直线方程与两直线位置关系.doc

第一节直线的方程与两直线的位置关系

教 材 面 面 观
基础知识常梳理　自主探究强记忆
1．直线的倾斜角和斜率
(1)直线与x轴相交时_______________________________________________
叫直线l的倾斜角，记为α，直线与x轴平行或重合时倾斜角为________；倾斜角的范围为________．
(2)斜率：当倾斜角α≠90°时，________表示直线的斜率，常用k表示，即k＝________.当α＝90°时，斜率不存在，当直线l过A(x1，y1)、B(x2，y2)且x1≠x2时，k＝________.
答案　(1)直线向上的方向与x轴的正方向形成的角　0°　[0°，180°)　(2)tanα　tanα　
2．直线的方向向量：当直线的斜率为k时，其方向向量的坐标可记为________．
答案　(1，k)
3．直线方程的三种形式
(1)点斜式：________.特例：y＝kx＋b表示________且斜率为k的直线，该直线方程叫直线方程的斜截式．
(2)两点式：________.特例：＋＝1，其中a、b表示直线在________，且________，该方程叫直线方程的截距式．
(3)一般式：________(A2＋B2≠0)．
答案　(1)y－y1＝k(x－x1)　在y轴上截距为b
(2)＝　x、y轴上的截距　a、b不为0
(3)Ax＋By＋C＝0
4．若直线l1和l2的斜率分别为k1、k2，
(1)l1∥l2⇔________；
(2)l1⊥l2⇔________.
答案　(1)k1＝k2　(2)k1k2＝－1
5．点到直线的距离公式
(1)点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝________.
(2)两平行线Ax＋By＋C1＝0和Ax＋By＋C2＝0的距离d＝________.
答案　(1)　(2)

考 点 串 串 讲
考点归纳与解析　思维拓展与迁移
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．
当直线和x轴平行或重合时规定直线的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的取值范围
由定义，可得倾斜角的范围是0°≤α＜180°.
学习直线倾斜角应注意以下几点：①直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是对于与x轴相交的直线，第二种是直线与x轴平行或重合．这样使平面内任何直线都有唯一的倾斜角．②当直线与x轴相交时直线的倾斜角的定义是由运动的观点定义的．(注意“逆时针”、“最小”、“正角”三个条件．)③直线倾斜角直观地描述了直线的倾斜程度，不同的直线可以有相同的倾斜角．
(3)直线的倾斜角的另一定义：直线斜向上方向与x轴正方向所成的最小正角为直线的倾斜角．规定：当直线与y轴垂直时倾斜角为0°.
2．直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即k＝tanα.
由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线，其斜率也不同，我们常用斜率来表示倾斜角不等于90°的直线对于x轴的倾斜程度．学习直线的斜率应注意以下几点：
①所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
②当倾斜角是90°时直线斜率不存在，并不是该直线不存在，此时直线与x轴垂直．
③直线的倾斜角α与k之间的关系如下表：
直线情况
平行于x轴
由左向右上升
垂直于x轴
由右向左上升
α大小
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k的范围
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
k的增减性

单调增

单调增
3.直线的斜率公式
在坐标平面内，如果已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么直线P1P2就是确定的，当直线P1P2的倾斜角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式k＝.
关于直线的斜率公式应用要注意以下几点：
①直线l的斜率公式中的两点P1，P2是直线l上的任意两点．
②斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒．
③若x1＝x2时，k＝无意义，此时直线的倾斜角为90°，无斜率．
4．直线的方向向量
直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量．直线P1P2的方向向量的坐标是(x2－x1，y2－y1)．
当直线P1P2与x轴不垂直时，x1≠x2.此时，向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，即(1，k)，其中k是直线P1P2的斜率．
5．直线的方程
(1)直线方程的几种形式(如下表)：
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
(x1，y1)是直线上一定点，k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
＝
(x1，y1)、(x2，y2) 是直线上的两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
＋＝1
a是直线在x轴上非零截距，b是直线在y轴上非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
斜率为－，在x轴上截距为－，在y轴上截距为－
任何位置的直线
(2)求直线方程的一般方法
①直接法：直接选用直线方程的某种形式，写出形式适当的直线方程．
②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题设给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程．步骤可归纳为设方程，求系数，代入．
6．两条直线的平行
①当直线l1和直线l2是斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2时，l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.
②当直线l1和l2的斜率都不存在时，若两条直线l1，l2不重合，则l1∥l2，一般结论：直线l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或直线l1、l2斜率都不存在且不重合．
③直线l1、l2的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
特殊情况：当A1B1C1≠0且A2B2C2≠0时，l1∥l2⇔＝≠.
④与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
7．两条直线的垂直
①当直线l1和直线l2的斜率分别为k1，k2时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②两条直线中，一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率为零，则两条直线垂直．
③直线l1、l2的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
④与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0或－Bx＋Ay＋m＝0.
8．两直线的交点
(1)当两条直线相交时，其交点的坐标是两直线的方程联立方程组的解，以两直线的方程联立方程组的解为坐标的点就是这两直线的交点．
(2)直线l1，l2的方程联立方程组

(代数问题)　　　(几何问题)
9．点到直线的距离
设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，点P到直线l的距离为d，则有
d＝.
①点P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a的距离为|x0－a|.
②原点O(0,0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
③两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为d＝.用两平行线间的距离公式时要把两直线方程的一般式中x、y的系数化为统一．
10．直线系问题
若直线l的方程为：
m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0，则直线l为恒过定点P(x0，y0)的直线，其中点P(x0，y0)为直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0的交点．
由于确定一条直线需要两个独立的条件，因而我们在求直线方程的过程中首先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后根据另一个条件来确定其中的参变量．
五种常用的直线系方程为：
(1)过两直线l1和l2交点的直线系方程为：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)．
(2)与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为：
y＝kx＋m(m≠b)．
(3)过定点(x0，y0)的直线系方程为：
y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
(4)与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为
Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
(5)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋n＝0.
11．对称问题
(1)中心对称问题
①点(x，y)关于定点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
②曲线C：f(x，y)＝0，关于点A(a，b)的对称曲线C1的方程为f(2a－x,2b－y)＝0.
(2)轴对称问题
①点P(x，y)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称点为P′(x1，y1)，则k·kPP′＝－1，且P′P的中点在l上．
②关于直线的对称分两种情况：当两直线平行时，用平行直线间的距离公式；当两直线相交时，用直线到直线的角的公式求斜率来解决．
(3)处理对称问题的常用技巧
①点关于直线对称
(ⅰ)对称点的连线与对称轴垂直；
(ⅱ)对称点的连线段的中点在对称轴上．
②直线关于直线对称(相交情形)．
(ⅰ)三线交于一点；
(ⅱ)一条直线到对称轴的角等于对称轴到另一条直线的角．
③点关于点对称
对称中心为任一对对称点连线段的中点．
④直线关于点对称(点不在直线上)
(ⅰ)两直线平行；
(ⅱ)对称中心到两直线的距离相等．
求点P(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x1，y1)的坐标，可利用AB⊥l及线段AB被l平分两个条件建立方程组求解.

典 例 对 对 碰
反思例题有法宝　变式迁移有技巧

题型一直线的斜率和倾斜角
例1(1)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的斜率是________．
(2)若A(－2,3)，B(3，－2)，C(，m)三点共线，则m的值为(　　)
A.　　　B．－
C．－2 D．2
解析　(1)因为A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝＝.若设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝.这时直线l的倾斜角为2θ，其斜率为tan2θ＝＝＝.
(2)由kAB＝kBC，即＝，得m＝，选A.
答案　(1)　(2)A
点评　本题第(1)问属于斜率和三角函数的简单综合题，关键是熟练掌握斜率公式及正切的二倍角公式．第(2)问因为直线AB与BC的倾斜角相同且过同一点B，所以由kAB＝kBC求m.

变式迁移1
若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
答案　(－2,1)
解析　∵直线的斜率k＝，且直线的倾斜角为钝角，∴＜0，解得－2＜a＜1.

题型二直线的方程
例2求经过点A(－5,2)，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程．
分析　根据问题的要求，一般地，解题时，仅想到用截距式方程＋＝1，忽略一种横纵截距都等于0的情况，必须想到有一条过原点的直线也满足条件．
解析　①当横截距、纵截距都是零时，
设所求的直线方程为y＝kx，
将(－5,2)代入y＝kx中，
得k＝－.此时，直线方程为y＝－x.
②当横截距、纵截距都不等于零时，
设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入上述方程，解得a＝－3.此时，直线方程为x＋y＋3＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋y＋3＝0或2x＋5y＝0.
点评　很多同学在审题时，往往不能把题中“非零截距相等”和“零截距相等”的分类因素挖掘出来，进行分类讨论，把“零截距”的情况丢掉了．因此，如果题中出现直线在两轴上的“截距相等”，“截距互为相反数”，在一坐标轴上截距是另一坐标轴上截距的m倍”(m＞0)等条件时，采用截距式求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况.

变式迁移2
求过点P(2，－1)，在x轴，y轴上的截距分别为a、b，且满足a＝3b的直线方程．
解析　①当a＝3b＝0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，则－1＝2k，k＝－，
∴y＝－x，即x＋2y＝0.
②当a＝3b≠0时，设直线方程为＋＝1，则
＋＝1，∴b＝－，即x＋3y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为
x＋2y＝0，或x＋3y＋1＝0.

题型三三点共线问题
例3已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点．证明：点C、D和原点O在同一条直线上．
分析　过原点的直线与函数y＝log8x交于A、B两点，故直线的斜率大于0，要证明C、D、O三点共线，可将问题转化成证明OC与OD斜率相等．
证明　设A、B的横坐标分别为x1、x2，
由题设知x1＞1，x2＞1，
且点A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，
∵A、B在过点O的直线上，
∴＝，
又点C、D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)，
且log2x1＝＝3log8x1，
log2x2＝＝3log8x2，
∴OC、OD的斜率分别为：kOC＝＝，
kOD＝＝.
由此得kOC＝kOD，
从而，点O、C、D在同一条直线上．
点评　证明三点共线除了用斜率相等外，还可用平面内两点间的距离公式、直线方程、面积公式、向量平行等多种方法.

变式迁移3
(1)已知三点的坐标分别为A(5，－2)、B(3,0)、C(0,3)，求证：这三点在同一直线上；
(2)如果三点A(1，－5)、B(a，－2)、C(－2，－1)在一条直线上，求a的值．
解析　(1)证明：如果过同一点的两条直线的斜率相等，那么这两条直线重合．用kAB和kAC分别表示直线AB和直线AC的斜率，kAB＝＝－1，kAC＝＝－1.因为kAB＝kAC，所以通过A点的两条直线AB和AC重合，换句话说，即A、B、C三点在同一直线上．
(2)如果A、B、C三点在同一直线上，那么直线AB的斜率与直线AC的斜率或相等，或都不存在．现在＝－，所以a＝－.

题型四与直线有关的最值问题
例4过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA|·|PB|最小时l的方程．
解析　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)．
令x＝0，得B(0,1－2k)．
令y＝0，得A(2－，0)，且知k＜0.
(1)S△AOB
＝(1－2k)(2－)
＝[4＋(－4k)＋(－)]
≥(4＋4)＝4.
当且仅当(－4k)＝－，
即k＝－时取最小值．
故l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)|PA|·|PB|＝·
＝2≥4.
取最小值时k＝－1.故l的方程为x＋y－3＝0.

变式迁移4
(1)直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程；
(2)直线l经过点P(3,2)且与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积最小时，求直线l的方程．
解析　(1)解法一：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
∴A(a,0)，B(0，b)，
∴　解得
∴所求直线方程为：
＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
解法二：设直线l的方程为：y－2＝k(x－3)．
令y＝0，得直线l在x轴上的截距a＝3－，
令x＝0，得直线l在y轴上的截距b＝2－3k.
∴(3－)(2－3k)＝24，解得k＝－.
∴所求直线方程为y－2＝－(x－3)．
即2x＋3y－12＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
∵直线l经过点P(3,2)，
∴＋＝1.
∵a＞0，b＞0，∴＞0，＞0.
由基本不等式得：
·≤2＝，
当且仅当＝＝，即a＝6，b＝4时，
△OAB的面积S＝ab最小．
∴所求直线方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.

题型五过定点的直线系问题
例5求证：不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一个定点，并求出此定点坐标．
分析　分析1：既然不论m为何实数，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线交点，所以，可以把这个定点求出来．
分析2：既然对任意的实数m，直线l恒过定点(x0，y0)，那么(m－1)x0＋(2m－1)y0＝m－5应该是关于m的恒等式．
解析　证法一：取m＝1，直线方程为y＝－4.
取m＝，直线方程为x＝9.
∴两直线的交点为(9，－4)．
下面证明，不论m为何实数，l都过定点(9，－4)．
将(9，－4)代入直线l的方程中，
左端＝(m－1)x＋(2m－1)y
＝9(m－1)－4(2m－1)＝m－5＝右端．
∴点(9，－4)恰在直线l上，即直线l恒过定点(9，－4)．
证法二：把直线l的方程按m的降幂排列，得
(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0.　(*)
(*)式对任何m的值均成立，由多项式恒等的理论有
解得
∴交点为(9，－4)．
∴直线l恒过直线x＋2y－1＝0和x＋y－5＝0的交点(9，－4)．
点评　点评1：上面证明，可以分“探求”和“验证”两部分，即先使用特殊值法探求问题的结论，进而给出证明，这是从特殊到一般的数学方法．
点评2：(1)(*)式也可看成是过两直线交点的直线系方程(x＋y－5)＋m(x＋2y－1)＝0的逆应用．
(2)本题实质是要证明直线l具有和参数m无关的性质——过定点，证明时，关键要抓住m的任意性.

变式迁移5
已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度AB及此时的直线方程．
解析　(1)证明：由直线l的方程得
m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0
由
得(3,1)，直线l过定点(3,1)，
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，
∴点(3,1)在圆内部．
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交．
(2)由(1)知直线l过定点M(3,1)且与过此点的圆C的直径垂直时，l被圆所截得的弦长|AB|最短．
∴|AB|＝2
＝2
＝4.
此时kl＝－，
所以－＝－＝2，
得m＝－，代入已知直线的方程得直线l的方程为2x－y－5＝0.

题型六两直线的平行与垂直
例6已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
分析　可利用所求直线和已知直线的平行和垂直关系来确定a、b的值，另外直线方程中含有字母参数，应分类讨论．
解析　(1)由已知可得l2的斜率必存在，
∴k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，
即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＝0，即b＝3a(不合题意)．
∴此种情况不存在，即k2≠0.
若k2≠0，即k1、k2都存在，
∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，
∴k1·k2＝－1，即(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①、②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，
∴k1＝k2.即＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等l1∥l2，
∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数．
即＝－.④
由③、④联立解得或
∴a、b的值为2和－2，或和2.
点评　当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于(1)若用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可不用分类讨论.

变式迁移6
已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解析　(1)∵m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0，
∴m＝1，n＝7.
2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4，
由8×(－1)－n·m≠0，n≠±2，
即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，
l1∥l2.
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2，
又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

题型七与两直线的交点有关的问题
例2过点P(3,0)作直线l，使它被两直线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截的线段恰好被P平分，求直线l的方程．
分析　若能求得l的斜率，可得方程，因此可利用点斜式设出方程，然后求出l与两直线的交点，以P点为中点列式求解．
解析　设所求的直线l的方程为
y＝k(x－3)，即y＝kx－3k，
解方程组
得A(，)，
解方程组
得B(，)，
∵点P(3,0)是线段AB的中点，
∴(＋)＝0.
∴k＝8或k＝0.
若k＝0，则三点共线于x轴上，不合题意，故舍去．
由点斜式得直线l的方程为
8x－y－24＝0.

变式迁移7
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：
l1：x－2y＋2＝0，l2：2x－y－2＝0.
解析　解方程组得
所以，l1与l2的交点是(2,2)．
设经过原点的直线方程为y＝kx，
把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k＝1.所以，所求的直线方程为y＝x.

题型八点到直线的距离
例8求过点P(－1,2)且与点A(2,3)和B(－4,5)距离相等的直线l的方程．
分析　分析1：利用点到直线的距离公式建立等式求斜率k.
分析2：A、B两点到l的距离相等，有两种情况：
①l∥AB，②l过AB的中点．
解析　解法一：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
∵|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，也适合题意．
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为
y－2＝－(x＋1)．即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB中点为(－1,2)，
∴直线AB的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0，或x＝－1.
点评　按常规解法已知一点求直线方程，通常会设点斜式方程，但要注意斜率不存在的情况.

变式迁移8
夹在两条平行直线l1：3x－4y＝0与l2：3x－4y－20＝0之间的圆的最大面积为(　　)
A．2π B．4π
C．8π D．16π
答案　B
解析　夹在两条平行线之间的最大圆的半径为两平行线间距离的一半．而两平行线间的距离d＝＝＝4，所以r＝＝2，则圆的最大面积S＝πr2＝4π.

题型九对称问题
例9求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．
分析　先解直线a与直线l的方程构成的方程组，求出交点E的坐标，则E点也在直线b上，再寻求确定直线b的另外一个条件即可．
解析　由解得a与l的交点E(3，－2)且点E也在直线b上．
在直线a上取一点A(2,0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为B(x0，y0)．
则有
解得即B(，－)．
∴直线b的方程为＝，
即2x＋11y＋16＝0.

变式迁移9
已知直线l：y＝3x＋3.求：
(1)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(2)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
解析　(1)设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立．
∴
解得
把(x1，y1)代入y＝x－2，
整理得7x2＋y2＋22＝0，
∴l2的方程为7x＋y＋22＝0.
(2)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，由于l∥l′，可设l′为：y′＝3x′＋b，任取y＝3x＋3上的点(0,3)关于A(3,2)对称的点一定在l′上，设为(x′，y′)，
则
∴x′＝6，y′＝1，代入y′＝3x′＋b，
得b＝－17，
故l′的方程为y′＝3x′－17.
即对称直线的方程为3x－y－17＝0.

题型十与对称有关的最值问题
例10(1)已知点A(－3,5)，B(2,15)，试在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出最小值；
(2)已知点A(4,1)，B(0,4)，试在直线l：3x－y－1＝0上找一点P，使|PA|－|PB|的绝对值最大，并求出最大值．
解析　(1)如图，设A关于l的对称点为A′(x′，y′)，

由
解得A′(3，－3)．
则A′B的方程为
＝，
即18x＋y－51＝0.
解方程组　得
∴所求P点坐标为(，3)，此时
|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|
＝|A′B|＝
＝5为所求最小值．
若在l上任取异于P点的任意点P′，则由
|P′A|＋|P′B|＝|P′A′|＋|P′B|＞|A′B|
(三角形两边之和大于第三边)，知只有所求的P点满足题意．
(2)设B关于l的对称点为B′(x′，y′)，
由
得B′(3,3)．
直线AB′的方程为＝，
即2x＋y－9＝0.
解方程组　得
故所求P点坐标为(2,5)，此时
||PA|－|PB||＝||PA|－|PB′||
＝|AB′|＝＝为所求最大值．
若设l上异于P点的任一点为P′，则有
||P′A|－|P′B||＝||P′A|－|P′B′||＜|AB′|(三角形两边之差小于第三边)，故所求P点满足题意.

变式迁移10
如图，一条光线从点M(5,3)射出后，被直线l：x＋y－1＝0反射，入射光线到直线l的角为β，且tanβ＝2，求反射光线所在直线的方程．

解析　设所求直线斜率为k，
∵直线l的斜率为－1，
∴＝tanβ＝2，
可解得k＝.
设点M(5,3)关于l的对称点为M′(x0，y0)，
线段MM′的中点为(，)，
则有
解得
∴反射光线所在直线的方程为
y－(－4)＝[x－(－2)]，即x－3y－10＝0.

方 法 路 路 通
规律方法勤探究　高考成绩优中优
1．注意斜率和倾斜角的区别：每条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角的范围是0°≤θ＜180°，但并不是每条直线都有斜率．对倾斜角的概念需理解三点：①直线l向上的方向；②与x轴的正方向；③所成的最小正角．
当直线与x轴垂直时，其斜率不存在，当直线与x轴不垂直时，任意一条直线的斜率是唯一的．
2．注意截距与距离的区别：直线在x轴上的截距是它与x轴交点的横坐标，在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，因此截距可正、可负、也可取零．距离是一个非负实数，两者不能混淆．
例如：直线x－y＋1＝0在x轴上的截距为－1，在y轴上的截距为1，再如直线y＝3x在两坐标轴上的截距为0.
3．对直线的方程概念的理解，要注意掌握好直线的残缺与方程的制约关系，注意语言表述上的微小差别．例如：求三角形中线的方程，和求三角形中线所在直线的方程，是不一样的，前者是线段，后者是直线．
4．如无特殊要求，直线方程形式应写成一般式或斜截式．
5．在利用直线的方程解决两直线的有关问题时要注意直线关系到两直线的倾斜角、到两直线的夹角、到直线的斜率、再到方程的系数的转换．判断两直线平行时应注意到：l1∥l2⇔l1的倾斜角α1＝l2的倾斜角α2，而用斜率来判断时应考虑：l1∥l2，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2⇒k1＝k2，b1≠b2.斜率不存在时，l1∥l2，l1：x＝C1，l2：x＝C2⇒C1≠C2；同样两直线垂直的判定务必考虑斜率是否存在；而用公式来求l1到l2的角时应注意两斜率都存在且两直线不垂直，并注意有序性；求点到直线的距离时，公式必须是对直线的一般式才成立．
6．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形.

正 误 题 题 辨
学海暗礁常提醒　逐波踏浪舟更轻
例已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等，且到点(1,2)的距离为，求直线l的方程．
错解　由于直线l在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，
所以直线l的斜率为1或－1，
设l的方程为y＝x＋m或y＝－x＋m，
又点P(1,2)到直线l的距离为，
∴＝或＝，
由|m－1|＝2得m＝3或－1，
由|3－m|＝2，得m＝1或5，
故所求直线l的方程为
y＝x＋3或y＝x－1或y＝－x＋1或y＝－x＋5.
点击　错解中忽视了直线l在两坐标轴上截距都为零的情况，解答不完整，截距为零的情况也符合题意．
正解　当l在两坐标轴上的截距都不为零时，解法同上，
当l在两坐标轴上的截距都为零时，方程应为y＝kx的形式，
根据题意＝，化简得：k2＋4k－2＝0，
解这个关于k的方程得
k＝－2或k＝－(＋2)，
所以方程为y＝(－2)x或y＝－(＋2)x，
综合上述可得l的方程为：
y＝x＋3或y＝x－1；y＝－x＋1或y＝－x＋5；y＝(－2)x或y＝－(＋2)x.

知 能 层 层 练
针对考点勤钻研　金榜题名不畏难
1．直线l的纵截距为2，倾斜角的正弦值为，则此直线方程为(　　)
A．4x－3y－6＝0
B．4x－3y＋6＝0或4x＋3y－6＝0
C．4x＋3y＋6＝0
D．4x－3y－6＝0或4x＋3y＋6＝0
答案　B
解析　由sinθ＝得tanθ＝±.
故方程为y＝±x＋2.
2．直线l1：y＝mx＋1，直线l2的方向向量为a＝(1,2)，且l1⊥l2，则m＝(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
答案　B
解析　直线l1的斜率为k1＝m，直线l2的斜率为k2＝＝2，
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1⇒m＝－，所以选B.
3．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1 B.
C．2 D.
答案　D
解析　由题意得原点到直线x＋2y－5＝0的距离等于＝，选D.
4．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
答案　1＋
解析　由kAB＝kBC，即＝，可得a(a2－2a－1)＝0，即a＝1±或a＝0，又a＞0，故a＝1＋.
5．过点P(0,1)作一条直线，使它夹在两条直线x－3y＋10＝0和2x＋y－8＝0间的线段被点P平分，求这条直线的方程．
解析　解法一：设所求直线方程为y＝kx＋1，
设与两直线分别交于A、B，
可求得xA＝，xB＝.
由＝0⇒k＝－.
故所求方程为x＋4y－4＝0.
如果斜率不存在，此时不符合题意．
解法二：利用点的对称性，
设A(x1，y1)、B(x2，y2)⇒＝0，＝1.
∴x2＝－x1，y2＝2－y1，
∴
①＋②可得x1＋4y1－4＝0.
可见，点A在直线x＋4y－4＝0上，又过点P
∴所求直线方程为x＋4y－4＝0.