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微分动力系统的应用(一)--竞争模型

设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼. 设它们在时刻t的尾数分别是x(t)和y(t). 假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t), 增长率为k; 即
. (1)
由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a – by, 其中a>0, b>0是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程:
, , . (2)
同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程:
, (3)
其中 m>0, n>0是常数.
当鳟鱼的尾数x(t) > m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)a/b时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少.
现在的问题是: 设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x0和y0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在x0>0和y0>0, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢?
首先可见方程组 (2), (3)有常数解
. (4)
因此在t=0时鳟鱼x0=m/n, 和鲈鱼y0=a/b尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢?
由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了.
方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是
(5)

J 的两个特征值为 , 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化.
方程组(2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的Jacobi矩阵在奇点(0, 0)的值是
(6)
J 的两个特征值为a>0, m>0, 因此奇点(0, 0)是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间t增大时都离开奇点(0,0).
另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道:
(1): x=0, y>0, 对应的轨线是 , 表示鲈鱼的尾数呈指数增长.
(2): y=0, x>0, 对应的轨线是 , 表示鳟鱼的尾数呈指数增长.
由于奇点(m/n, a/b)是鞍点, 当t趋向无穷大时, 有两条轨道从相反的方向趋向鞍点, 另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向离开鞍点. 这四条轨道称为鞍点的分界线, 研究这些分界线的走向以及方程组的结点(0,0)的性质, 其余轨道的大致走向也就清楚了.
要知道对于一般的初值 鳟鱼和鲈鱼的尾数是怎样变化的, 最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢? 就要解出微分方程组(2), (3). 将方程组 (2), (3) 消去dt, 化为如下一阶常微分方程:
, (6)
(6)式是一个变量分离方程, 除了零解 (x=0, y=0) 和半直线轨道外, 可分离变量得
, (7)
从到对(7)式作定积分得到过的积分曲线:
. (8)
对(8)式取指数化为形式:
, (9)
(9)式中的K是常数:
. (10)
对于鞍点的分界线, 因它们趋向及离开鞍点, 所以分界线方程的K应由(10)式中取为鞍点:
, (12)
而得到. 这时(10)式的K值为
. 13)
记
, .
由微分法可知是单峰函数, 在鞍点的纵坐标时取得最大值, 在和时取得最小值零. 在区间[0, a/b]上f(y) 从零严格单调增加到最大值; 在无穷区间y > a/b上f(y)严格单调减少趋向零. 同理是单峰函数, 在鞍点的横坐标时取得最大值, 在时和时取得最小值零. 在区间[0, m/n]上g(x) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间x >m/n上g(x)严格单调减少趋向零. 根据以上事实, 可以由分界线方程(9), (13)得出鞍点的四条分界线(红色和蓝色的线)并且根据方程组(2),(3)得出分界线的走向如下示意图: (四条分界线共同的端点是鞍点 (m/n,a/b)).

y

x
其中x轴和y轴分别是两条分界线(用蓝色表示)的渐近线, 红色的一条分界线从结点走向鞍点, 红色的另一条分界线当t趋向负无穷大时趋向无穷远.
于是其他轨道的走向(用黑色表示)也就知道了. 从图可见, 分界线将第一象限分成四个区域, 当初始点(x0,y0)位于这四个区域之一时, 当时间趋向无穷大时, x(t)和y(t)中总有一个趋向零, 而另一个趋向无穷大. 具体而言, 当初始点落在红线下方时, 最终只有鳟鱼x生存, 当初始点落在红线上方时, 最终只有鲈鱼y生存. 初始点落在红线上时, 轨道趋向鞍点, 而鞍点和结点是不稳定的, 所以不管怎样, 实际上只有一个能够生存.
这说明了对于竞争模型, 不同的物种是有排他性的, 这称为竞争排他原理.

微分动力系统的应用(二)—捕食模型
在生物界除了两个物种之间的竞争性以外, 还有一种是捕食与被捕食的关系. 例如在南极海洋中生活的鬚鲸和南极虾就是这种关系. 设南极虾的数量是x(t), 鲸的数量是y(t), 鬚鲸以南极虾为主食, 没有了南极虾, 鬚鲸的数量将指数式地下降:
, 是常数. （1）
但有了南极虾xt)时, 鬚鲸的数量的变化关系（1）要改为:
, 是常数. (2)
而南极虾被鬚鲸捕食, 它的数量的变化服从以下关系:
, . 是常数. (3)
我们同样可以通过研究方程组(2),(3)的轨道来讨论鬚鲸与南极虾数量的变化规律.
首先方程组有两个奇点: (0,0), (m/n, a/b). 方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是
(4)
J 的两个特征值为纯虚数 , 因为（2），（3）是非线性方程, 单凭特征值是纯虚数只能判定奇点是焦点型(即焦点或中心)的, 不能确定焦点型的奇点是否是中心.
向量场的Jacobi矩阵在奇点(0, 0)的值是
(5)
J 的两个特征值为a>0, -m<0, 因此奇点(0, 0)是鞍点、 不稳定.
另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道:
(1): x=0, y>0, 对应的轨线是 , 表示没有了南极虾，鬚鲸数呈指数减少.
(2): y=0, x>0, 对应的轨线是 , 表示没有了鬚鲸，南极虾数呈指数增长.
将方程组 (2), (3) 消去dt, 化为如下一阶常微分方程:
, (6)
(6)式是一个变量分离方程, 除了零解 (x=0, y=0) 和半直线轨道外, 可分离变量得
, (7)
从到对(7)式作定积分得到过的积分曲线:
. (8)
对(8)式取指数化为形式:
, (9)
(9)式中的K是常数:
. (10)
记
, . (11)
由微分法可知是单峰函数, 在焦点的纵坐标时取得最大值, 在和时取得最小值零. 在区间[0, a/b]上f(y) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间y > a/b上f(y)严格单调减少而趋向零. 同理, 是单峰函数, 在焦点的横坐标时取得最大值, 在时和时取得最小值零. 在区间[0, m/n]上g(x) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间x >m/n上g(x)严格单调减少而趋向零. 因此（9）式中的K 必须满足不等式：
. (12)
通过以上事实容易知道, 当(9)式中的K 在(0, K0)中取值时, 对应的轨道是一个包围焦点型奇点(m/n,a/b)的闭轨. 因此, 本方程组的奇点(m/n,a/b)是中心. 在第一象限内中心的周围充满着包围中心的闭轨. 这说明了当初始值x0, y0都大于零时, 鬚鲸与南极虾都不会灭绝, 而且它们的数量呈周期性变化. 参见下图:
y

x

8