第十一章机械波.doc

习题十一

11-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?
解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置，又是时间的函数，即．
(2)在谐振动方程中只有一个独立的变量时间，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程中有两个独立变量，即坐标位置和时间，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．
当谐波方程中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．
(3)振动曲线描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为，横轴为；波动曲线描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为，横轴为．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．
11-2 波动方程=cos［()+］中的表示什么?如果改写为=cos ()，又是什么意思?如果和均增加，但相应的［()+］的值不变由此能从波动方程说明什么?
解: 波动方程中的表示了介质中坐标位置为的质元的振动落后于原点的时间；则表示处质元比原点落后的振动位相；设时刻的波动方程为

则时刻的波动方程为

其表示在时刻，位置处的振动状态，经过后传播到处．所以在中，当，均增加时，的值不会变化，而这正好说明了经过时间，波形即向前传播了的距离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．
11-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?
解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为，则相对形变量(即应变量)为.波动势能则是与的平方成正比．由波动曲线图(题11-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．

题11-3图
对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．
11-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? =0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成=cos()时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?
解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．
11-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?
解: 取驻波方程为，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．
11-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应这两种情况有何区别?
解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题11-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目()会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即，因而单位时间内通过观察者完整波的数目也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．

题11-6 图多普勒效应
11-7 一平面简谐波沿轴负向传播，波长=1.0 m，原点处质点的振动频率为=2. 0 Hz，振幅＝0.1m，且在=0时恰好通过平衡位置向轴负向运动，求此平面波的波动方程．
解: 由题知时原点处质点的振动状态为，故知原点的振动初相为,取波动方程为则有

11-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为=cos()，其中，， 为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为的两点的位相差．
解: (1)已知平面简谐波的波动方程
()
将上式与波动方程的标准形式

比较，可知：
波振幅为，频率，
波长，波速，
波动周期．
(2)将代入波动方程即可得到该点的振动方程

(3)因任一时刻同一波线上两点之间的位相差为

将，及代入上式，即得
．

11-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为=0.05cos(10)，式中,以米计，以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求=0.2m处质点在=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在=1.25s时刻到达哪一点?
解: (1)将题给方程与标准式

相比，得振幅，频率，波长，波速．
(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

(3) m处的振动比原点落后的时间为

故,时的位相就是原点()，在时的位相，
即 π．
设这一位相所代表的运动状态在s时刻到达点，则

11-10 如题11-10图是沿轴传播的平面余弦波在时刻的波形曲线．(1)若波沿轴正向传播，该时刻，，，各点的振动位相是多少?(2)若波沿轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?
解: (1)波沿轴正向传播，则在时刻，有
题11-10图
对于点：∵，∴
对于点：∵，∴
对于点：∵，∴
对于点：∵，∴
(取负值：表示点位相，应落后于点的位相)
(2)波沿轴负向传播，则在时刻，有
对于点：∵，∴
对于点：∵，∴
对于点：∵，∴
对于点：∵，∴
(此处取正值表示点位相超前于点的位相)
11-11 一列平面余弦波沿轴正向传播，波速为5m·s-1，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题11-11图所示．
(1)写出波动方程；
(2)作出=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．
解: (1)由题11-11(a)图知， m，且时，，∴，
又，则
题11-11图(a)
取 ，
则波动方程为

(2) 时的波形如题11-11(b)图

题11-11图(b) 题11-11图c)
将m代入波动方程，得该点处的振动方程为

如题11-11(c)图所示．
11-12 如题11-12图所示，已知=0时和=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：
(1)波动方程；
(2)点的振动方程．
解: (1)由题11-12图可知，，，又，时，，∴，而， ，∴
故波动方程为

(2)将代入上式，即得点振动方程为

题11-12图
11-13 一列机械波沿轴正向传播，=0时的波形如题11-13图所示，已知波速为10 m·s -1，波长为2m，求：
(1)波动方程；
(2) 点的振动方程及振动曲线
(3) 点的坐标；
(4) 点回到平衡位置所需的最短时间．
解: 由题11-13图可知，时，，∴，由题知，
，则
∴
(1)波动方程为

题11-13图
(2)由图知，时，，∴ (点的位相应落后于点，故取负值)
∴点振动方程为
(3)∵
∴解得
(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题11-13图(a)，则由点回到平衡位置应经历的位相角

题11-13图(a)

∴所属最短时间为

11-14 如题11-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为= cos()．
(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；
(2)写出距点距离为的点的振动方程．
解: (1)如题11-14图(a)，则波动方程为

如图(b)，则波动方程为

题11-14图

(2) 如题11-14图(a)，则点的振动方程为

如题11-14图(b)，则点的振动方程为

11-15 已知平面简谐波的波动方程为(SI)．

(1)写出=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?
(2)画出=4.2 s时的波形曲线．
解:(1)波峰位置坐标应满足

解得 (…)
所以离原点最近的波峰位置为．
∵ 故知,
∴ ，这就是说该波峰在前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是，即该波峰是在时通过原点的．

题11-15图
(2)∵，∴，又处，时，

又，当时，，则应有

解得 ，故时的波形图如题11-15图所示
1116 题11-16图中(a)表示=0时刻的波形图，(b)表示原点(=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出=2m处质元的振动曲线．
解: 由题11-16(b)图所示振动曲线可知,，且时，，
故知,再结合题11-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿轴负向传播，
且，若取

题11-16图
则波动方程为

11-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J·m-2·s-1，频率为300 Hz，波速为300m·s-1，求 ：
(1)波的平均能量密度和最大能量密度?
(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?
解: (1)∵
∴

(2)

11-18 如题11-18图所示，和为两相干波源，振幅均为，相距，较位相超前，求：
(1) 外侧各点的合振幅和强度；
(2) 外侧各点的合振幅和强度
解：（1）在外侧，距离为的点，传到该点引起的位相差为

（2）在外侧.距离为的点，传到该点引起的位相差.

11-19 如题11-19图所示，设点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为;点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为，本题中以m计，以s计．设＝0.4m，＝0.5 m，波速=0.2m·s-1，求：
(1)两波传到P点时的位相差；
(2)当这两列波的振动方向相同时，处合振动的振幅；
*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，处合振动的振幅．
解: (1)

题11-19图
(2)点是相长干涉，且振动方向相同，所以

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

11-20 一平面简谐波沿轴正向传播，如题11-20图所示．已知振幅为，频率为波速为．
(1)若=0时，原点处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；
(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置．
解: (1)∵时，，∴故波动方程为
m

题11-20图
(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将代入)，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为

若仍以点为原点，则反射波在点处的位相为
，因只考虑以内的位相角，∴反射波在点的位相为，故反射波的波动方程为

此时驻波方程为

故波节位置为

故 (…)
根据题意，只能取，即
11-21 一驻波方程为=0.02cos20cos750 (SI)，求：
(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速；
(2)相邻两波节间距离．
解: (1)取驻波方程为

故知
，则，
∴
(2)∵所以相邻两波节间距离

11-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为=0.1cos(13+0.0079) (SI)
试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在=0处为波 节．
解: 为使合成驻波在处形成波节，则要反射波在处与入射波有的位相差，故反射波的波动方程为

11-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为
=0.06cos()(SI), =0.06cos()(SI)．
(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；
(2)波腹处的振幅多大?=1.2m处振幅多大?
解: (1)它们的合成波为

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动．
令，则，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；
令,则，…，此即波节的位置．
(2)波腹处振幅最大，即为m； 处的振幅由下式决定，即

11-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为330m·s-1，求汽车的速率．

解: 设汽车的速度为，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为

汽车驶离车站时，车站收到的频率为
联立以上两式，得

11-25 两列火车分别以72km·h-1和54 km·h-1的速度相向而行，第一 列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若声速为340 m·s-1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?
解: 设鸣笛火车的车速为，接收鸣笛的火车车速为，则两者相遇前收到的频率为

两车相遇之后收到的频率为