抛物线的再认识.doc

课题： 《抛物线的再认识》
授课教师： 北京市华侨城黄冈中学 余海军
授课班级：初 三（1）班 授课时间：2017年5月25日

教学目标
1. 理解平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的集合是抛物线．
2. 经历把实际问题转化为几何问题，然后独立思考、画图尝试、观察猜想，再小组交流、计算推理、构建代数模型，从而验证规律的过程，积累运用数学解决实际问题的活动经验，增强创新意识．
3. 体验从特殊到一般、从直观到抽象、数形结合的研究方法，发展合情推理和演绎推理能力．
学情分析
初中学生正处于青春期，好奇心强，是发展合情推理、演绎推理、抽象思维和创新意识的黄金时期．三（1）班平时的课堂比较沉闷，初三一模考试暴露出部分同学几何操作能力和想象力不足，但具有一定的思维深度，探究能力较强，全班尝试小组交流学习已有两年多．目前学生已经学习过二次函数的基本知识，知道抛物线是二次函数的图像，本节内容选自人教九上第22章数学活动．
教学
重点与难点
从特殊到一般，猜想点的分布规律；
数形结合、计算推理，验证点的分布规律．
设计思路

活动一：情境引入，把实际问题抽象转化成几何问题．
活动二：感性猜想，从特殊到一般，先独立思考、画图尝试、
观察猜想，再小组交流，探索点的分布规律．
活动三：理性验证，从直观几何到抽象代数，数形结合，
计算推理，构建代数模型，验证规律．
活动四：总结提升，回忆解决问题的全过程，积累经验，深化认识．
学材
选择与分析
设计几何画板课件，更直观、动态的感知、理解点的分布规律．
教与学的方法
教法：问题串启发、引导探究过程．
学法：独立探究与小组交流相结合．
板书设计
课题：抛物线的再认识
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的集合是抛物线．

小结：

屏幕
教师活动
学生活动
设计意图
活动一、情境引入
实际问题：如图，在一片草原上有一个蒙古包和一条树林带，欲修一个观景亭，使这个观景亭与蒙古包和树林带的距离相等，你觉得观景亭设计在哪里合适？

分析：这个实际问题可以抽象成怎样的数学问题？

几何问题：如图，设点A为蒙古包，直线l为树林带，求作观景亭点P，使点P与点A和直线l的距离相等．

阅读题目，理解问题的实际背景．

口答：
蒙古包抽象成点，树林带抽象成直线．

活动一 以实际问题引出研究课题，贴近生活，激发学生探究兴趣．

把实际问题抽象成几何问题，发展模型思想．
活动二、感性猜想
你能作出观景亭点P的位置吗？
满足与点A和直线l的距离相等的点P只有唯一一个吗？鼓励学生大胆尝试，用更多方法寻求更多点P的位置．

教师边巡视，边启发引导，问题如下：
1. 直接用尺规作出点P的位置可能很困难，可以先画草图分析，假定一个点P的位置．
那么怎样表示点P与点A的距离呢？点P与直线l的距离又怎样表示呢？

2. PM是点P与直线l的距离，也可以看做是点P与垂足M的距离．
PA=PM你想到了什么？

几何画板预案：
方法（1）：运用“中垂线上的点与线段两端点的距离相等．”

方法（2）：运用“角平分线上的点与角两边的距离相等．”

方法（3）：运用“平行线间的距离处处相等．”

学生回答或展示时，老师注意追问学生的思路和依据．视同学理解的程度，决定是否用几何画板再现一遍作点P的过程．

3. 满足条件的点P能作出多少个？猜想这无数个点P，可能组成什么图形？

4. 尝试作出更多个满足条件的点P，观察这更多个点P的分布规律？

既然满足与蒙古包（点A）和树林带（直线l）的距离相等的点有无数个，那我们干脆设计一条观景长廊，使观景人无论走到观景长廊的任何位置，与蒙古包和树林带的距离都相等！
老师用几何画板让点M动起来，并进行点P的追踪，让学生看见点P的追踪线．

点P的追踪线真的是我们学过的二次函数的图像抛物线吗？

学生可能画出各种特殊的点P．

先独立思考、画图尝试，观察猜想，再小组交流，不断探索．选代表实物投影或黑板画图展示．
方法（1）：

第1步，直线l上任取一点M；
第2步，作线段AM的中垂线；
第3步，过点M作直线l的垂线与AM的中垂线相交，交点即为点P．
“直线l的垂线”与“点A和垂足连线的中垂线”相交生成点P．
方法（2）：

方法（3）：

继续画图尝试、观察猜想，可能会有同学猜出像抛物线，选两三个代表实物投影展示．

观察、欣赏、思考．

活动二 从找特殊位置过渡到找一般位置，以问题串启发引导，有层次的分散难点，发展合情推理能力，增强创新意识，体会研究问题的过程和方法．

小组交流保证每个学生都理解点P的生成过程．

鼓励学生尝试各种方法找点P，培养发散思维．

实际问题的进一步深入．

几何画板的追踪点展示，更直观、动态的感知点的分布规律，体会满足条件的点的集合的神奇和美．
活动三、理性验证
老师启发引导问题：
1. 我们目前画出是几何图形，而二次函数是以形如的解析式形式定义的．要把图形用解析式表示，我们需要做什么？

2. 你觉得怎样建立x轴和y轴合适？

3. 建立了坐标系，还需要做什么，才能把曲线用解析式表示？

4. 无数个点P组成貌似抛物线的曲线，所以点P的横纵坐标该如何表示？

5. 要想验证这条曲线确实是二次函数的图像，就需要证明这条曲线上任意一点的横、纵坐标满足形如的方程．接下来我们的目标是用x来表示y．坐标系中点的横、纵坐标分别表示什么？

6. 要想用x来表示y，可以寻求点P到y轴和x轴的两条垂线段的数量关系，列二元方程，就可能实现．原来几何图形中点P满足什么数量关系？

7. 如何用x、y表示PA 和PM ？

这正是形如的二次函数的解析式，说明这条曲线就是我们学过的二次函数的图像．

通过上面的活动你是否对“抛物线”有了更深刻的认识？
从代数角度考虑，抛物线是二次函数的图像；从几何角度考虑，你觉得抛物线是满足什么条件的图形？
实质上，我们今天探究的课题就是《抛物线的再认识》．

思考老师的引导问题，并回答．

数形结合，把几何图形放入平面直角坐标系．

点M为原点，直线l为x轴更合适．
（其实任意一点为坐标原点都可以）．

需要数，设点A（0，n）．

P（x，y）．

坐标系中点的横、纵坐标的绝对值分别表示点到y轴和x轴的垂线段长．
过点P作 PH⊥y轴，垂足为H，则=PH，=PM．

PA = PM．

小组讨论，计算推理，选一个代表，展示讲解．

在 Rt△PAH 中，

∴
∵ PA = PM，
∴
∴

同学思考，举手回答．
平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的集合．

活动三 仍以问题串启发引导学生进一步的探究． 使学生经历把直观的几何图形抽象成代数模型的过程，发展演绎推理，体会数形结合在解决问题过程中的作用．

根据解决问题的需要引出赋予定点A坐标．

正因为点的坐标是一对数，同时又是到坐标轴的垂线段长，所以平面直角坐标系能把“数”和“形”联系起来．

分别从代数角度和几何角度完成对抛物线的再认识．
活动四、总结提升
1. 回忆刚才的实际问题，我们该如何设计观景走廊呢？

2. 如果定点A放在y轴负半轴上，抛物线会怎样？

3. 猜想一下，从抛物线的几何定义角度考虑，它的开口方向和大小由什么决定？
老师几何画板展示．

4. 回忆本节课，我们通过哪些活动加深了对抛物线的认识？我们运用了哪些研究问题的方法？

学生思考并回答．
以点蒙古包为原点，树林带为x轴，建立平面直角坐标系，量取蒙古包和树林带的距离，得到点A的坐标，列出二次函数解析式，画出图像．

学生思考猜想．
抛物线开口方向由定点和直线的位置确定，开口方向朝向定点．定点与直线的距离越近，开口越小，定点与直线的距离越远，开口越大．

回忆思考，讨论发言．

活动四 解决活动一的实际问题，前后呼应．

拓展提升，给学生更高、更广阔的思维空间．

回忆解决问题的全过程，积累数学活动经验，深化认识．
课后反思：