立体几何中的向量方法用空间向量求空间角市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.3,立体几何中向量方法,空间“角”问题,空间角常见有：线线角、线面角、面面角,第1页,复习回顾,直线方向向量,平面法向量,设,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),，,b,(,b,1,，,b,2,，,b,3,),则,(1),a,b,.,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,第2页,设直线,l,1,、,l,2,方向向量分别为,a,、,b,，平面,、,法向量分别为,n,1,、,n,2,.,则,l,1,l,2,或,l,1,与,l,2,重合,.,l,1,l,2,.,或,与,重合,.,.,l,或,l,.,l,.,复习回顾,a,b,a,t,b,a,b,a,b,0,n,1,n,2,n,1,t,n,2,n,1,t,a,n,1,a,n,1,n,2,n,1,n,2,0,n,1,a,n,1,a,0,第3页,引例：,求二面角,M-BC-D,平面角正切值；,求,CN,与平面,ABCD,所成角正切值；,求,CN,与,BD,所成角余弦值；,(4),求平面,SBC,与,SDC,所成角,正弦值,第4页,范围：,一、线线角：,异面直线所成锐角或直角,思索：,空间向量夹角与,异面直线夹角有什么关系？,结论：,第5页,x,z,y,向量法,A,D,C,B,D,1,C,1,B,1,A,1,E,1,F,1,方法小结,传统法：平移,例,1,.,如图所表示正方体中，已知,F,1,与,E,1,为四等分点，,求异面直线,DF,1,与,BE,1,夹角余弦值？,第6页,所以 与 所成角余弦值为,解：如图所表示，建立空间直角坐标,系,如图所表示，设 则：,所以：,练习：,第7页,悟一法,利用向量求异面直线所成角步骤为：,(1),确定空间两条直线方向向量；,(2),求两个向量夹角余弦值；,(3),确定线线角与向量夹角关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线夹角；当向量夹角为钝角时，两直线夹角为向量夹角补角,第8页,直线与平面所成角范围：,结论：,二、线面角：,直线和直线在平面内射影所成,角,，,叫做这条直线和这个平面所成角,思索：怎样用空间向量夹角表示线面角呢？,A,O,B,第9页,例,2,、,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成角,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,O,向量法,传统法,第10页,N,解：如图建立坐标系,A-xyz,则,即,在长方体 中，,练习,：,第11页,N,又,在长方体 中，,练习：,第12页,悟一法,利用向量法求直线与平面所成角步骤为：,(1),确定直线方向向量和平面法向量；,(2),求两个向量夹角余弦值；,(3),确定线面角与向量夹角关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去,90.,第13页,二面角平面角必须满足,：,3,）,角边都要垂直于二面角棱,1,）,角顶点在棱上,2,）,角两边分别在两个面内,以二面角,棱上任意一点,为端点，,在两个面内,分别作,垂直于棱,两条射线，这两条射线所成,角,叫做,二面角平面角。,10,l,O,A,B,三、面面角：,第14页,l,l,三、面面角：,向量法,关键：观察二面角范围,第15页,证实：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得,例,3.,已知正方体 边长为,2,，,O,为,AC,和,BD,交点，,M,为 中点,（,1,）求证：直线 面,MAC;,（,2,）求二面角 余弦值,.,B,1,A,1C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,第16页,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,由图可知二面角为锐角,第17页,悟一法,利使用方法向量求二面角步骤,(1),确定二个平面法向量；,(2),求两个法向量夹角余弦值；,(3),确定二面角范围；二面角范围要经过图形,观察,，法向量普通不能表达,第18页,练 习：,如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC,，,AOC=90,，,SO,面,OABC,，且,OS=OC=BC=1,，,OA=2,。求：,异面直线,SA,和,OB,所成角余弦值，,OS,与面,SAB,所成角,正弦值,，,二面角,B,AS,O余弦值。,则,A,（,2,，,0,，,0,）；,于是我们有,O,A,B,C,S,解：如图建立直角坐标系，,x,y,z,=,（,2,，,0,，,-1,）；,=,（,-1,，,1,，,0,）；,=,（,1,，,1,，,0,）；,=,（,0,，,0,，,1,）；,B,（,1,，,1,，,0,）；,S,（,0,，,0,，,1,），,C,（,0,，,1,，,0,）；,O,（,0,，,0,，,0,）；,第19页,令,x=1,，则,y=1,，,z=2,；,从而,（,2,）设面,SAB,法向量,显然有,O,A,B,C,S,x,y,z,第20页,.,由知面,S,AB,法向量,=,（,1,，,1,，,2,）,又,OC,面,AOS,，,是面,AOS,法向量，,令,则有,因为所求二面角大小等于,O,A,B,C,S,x,y,z,二面角,B,AS,O,余弦值为,6,6,所以直线,SA,与,OB,所成角余弦值为,5,10,第21页,课堂小结：,1.,异面直线所成角：,2.,直线与平面所成角：,3.,二面角：,关键：观察二面角范围,第22页,