1、单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,*,第七章,蒙特卡罗方法在积分计算中应用,蒙特卡罗方法求积分,主要抽样,俄国轮盘赌和分裂,半解析方法,系统抽样,分层抽样,第1页,第七章,蒙特卡罗方法在积分计算中应用,计算多重积分是蒙特卡罗方法主要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分蒙特卡罗方法各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用。,第2页,蒙特卡罗方法求积分,蒙特卡罗方法求积分普通规则以下：任何一个积分，都可看作某个随机变量期望值，所以，能够用这个随机变量平均值来近似它。,第3页,设欲求积分,其中，,P,P,(,x,1,，,x,2,，,x,
2、s,)表示,s,维空间点，,V,s,表示积分区域。取,V,s,上任一联合概率密度函数,f,(,P,)，令,则,即,是随机变量,g,(,P,)数学期望，,P,分布密度函数为,f,(,P,)。现从,f,(,P,)中抽取随机向量,P,N,个样本：,P,i,，,i,1，2，,N,，则,就是,近似预计。,第4页,主要抽样,偏倚抽样和权重因子,取,V,s,上任一联合概率密度函数,f,1,(,P,)，令,则有,现从,f,1,(,P,)中抽样,N,个点：,P,i,，,i,1，2，,N,，则,就是,又一个无偏预计。,第5页,主要抽样和零方差技巧,要使 最小，就是使泛函If1 极小。,利用变分原理，能够得到最优,
3、f,1,(,P,)为,第6页,尤其地，当,g,(,P,)0 时，有,这时,即,g,1,方差为零。实际上，这时有,不论那种情况，我们称从最优分布,f,l,(,P,)抽样为主要抽样，称函数|,g,(,P,)|为主要函数。,第7页,俄国轮盘赌和分裂,分裂,设整数,n,1，令,则,于是计算,问题，可化为计算,n,个,i,和来得到，而每个,g,i,(,P,)为原来,预计,g,(,P,)1/,n,，这就是分裂技巧。,第8页,俄国轮盘赌,令 0,q,1，,则,于是,变为一个两点分布随机变量期望值，,特征为：,这么就能够经过模拟这个概率模型来得到,，这就是俄国轮盘赌。,第9页,主要区域和不主要区域,我们往往称
4、对积分,贡献大积分区域为主要区域，或感兴趣区域；称对积分,贡献小区域为不主要区域，或不感兴趣区域。,考虑二重积分,令,R,是,V,2,上,x,积分区域，表为,R,R,1,+,R,2,，其中,R,1,是主要区域，,R,2,是不主要区域，二者互不相交。又命,Q,为,V,2,上对应于,y,积分区域。则,第10页,通常蒙特卡罗方法，由,f,(,x,y,)抽样(,x,y,)步骤是：从,f,l,(,x,)中抽取,x,i,，再由,f,2,(,y,|,x,i,)中抽样确定,y,i,，然后用,作为,一个无偏预计。,现在，改变抽样方案以下：,当,x,R,1,时，定义一个整数,n,(,x,i,)1，对一个,x,i,
5、抽取,n,(,x,i,)个,y,ij,，,j,1，2，,n,(,x,i,)。以平均值,代替上述,预计式中,g,(,y,i,x,i,)。,第11页,当,x,R,2,时，定义一个函数,q,(,x,i,)，0,q,(,x,i,)1，,以抽样值,代替上述,预计式中,g,(,y,i,x,i,)。这里,是随机数。,显然，这种抽样预计技巧，就是对,x,R,1,时，利用分裂技巧，而对,x,R,2,时，利用俄国轮盘赌，而使预计期望值不变。因为对主要区域多抽样，对不主要区域少观察，所以能使预计有效性增高。,第12页,半解析（数值）方法,考虑二重积分,令,则,x,为,无偏预计。,第13页,x,方差为,而由,f,(
6、x,y,)抽样(,x,y,)，用,g,(,x,y,)作为,预计，其方差为,第14页,系统抽样,我们知道，由,f,(,x,y,)抽样(,x,y,)步骤是：,从,f,l,(,x,)中抽取,x,i,，,再由,f,2,(,y,|,x,i,)中抽样确定,y,i,，,现在改变,x,i,抽样方法以下：,第15页,y,i,抽样方法不变。,其方差为,与通常蒙特卡罗方法相比，方差降低了约,第16页,分层抽样,考虑积分,在（0，1）间插入,J,1个点,0,0,1,J,-1,J,1,令,第17页,则有,现在，用蒙特卡罗方法计算,j,，对每个,j,利用,f,j,(,x,)中,n,j,个样本,x,ij,，那么有,第18页,第19页,
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