛盾．
“”． 设 A为列紧闭集，则A为完全有界集．要证A是紧集，只要证明，对于A的任一开覆盖 ，． ( 因为 A具有有限的－网 )．
采用反证法．假设不然，存在A的一个开覆盖， 满足， 有
．
对， 因A为列紧闭集，存在子列． ，使(开集)． 而当k充分大时，有 ． 矛盾．
定理2.2.8．设是度量空间，则以下三条等价：
(1) X是完备的度量空间；
(2) 非空闭集列满足 ，则唯一的 ．
(3) X中的完全有界集是列紧集．
证：(1)(2)． 取．当 时，，，
． 为完备空间X中的基本列．记 ，闭，． 的唯一性显然．
(2)(3)．设为完全有界集，点列．由完全有界集的定义，有限个以 为半径的闭球所成之集族 覆盖A．于是，存在 含有中的无限多项；又存在 ，使得含有中的无限多项．　一般地，，使得含有中的无限多项． 由此知，存在的子列 满足，．
非空集列 满足，且 ．由(2)，存在，且
，即，　 A为列紧集．
(3)(1)．设为X中基本列，记．．从而，， A为完全有界集 A为列紧集． 故有收敛子列 ． 显然 ． X为完备空间．
定理2.2.9．设是完备的度量空间，则子空间是完备的 是闭集．
定理2.2.10．(Baire 纲定理)　完备的度量空间X必是第二纲集．
证：采用反证法．假设X是第一纲集，则 为疏朗集． 由Th2.2.4.(3) 知：
对于 直径小于1的非空闭球；　对于 直径小于的非空闭球，使； ； 对于 直径小于的非空闭球．
得非空闭球套 ． X完备，． 这样，． 矛盾．
定理2.2.11．(完备化定理)　对于度量空间，必存在一个完备的度量空间，使得等距于的一个稠密子空间．在等距意义下，空间是唯一的．　　称空间为的完备化空间．
（证明的思想方法与Cantor 实数理论中，把无理数加到有理数域中的方法相同）．
等距映射：，是距离空间， 存在一一映射 满足
，称为等距映射，空间X与Y等距．
例：取，d为欧氏距离． (开球，)．则A为完全有界集；X完备，A也是列紧集．作为距离子空间，A不完备，其完备化距离空间为 (闭球)．

§2.3. 连 续 映 射
定义2.3.1.(连续映射)
(A) 与是距离空间，映射
．xx
时，，　　　　x0　　　　　　f .y0
称f在 处连续． 若f在X的每一点连续，称f是X到Y的连续映射． X Y
(B) 与是拓扑空间，映射 的邻域，使，称f为在 处连续． 若f在X的每一点连续，称f是X到Y的连续映射．
例1. (1) 距离空间 为欧氏距离． 则 是 的连续映射(函数)．
(2) 取 为X中离散拓扑； 为Y中欧氏拓扑．则 不是 的连续映射．
因为，，对于Y中的邻域 ，不存在的邻域，使．
定理2.3.1. 设X，Y是拓扑空间，．
(A) f连续 f反射开集： 是开集；
(B) f连续 f反射闭集： 是闭集．
证：(A) “”．．由f在x处连续，存在x的邻域 ， 使
． x是内点，是开集．
“”． 若f反射开集，， 则 为x的邻域，且，故在x处连续．
(B) 注意到 ，证(B)．

定理2.3.2. 设X，Y是度量空间，映射．则f在 处连续
， ．　　　　　　 (证明同数学分析)
定理2.3.3. (连续函数的延拓)
设E是度量空间X中的闭集， 是连续函数，则存在连续函数 满足：
(1) ； (2) ．
(证略)
定理2.3.4. (压缩映射原理，Banach 不动点定理)
设是完备的距离空间，映射是压缩映射， 即 ，
． 则 T有唯一的不动点 ：．
证：取初值 　迭代格式： ．
下证 是Cauchy序列：
．

，
． 而X完备， ． T连续， 故 ．
唯一性：若 ． 由于　．
误差估计：．
推论．设是完备的距离空间，映射． 若 是X上的压缩映射，则T有唯一的不动点．
证：有唯一的不动点：．
由 　故 也是 的不动点． ． 由于 T的不动点也是的不动点，故T的不动点唯一．
压缩映射原理的应用
例1．常微分方程解的存在唯一性．
考虑初值问题：，其中连续， 关于x满足Lipschite 条件：
． 则方程存在唯一解　．
证：方程等价于 ．
取 ．定义 为 ，
．
验证 T是压缩映射：

．　
T在 内具有唯一的不动点 ：．　重复利用定理将解延拓到实数域R上．
例2．线性方程组解的存在唯一性．
线性方程组：　 满足 ， 则它具有唯一解 ．

证：在中定义距离：，，，则 完备． 作映射 为　． 则
．
T是压缩的，有唯一不动点 ．

§2.4. R中的开集及完全集的构造
开区间是R中开集 ()． 任意多个开区间之并是开集．另一方面，设开集．则 ．
记 ， ．
开区间具有性质：．称为开集G的一个构成区间．于是，G中每一点必在G的一个构成区间．此外，G的任何两个不同的构成区间必不相交．而R中两两不交的开区间至多可列个．
定理2.4.1. (开集构造定理)　每个非空开集可表示为至多可列个两两不交的开区间之并： ．
根据完全集的定义 ()及Th2.2.3(3) 可知，完全集（）即为无孤立点的闭集．故有如下定理．
定理2.4.2. (R中完全集的构造)　集是完全集 是两两不交并且无公共端点的开区间之并．
Cantor 集P． [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
构造过程： 　　　　　　　　　　 0 1
第一步：将 三等分，挖去，留下闭区间 ，． 记 ．
第二步：对，分别三等分，挖去中间的开区间 与 ． 记 ，留下4个闭区间，，，．
第三步：对留下的4个闭区间施行同样过程．将挖去的4个开区间之并记为．
如此继续下去．记 ． (书错)
据Th2.2.4 及Th2.4.2，Cantor 集P是疏朗集、完全集．若采用三进制无穷小数表示中数，则中至少有一位是1，亦即： 可表示为由0或2作为位数过构成的无穷小数．由Th1.3.4，； ．

第二章习题．
16．设是度量空间X中非空单调减紧集序列，证明：．特别地，若 ，则 为单点集．
证：反证法．假设， 即 ． ， ．
紧 ．　 矛盾．
若 ，． ．

33．证明：是不可分的距离空间．
证明：距离：，，． 假设 可分，据 (11), (9)，它有至多可列的稠密子集．对于 ，存在可列多个球， 使 ．
记， 则 ，． 但 ， 存在球，
至少包含A中不同的两点 ． 这样，， 矛盾．　空间 不可分．