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构建数学思维模型，提高综合分析能力
——《用分数解决问题》教学过程与思考

南宁市江北小学 夏金娟 13978868808

小学数学教学应该把培养学生解决问题的能力作为重要的教学任务。纵观我国小学数学教育发展史，始终把解决问题作为贯穿我国数学课程的一条主线。2011版的《数学课程标准》中，对小学高年级解决问题的目标是这样描述的：尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决；能探索分析和解决问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性；经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程；能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。数学问题的解决，从根本上讲是把已学到的数学知识运用到新的情境中去，通过对已有知识的重新组合而生成新的解题策略和方法，因此，解决问题是发展学生的创新意识和实践能力的重要途径，有利于强化学生对数学知识的掌握。本节课是解决问题中的一些策略的运用，如检验法、转化法，方程法，引导学生从检验中发现问题，从已有的知识中用多种方法解决新问题。
一、教学片段：
（一）合作交流,思维训练
出示：阅览室里，女同学占1/4。
师：谁来说说这句话的意思？
生：把阅览室里的总人数看作整体“1”，平均分成4份，女同学占其中的一份。
师：你能联想到什么数学问题吗？
四人学习小组讨论后汇报。
生1：男同学占总人数的3/4.
生2女同学和男同学的比是：1:3.
生3：女同学占男同学的1/3;男同学是女同学的3倍。
生4：女同学和总人数的比是1:4，总人数是女同学的4倍。
生5：男同学和总人数的比是3:4，总人数是男同学的4/3。
生6：女同学和男同学的比是1:3，女同学比男同学少2/3,男同学比女同学多2倍。
(二)创设情境，交流提升
复习分数问题的关系式：知“1”用乘，求“1”用除。用单位“1”的量乘以所求量对应分率等于所求量；用已知量除以已知量对应分率等于单位“1”的量。
课件出示情境图文：学校阅览室里看书的同学中，女同学占1/4，半小时后，有 6位女同学进去看书，这时看书的同学中，女同学占2/5。现在阅览室有多少名同学在看书？
小组合作解答，其中一个小组很快回答：阅览室里有40人。
师：请小组代表说说你们的列式方法及解题思路。
生：6÷（2/5-1/4）=40（人）
女同学原来占总数的1/4，增加6人后，现在女同学占总数的2/5，用女同学前后的数量差6人除以前后对应总人数的分率差就可以得到阅览室的总人数了。
师：谁有不同意见吗？
生：沉默。
教师知道结果是错误的，但没有直接点出学生的错误，而是组织学生进行检验，让学生自己去发现问题。
师：下面我们一起检验这个结果是否正确？现在有40人，没来6位女同学之前，阅览室有几人？
原人数：40-6=34人。原女同学：（40-6）×1/4
学生发现了结果不是整数，开始怀疑列式是否正确。组织学习小组讨论错解的症结在哪里。
师：你们发现症结在哪了吗？
师点化提问：同学们，你们想想看，原来女同学占阅览室的1/4和后来女同学占阅览室的2/5对应的单位“1”虽然都是阅览室里的总人数，但这个总人数变了没？
这个抛砖引玉的点化提问，激活了学生的思维，学生的发言活跃了。
生1：变了，增加了6个女同学，总人数也增加了6人。
生2：总人数变了，1/4和2/5对应的单位“1”的数量不相同了。
师小结讲解：当单位“1”的数量发生变化时，对应的分率值的标准不一样，就不能把分率直接相加减，比如12的1/4表示把12平均分成4份，去其中的一份；20的2/5表示把20平均分成5份，取其中的两份，由于单位“1”不相同，我们不能把1/4直接加减2/5。但如果是20的1/4和20的2/5，就可以把1/4直接加减2/5后再乘以20，因为1/4和2/5对应的单位“1”都是20。单位“1”相同的分率才能直接相加减，你们听明白了吗？
生：我明白了，单位“1”不相同，对应的分率是不能直接相加减的，这道题把2/5减1/4是错的。
师：对，这道题的总人数是变量，把总人数看作单位“1”来解决问题，是错误的，那这道题那个量是不变量呢？该如何解答呢？
组织四人小组去探究解决问题的方法。汇报：
生1：女同学变了，总人数也变了，但男同学的人数没有变。
生2：男同学的人数始终没有改变，我们可以把单位“1”转化成用男同学表示就可以解答了。
师：如何转化单位“1”呢？
学生的思维活跃了。
生1：原来女同学占阅览室总人数的1/4，那么，原来女同学占男同学1/3，现在女同学占阅览室人数的2/5，现在的女同学就占男同学的2/3.
生2：我发现阅览室里的总人数也是一个变量，我们也可以把阅览室的总人数转化成用不变量的男同学看作单位“1”来表示。原来女同学占阅览室的1/4，可以知道总人数有4份，男同学占3份，那么总人数占男同学的4/3.现在女同学占阅览室的2/5，总人数有5份，男同学有3份，总人数占男同学的5/3.
师小结：这道分数问题，我们要学会观察，抓住不变量求解，把不变量看作单位“1”来转化求解。
学生解答。
生1列式：
原女占男同学：1÷(4-1) =1/3
现女占男同学：2÷(5-2) =2/3
男同学： 6÷(2/3-1/3)=18（人）
现总人数：18÷(1-2/5)=30(人)
生2列式：
原总人数占男同学：4÷|（4-1）=4/3
现总人数占男同学：5÷(5-2)= 5/3
男同学：6÷(5/3-4/3)=18(人)
现总人数：18×5/3=30（人）
师：下面我们对比一下这两种方法，方法一求现在的总人数用除法，方法二求现在的总人数用乘法？为什么呢？
生：方法一是通过“男同学占现在总人数的3/5”来求总人数，这里的总人数是未知的，求“1”用除法算。方法二是通过“总人数占男同学的5/3”来求总人数，这里的单位“1”是男同学，是已知的，知“1”用乘法算。
师小结：今天学会了抓住不变量，用算数法解决了分数的问题，希望同学们今后做题要学会观察分析哪个是变量，哪个是不变量，学会转化单位“1”，把不变量看作单位“1”求解。同学们，这节课我们运用了转化的思维，用算术方法解答了分数的问题，还有别的方法吗？
生：老师，能不能用方程解答？
这时已经打下课铃了。
师：怎样用方程解答呢？请同学们回去探究一下怎样用方程解答这道题，下一节课我们一起学习。
二、教学反思
（一）鼓励学生解决问题策略的多样化，逐步完善数学模型。新《数学课程标准》要求要积极鼓励学生体验从实际背景中抽象出数学问题——构建数学模型——求解模型——解释、应用和拓展的分析问题和解决问题。本节课首先学生发现自己列式错误，从而进一步明确了这类数学问题的解答模型——单位“1”的数量发生变化时，要运用转化单位“1”的策略解决问题。解决问题的关键是要观察那个量是变量，哪个量是不变量，把不变量看成单位“1”，才能求解。这里一般学生很难想到这样的转化，这就需要教师的点化，为突破难点，课前就让学生合作交流，对“阅览室里，女同学占1/4。”进行大胆联想，为转化思维奠定基础。解决问题过程中，注意培养学生思维的多样性，即能通过女同学占男同学的分率求解，也可以通过全班同学占男同学的分率求解，最后还引导学生还可以用方程的思维去求解，让学生课后探索用方程解的方法，激发学生的求知欲，完善这类数学问题的数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力。
（二）教师要善于关注学生的学习状态，使课堂真正成为学生学习的主场。一节课的流程，不可能都是按照教师的备课按部就班的完成，有时会有一些意外的收获，这样的收获有时来自师生的互动，有时来自学生间思维的碰撞，有的还来自个别学生的别出心裁。这就需要教师学会由“关注知识”转向“关注学生”，由“给出知识”转向“引出知识”。 在一个新知识初始的数学活动学习中，学生获得的数学经验往往是模糊的、零散的，这就需要教师帮助学生将学习活动过程中获得的经验清晰化、条理化、系统化。教师要学会在课堂上随机应变一些突发的事情，以学生为主体，从纠正学生错误的数学思维中提升和完善学生数学活动经验。从而不断提高学生的数学素养。比如本节课中学生出现了列式上的错误，主要是学生从例题的文字表达上“女同学占1/4”和“女同学占2/5”这两句话看起来单位“1”是相同的，都是以阅览室里的总人数看作单位“1”，这是学生思维的形象性与问题的抽象性发生了冲突而导致的错误，说明了学生的思维还没有深度，在解决问题过程中出现了错误。小学阶段，学生的思维正处于由从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对一些深度的抽象思维的数学问题感到辣手是理所当然的，这就需要教师有意识的点拨和训练，引导学生反思，学会解决问题策略的多样化。本节课教学中，教师点拨学生回顾分数的加减法的意义去反思错误的列式，从而提高了学生的发展类比迁移知识的能力和推理能力。
（三）教师要善于让学生学会用学过的数学思维模型为新的思维模型服务。
新知识的出现，往往是以旧知识为基础的，新知识要么是旧知识的引申和发展，要么是旧知识重新组织或转化而成新知识。学习新知识后要善于与旧知识联系，除了可以巩固并加深对新旧知识的掌握外，还可以让学生把知识形成系统化，有利于学生循序渐进的探索、推知、学习、掌握知识。如当学生用两种方法解答后，教师启发学生对比两种方法，找出异同点，从而巩固了知单位“1”用乘法，求单位“1”用除法的数学思维模式，又加深了如果单位“1”发生变化时，需要转化单位“1”求解的思维模式，提高学生数学综合分析能力。
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