1、概率论习题五详解
1、设为离散型的随机变量，且期望、方差均存在，证明对任意,都有
证明 设 则
=
2、设随机变量和的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比雪夫不等式证明：
。
证
3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不超过0.01？
解设为 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得
从而有
即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。
4、每名学生的数学考试成绩是随机变量，已知，，（1）试
2、用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？
解 (1)由切比雪夫不等式
又
=
即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%
(2)设有个学生参加考试(独立进行)，记第个学生的成绩为 ，则平均成绩为，又,
则由切比雪夫不等式可得：
要使上述要求不低于90%，只需，解得，即有10个以上的学生参加考试，就可以达到要求。
5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数，现由2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的
3、概率。
解
在二项分布表（附表1）中不能查出。，使用正态分布近似计算：
若使用正态分布近似计算： ,
6、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
解 (1)以 表示第个学生来参加会议的家长数，则的分布律为:
0
1
2
0.05
0.8
0.15
所以，，
而
4、由中心极限定理知：
(2)以表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则
由中心极限定理知：
则
7、射手打靶得10分的概率为0.5，得9分的概率为0.3，得8分、7分和6分的概率分别0 .1、0.05和0.05，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少？
解 设为射手第次射击的得分，则有
10
9
8
7
6
0.5
0.3
0.1
0.05
0.05
且 ， ，，
由中心极限定理得：
8、某产品的不合格率为0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？
解 依题意，10000件产品中不合格品数，
5、由，，故可用二项分布的正态近似，所求概率为
9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于0.95？
解 设 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为，则有，该题要求，使得下述概率不等式成立。
或
利用二项分布的正态近似，可得：
因此，
解得，
这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。
（B）
1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。
解：依题意，可建立如下概率不等式
其
6、中是这实际的次品率，如抽取个产品则次品的频率，由中心极限定理，近似服从正态分布：
从而有
查表可得 ： 或
由于未知，只得放大抽检量，用1/2代替 ，可得：
，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于0.95。
2、 假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率．
解 记——随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则服从二项分布，参数为n=200，p=0.60；．由于n=200充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地
3、设随机变量服从参数为的泊松分布，是独立与同分布随机变量，证明：对任意，都有
证明 由于独立同泊松分布，可见也独立同分布，而且数学期望存在：
．
因此，根据辛钦大数定律，有
．
4
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