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第15章 虚位移原理

解题的一般步骤及应注意的问题
１．　解题的一般步骤
（１）根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题
①求平衡条件；
②求约束反力；
③求桁架内力。
（2）分析约束的性质, 画主动力的受力图.
①系统以外的物体对它的作用力；
②非理想约束的约束反力；
③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。
（3）确定系统的自由度，　应包括因解除约束而增加的自由度。选择合适的坐标做广义坐标。
（4）给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系：
①几何法：　运用运动学中分析速度的方法，进行计算。
②分析法：　先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后再对广义坐标取变分，进行计算。
（5）建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。
2.应注意的问题
1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离体。
2计算弹性力在虚位移中的虚功时， 弹性力的大小与虚位移的大小无关。
3在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴）之力矩的虚功，可能简便些。
三、典型例题分析
例1 图示曲柄连杆机构, 在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶, 欲使机构在图示位置保持平衡, 试求加于滑块B上的水平力P应为多大? 已知OA=a, AB=b, 在图示位置AB与水平线的夹角a=30º
B
P

drB

drA

a
δy
O

δj
A

δy

解: 这是属于求主动力的平衡条件的问题。作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。系统受完整约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动，滑块Ｂ作平动。令ＯＡ杆的虚位移为δj，则Ａ点虚位移为drA, B点虚位移为drB, AB杆的虚位移为绕瞬心C的微小转角δy, 机构的虚位移如图。
根据虚位移原理得：
ＰdrB－Ｍδj＝０　　　　　（１）

代入（１式得：

15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B上作用有水平力F，此力位于平面ABC内。作用线平分。设AB = BC，，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。

解：令B有虚位移，而C有铅直向上的虚位移，如图（a）。将及向BC方向投影，为简单起见，以表示的绝对值，以表示，则有
即 （1）
由虚位移原理得
（2）
将式（1）代入（2）得

15-3 挖土机挖掘部分示意如图。支臂DEF不动，A、B、D、E、F为铰链，液压油缸AD伸缩时可通过连杆AB使挖斗BFC绕F转动，EA = FB = a。当时杆，此时油缸推力为F。不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M。

解：由虚功原理： （1）
式中 （2）
A、B的虚位移向AB投影
（3）
式（2），（3）代入（1）得

15-5 在图示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿曲柄滑动，从而带动杆AB在铅直导槽K内移动。已知：OC = a，OK = l，在点C处垂直于曲柄作用一力F1；而在点B沿BA作用一力F2。求机构平衡时F2与F1的关系。

解：用解析法解，选取为广义坐标，则滑块A的约束方程

（1）
由虚位称原理 （2）
把式（1）代入（2）得
因 ，于是有
故
15-7 图示滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动，已知时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5 kN/m。求在任意位置平衡时，应加多大的力偶矩M？
解：解除弹簧约束，代之以弹性力F及。
已知时弹簧原长为0.3 m，在任意角时，弹簧，此时弹簧的缩短量为。
故弹性力

取x轴沿AB杆，设D点沿杆的坐标为xD，而选取为广义坐标，则滑块D的约束方程为
，
另外有 xB = 常量，
由虚位移原理
把F及的表达式代入上式得

把k = 5000 N/m代入求得

15-9 在图示机构中，曲柄AB和连杆BC为均质杆，具有相同的长度和重量W1。滑块C的重量为W2，可沿倾角为的导轨AD滑动。设约束都是理想的，求系统在铅垂面内的平衡位置。
解：取为广义坐标，另作坐标系Axy，设AB = BC = l
因

对坐标的变分：

由虚位移原理
即
因，故有

即
故
15-11 图示均质杆AB长为2l，一端靠在光滑的铅直墙壁上，另一端放在固定光滑曲面DE上。欲使细杆能静止在铅直平面的任意位置，问曲面的曲线DE的形式应是怎样的？

解：作坐标系Dxy，由于杆AB只受主动力W作用，根据虚位移原理
，故 yC = 常量
杆在铅直位置时yC0 = l ， yC = l
杆在任意位置时yC = yA + lcos，
即

消去得DE曲线方程
由方程知 ，DE曲线为中心在（0，l）长短半轴分别为2l和l的椭圆的一部分。如坐标系Dxy向上平移l距离，则DE曲线方程与书中答案一致。

15-13 半径为R的滚子放在粗糙水平面上，连杆AB的两端分别与轮缘上的A点和滑块B铰接。现在滚子上施加矩为M的力偶，在滑块上施加力F，使系统于图示位置处平衡。设力F为已知，忽略滚动摩阻和各构件的重量，不计滑块和各铰链处的摩擦，试求力偶矩M以及滚子与地面间的摩擦力Fs。
解：作功力M，F，虚功方程为：

，向AB投影：

M = 2RF
， Fs = F
15-15 试用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。

解：将BD杆解除代之以力F及。
令C点有虚位移，则B点必有虚位移
D点必有虚位移，如图（a）。
由虚位移原理

即 （1）
由图（a）可见，ACD框的转轴在A点，
CB杆的瞬心在E点
故
及
所以 （2）
由式（1）、（2）得 （拉力）
 例15-4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图15-4所示。均质系杆OA的质量为m1，它可绕端点O转动，另一端装有质量为m2，半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M的作用时，试求系杆的角加速度。

图15-4
【解】 机构具有一个自由度，选系杆的转角φ为广义坐标。设系杆对O轴的转动惯量为JO，小齿轮对其质心A的转动惯量为JA，小齿轮的绝对角速度为，则A点的速度为

小齿轮的角速度

系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和，即

与广义坐标对应的广义力

将上两式代入拉氏方程

例题2 三铰拱如图所示,求支座B的约束反力。

P
C

m

a

a
a

B

A

解: (1)求支座B的铅垂反力, 解除支座B的铅垂约束,代之约束反力YB ,如图所示, 该系统有一个自由度: AC绕A定轴转动, BC做平面运动, 瞬心为A, 画虚位移图如图。
利用虚位移图，drC =(AC)dq1 =(AC)dq2
dq1 = dq2 = dq 利用虚位移图计算虚功 dW(m) = mdq1
dW(P) = aPdq2
由虚位移原理，m dq+ aPdq -2aYBdq = 0
P
C

drC

m

YB
a
dq1

B

drB
dq2
A

(2)求支座B的水平反力, 解除支座B的水平约束, 代之约束反力XB ,如图所示, 该系统有一个自由度: AC绕A定轴转动,
BC做平面运动, 瞬心为I, 画虚位移图如图。
利用虚位移图得:
drC = (AC) dq1 = (IC) dq2
dq2

dq2

C

P

m
drC

dq1

drB
XB
B
A

dq1 = dq2 = dq 利用虚位移图计算虚功 dW(m) = m dq1 dW(P) = aPdq2
dW(XB) = 2aXBdq2 由虚位移原理得: m dq1+ aPdq2+2aXBdq2=0

例题3 组合梁结构受荷载如图示，P110kN, q=1.6kN/m, P2=15kN, M=40kN•m,求固定端支座A的约束反力。60º
2
4
P2
P1
C
M
2
q
2
2
D
2
2
A
B

解: (1)求固定端支座A的反力偶, 解除固定端约束,代之反力偶MA 和固定铰支座A, 如图所示, 作用在系统上的主动力有MA、M、P1、P2以及均布荷载的合力Q。该系统有一个自由度: AC绕A定轴转动, BC做平面运动, 瞬心为I, 画虚位移图如图。

利用虚位移图得:

dq2 = dq1=1.25dq1
drB=(AB)dq1 =(BI)dq2

dq3= dq2=0.5dq1
drC=(IC)dq2=(CD)dq3

P2
I
drB
dq2
dq1
Q
2
4
P1
C
M
D
A
B
drC
dq2
dq3

MA
dW(MA) = MAdq1

dW(M) = Mdq3
dW(P1) = -2P1dq1
利用虚位移图计算虚功

dW(P2) = -P2´dq2+P2´dq2

dW(Q) =-Q´1dq1

由虚位移原理得:
MAdq1+ Mdq3-2P1dq1+(-P2dq2+ P2´dq2)-Qdq1=0

MA=7.685kN·m
(2)求固定端支座A的水平反力, 解除固定端约束,代之以水平反力XA 和滑块A, 该滑块固结于A端， 只能水平方向自由滑动，如图所示, 作用在系统上的主动力有XA、M、P1、P2以及均布荷载的合力Q。该系统有一个自由度: AB做平动, CD做定轴转动，BC做平面运动，瞬心为I。
画虚位移图如图。由虚位移图得：drA=d
BI=8，
XA
B
P2
I
drB
dq1
Q
P1
C
M
D
A
drC
dq2
dq1
drA

由虚位移原理得:

解得：XA=17.547kN

(3)求固定端支座A的铅直方向的反力YA, 解除固定端约束,代之以铅直反力YA 和滑块A, 该滑块固结于A端， 只能铅直方向自由滑动，如图所示, 作用在系统上的主动力有YA、M、P1、P2以及均布荷载的合力Q。该系统有一个自由度: AB做平动, BC做平面运动， 瞬心在C点。CD不动。
画虚位移图如图。

由虚位移原理得:

A
YA
B
P2
drB
Q
P1
C
M
D
drA

YA= 16.495kN KNkK

例4 求图示桁架1、２杆的内力。
1
Ｇ

Ｈ
Ｄ

2

60°
60°

Ｅ
B
A

P
P

解：(1) 求1杆的内力S1，解除1杆，用内力S1和S¢1代替（假设为拉力），如图所示, 作用在系统上的主动力有P、P、S1和S¢1。该系统有一个自由度: ADEFG做定轴转动, BFH做平面运动， 瞬心在B点。
画虚位移图如图。利用虚位移图得:

drF =2adq1 = adq2

2dq1 = dq2

利用虚位移图计算虚功

S¢1
S1
60°
60°
dq1
drF
A
B
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
P

P
dq2

dW(S1) = - 0.87aS1dq1
dW(P) = - aPdq1
dW(P) = -2aPdq1
dW(S2) = - 0.87aS2dq2
由虚位移原理得:
0.87aSdq1 - aPdq1 - 2aPdq1 - 0.87aSdq2 = 0
S1 = 1.15P
(2) 求2杆的内力S2，解除2杆，用内力S2和S¢2代替（假设为拉力），如图所示, 作用在系统上的主动力有P、P、S2和S¢2。该系统有一个自由度: ADEG做定轴转动, BFH做平面运动，瞬心在B点（因为B点的速度沿水平方向， EF做平面运动，F点的速度等于随E点平动的速度和绕E点转动的速度，而这两个分速度均沿铅直方向， 所以F点的速度沿铅直方向，由此可定出BFH部分的瞬心在B点）。GH做平面运动，瞬心在I1点，EF做平面运动， 瞬心在I2点。画虚位移图如图。

利用虚位移图得:
S¢2
S2
dq1
drF
A
B
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
P
P
dq3
dq1
dq2
dq2
dq3
I1
I2

SG = SF = S =dW(P) = - aPdq3
dW(P) =aPdq1
利用虚位移图计算虚功
dq1 = dq3
drH =I1Hdq2=BHdq3
drG =AGdq1 =I1Gdq2
s2=0

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