万有引力(1).doc

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万 有 引 力
一．开普勒三定律
1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运行的轨道都是_______,太阳处在所有椭圆的_______上.
2.开普勒第二定律:对于每一个行星,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的_______相等.
如图1所示:设行星在A处的速度为VA,距太阳的距离为rA,在B处的速度为VB,
图 1-1
距太阳的距离为rB,则由____________________得_________。
3.开普勒第三定律:所有行星的半长轴的___次方跟公转周期的______的比值都相等。
即_____________.
注意:对同一星系中的所有行星,k值____等;对不同星系间的两颗行星,k值____等.
比如: 对太阳系中的所有行星,有:R地3 / T地2 = R金3 / T金2 = R木3 / T木2 = R水3 / T水2 =……= k1;
对地球系中的所有行星,有:R月3 / T月2 = R人造卫星3 / T人造卫星2 = ……= k2；注意这里k1_____k2.
例1:已知某地球卫星的运行轨道为椭圆,近地点与远地点的距离之比为1:9,则对应的速度之比为______.
例2:把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳的周期之比可求得( )
A．火星和地球的质量之比 B.火星和太阳的质量之比
C. 火星和地球到太阳的距离之比 D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
二.万有引力定律及应用
1.万有引力定律: 表达式:F引=_________,其中引力常量G =_____________.由英国物理学家________测出,适用条件:两物体的大小与两者之间的距离相比可以忽略不计.
常见规律:当两物间的距离增大为原来的2倍时,其作用力将变为原来的_____倍;当两物间的作用力变为原来的2倍时,其距离应变为原来的______倍.
2.万有引力定律在地(星)球表面的应用:对地球表面上静止的物体m: 由mg = ________,有:
(1)地(星)球表面物体的重力加速度:g = __ _;
(2)地(星)球的质量:M =___________;据此人们称卡文迪许为“ 能称出地球质量的人”.
(3)一个重要的关系式:GM = gR2.
3.重力的产生:考虑到地球的自转影响,地球表面物体的重力实际上并不等于万有引力,而只是万有引力的一个分力(另一个分力为物体绕地球转动所需的向心力),如图2-1所示,由此可见:同一物体在赤道处所受的重力____(大、小)于在两极处所受的重力.
图 2-1
例1:地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，若高空中某处的重力加速度为g/2，则该 处 距地球表面的高度为________.

例2:A、B两颗行星,质量之比为MA:MB=p,半径之比RA:RB=q,则两行星表面的重力加速度之比为______.

例3: (08年东城三模)2007年10月29日18时01分，嫦娥一号卫星成功实施入轨后的第 三 次变轨。30日17时40分，嫦娥一号卫星到达48小时周期轨道远地点，距地面高度12万公里，创下中国航天器飞行测控新纪录。已知地球半径6400公里，则在距地面12万公里高处，嫦娥一号卫星所受地球的万有引力与绕地表面飞行时的万有引力大小之比最接近（ ）
A．1∶20 B．1∶200 C．1∶400 D．1∶600
图 2-2
例4: (09年西城一模)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落 回 原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地 = 1 : 4，地球表面重力加速度为g，设该星球
表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( )
A．g′: g = 5 : 1 B．g′: g = 5 : 2
C．M星 : M地 = 1 : 20 D．M星 : M地 = 1 : 80
例5:设地球的质量为M，赤道半径为R，自转周期为T.则地球赤道上质量为m的物体所受重力的大小为(式中G为万有引力常量)( )
A．GMm/R2 B．
C．GmM/R2-4π2mR/T2 D．GmM/R2+4π2mR/T2
例6:（08年宣武二模）某一颗星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h处平抛一物体，水平射程为60m，如果在该星球上，从相同高度以相同的初速度平抛同一物体，那么其水平射程应为（ ）
A．10m B．15m C．90m D．360m
例7:( 08年崇文二模)一火箭从地面由静止开始以5m/s2的加速度匀加速上升，火箭中有一质量为1.6kg的科考仪器。在火箭上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R的（地球表面处重力加速度g=10m/s2）( )
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 倍
三.人造卫星
1.近地卫星:即贴近地面飞行的卫星. ( h=0;r=R)
由: mg = F引 =________ = F向 =________ = _________ = ___________,有:
(1)第一宇宙速度:V =_________或:V=_________=__________m/s.
①此速度值为人造地球卫星能上天飞行的最______速度；
②此速度值又为所有正在天上作圆轨道飞行的卫星的最______速度；
③第二宇宙速度：又叫脱离速度.卫星要挣脱地球引力、飞离地球而具有的最____速度.其大小为第一宇宙速度的倍.地球的第二宇宙速度大小为____________m/s.
④第三宇宙速度：地球上的物体飞离太阳系而必须具有的最小速度.地球的第三宇宙速度大小为____________m/s.
(2)地(星)球的质量:M =____________.
(3)地(星)球的密度:ρ=____________;
2.远地卫星 ( 即h≠0,r=R+h)
由mg’ = F引 = = F向 =_______= ________ = ________,有:
(1)卫星加速度: g’=__________=_________ g由此可见:当h=R时,有g’=__ g;当g ’ = g ,有h =_____R.
(2)卫星速度:V =________;可见:当h增大, V ______ .
(3)地(星)球的质量:M =__________. (4)地(星)球的密度:ρ=_______.
总结：在距地心距离分别为r1和r2的两个物体（卫星），向心加速度（重力加速度）之比=______;
卫星线速度之比=_______;周期之比=_______;角速度之比=_______.
例1:人造地球卫星在环形轨道上绕地球运转，它的轨道半径、周期和环绕速度的变化关系是（ ）
A．半径越小，速度越小，周期越小 B．半径越小，速度越大，周期越小
C．半径越大，速度越大，周期越小 D．半径越大，速度越小，周期越小
例2:两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA/TB=1/8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )
A．RA：RB=4：1，vA：vB=1：2 B．RA：RB=4：1，vA：vB=2：1
C．RA：RB=1：4，vA：vB=2：1 D．RA：RB=1：4，vA：vB=1：2
例3:（08年崇文一模）如图3-1所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，下列说法中正确的是（ ）
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度
C．b、c运行的周期相同，且小于a的运行周期
图 3-1
D．由于某种原因，a的轨道半径缓慢减小，则a的线速度将变小
例4:（09年昌平区二模）美国东部时间2009年2月10日上午11时55分(北京时间2月 11 日晚0时55分)，美国和俄罗斯的两颗通信卫星在太空相撞并产生大量太空垃圾，这极有可能会对国际空间站构成威胁. 在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球转动，可视为绕地球做匀速圆周运动.每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度增加，从而使得一些太空垃圾进入到稀薄大气层，运动半径开始逐渐变小，但每运动一周仍可视为匀速圆周运动.若在这个过程中某块太空垃圾能保持质量不变，则这块太空垃圾的 ( )
A. 线速度将逐渐变小 B. 加速度将逐渐变小
图 3-2
C． 运动周期将逐渐变小 D．机械能将逐渐变大
例5:（09年东城一模）近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，
正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。
如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密
度的表达式为（k为某个常数） （ ）
A． B． C． D．
例6: (09年东城二模)2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，
他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来。“神舟七号”绕地球做近似匀速
圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以 确 定（ ）
A．翟志刚出舱后不再受地球引力
B．翟志刚出舱取回外挂实验样品，若样品脱手，则样品做自由落体运动
C．“神舟七号”与卫星的加速度大小之比为4：1
图 3-3
D．“神舟七号”与卫星的线速度大小之比为1：
例7：（08年石景山一模）2007年10月24日，中国第一颗人造月球卫星——“嫦娥一号”成功发射，11月5日进入38万公里以外的月球轨道，11月24日传回首张图片，这是我国航天事业的又一成功。如果在这次探测工程中要测量月球的质量，则需要知道的物理量有（卫星围绕月球的运动可以看作匀速圆周运动，已知万有引力常量）（ ）
A．卫星的质量和月球的半径 B．卫星绕月球运动的周期和卫星绕月球运动的半径
C．月球的半径和卫星绕月球运动的周期 D．卫星的质量、月球的半径和卫星绕月球运动的周期
例8:（08年西城二模）“神舟六号”绕地球做匀速圆周运动时,距地面高度为343km，运行周期为90分钟;“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动时,距月球表面高度为200km,运行周期为127分钟。已知地球半径为6400km，月球半径为1750km。“嫦娥一号”与“神舟六号”相比较，下列说法中正确的是( )
A．“嫦娥一号”的线速度大 B．“嫦娥一号”的角速度小
C．“嫦娥一号”的向心加速度大 D．两者轨道半径的三次方与周期平方的比值相等
例9:（07年东城一模）已知地球半径为R,月球半径为r,地球与月球之间的距离(两球中心之间的距离)为L.月球绕地球公转的周期为T1 ,地球自转的周期为T2 ,地球绕太阳公转周期为T3 ,假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G,由以上条件可知( )
A．地球的质量为m地= B.月球的质量为m月=
C.地球的密度为ρ= 　 D.月球运动的加速度为a=
例10:（09年丰台一模）为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（ ）
A． B． C． D．
例11:（09年海淀一模）质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，则（ ）
A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R：r B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1：1
C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1：1 D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R:r
例12:(０8年北京高考题）据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是( )
A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力
C.卫星绕月球运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度
例13:（09年北京高考题）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。
（1）推到第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

θ
v0
C
例14:（07年西城一模）如图3-4所示，在半径为R，质量分布均匀的某星球表面，有一倾角为θ的斜坡。以初速
度v0向斜坡水平抛出一个小球。测得经过时间t，小球垂直落在斜坡上的C点。求：
（1）小球落到斜坡上时的速度大小v；
（2）该星球表面附近的重力加速度g；
（3）卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的速度v′。

图 3-4

3.同步卫星 好像“ 静止”在地球上空,与地球同步转动的卫星.有以下一些定值:
(1)周期一定:T=______小时. (2)纬度一定:同步卫星必须在______的上空. (3) 高度一定(h≈3.6×104km)
(4) 速率一定(v≈3.1km／s) ⑸运行方向一定(自西向东运行)
例1:同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星（ ）
A．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
B．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
例2:常用的通讯卫星是地球同步卫星，它定位于地球赤道正上方.已知某同步卫星离地面的高度为h，地球自转的角速度为，地球表面附近的重力加速度为g，地球的半径为R，该同步卫星运动的加速度的大小为( )
A．0 B．g C．2h D．2(R+ h)
例3: (08年西城一模)有三颗质量相同的人造地球卫星1、2、3，1是放置在赤道附近还未发射的卫星，2是靠近地球表面做圆周运动的卫星，3是在高空的一颗地球同步卫星。比较1、2、3三颗人造卫星的运动周期T、线速度v、角速度ω 和向心力F，下列判断正确的是（ ）
A．T1 < T2 < T3 　　　 B．ω1= ω3 < ω2
C．v1 = v3 < v2　　　　　　　　　　　 D．F1 > F2 > F3
例4:地球同步卫星到地心的距离r可由r3=a2b2c/4π2求出,已知式中a的单位是m,b的单位是s,c的单位是m/s2,则( ) A. a是地球半径,b是地球自转的周期,c是地球表面处的重力加速度
B.a是地球半径,b是同步卫星绕地心运转的周期,c是同步卫星的加速度
C.a是赤道周长,b是地球自转的周期,c是同步卫星的加速度
D.a是地球半径,b是同步卫星绕地心运转的周期,c是地球表面处的重力加速度
例5:（07年崇文一模）如图3-5所示， O点为地球的地心，实线圆表示地球赤道，虚线圆表示某一同步卫星轨道，A点表示同步卫星所在位置。若已知地球的半径为R，地球的自转周期为T，地球表面处的重力加速度为g。求：
（1）同步卫星的高度；
（2）同步卫星能覆盖到的赤道上圆弧所对应的圆心角θ。

图 3-5

例6.(07年丰台理综)某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同．设地球的自转角速度为，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下次通过该建筑物正上方所需的时间可能为（ ）

A． B． C． D．

四.本章有关的其它问题
1.人造卫星的轨道问题
任何卫星在正常的运行时，其轨道平面必定经过________.否则，卫星便会在地球的引力作用下，离开原先的轨道平面，发生“漂移”，失去稳定，最终坠毁.
图 4-1
如图4-1所示三种卫星轨道a、b、c中，只有b、c轨道才有可能使卫星长期稳定运行，
而a轨道上的卫星会在地球吸引力指向赤道的分力的拉动下，发生向赤道的移动，失去
稳定.当然，卫星的轨道在形 状上可以不同，有圆、椭圆之分；卫星的公转方向和自旋
方向也可不同.轨道平面只要经过地心，可以与地轴成任意角度.

2.同步卫星发射升空过程:一般采用变轨发射,如图4-2所示,先把卫星发射到200多
千米的圆形轨道上,这条轨道叫停泊轨道,当卫星穿过赤道平面a点时,点火加速,
使卫星进入一条大的椭圆转移轨道,当运行到远地点恰好在赤道上空36000千米
处的b点时,再点火加速,使卫星进入圆形同步轨道,也叫静止轨道.
从图中可以看出:ab两处的线速度大小关系:Va___Vb,加速度大小关系:aa____ab.
并且卫星在圆轨道上经过a处的加速度____(大、小、等)于在椭圆轨道上经过a处
的加速度；在圆轨道上经过b处的加速度 ____ (大、小、等)于在椭圆轨道上经过b处
的加速度；在圆轨道上经过a处的速度 ____ (大、小、等)于在椭圆轨道上经过a处的
图4-2
速度。在圆轨道上经过 b处的速度____ (大、小、等)于在椭圆轨道上经过b处的速度。
3.卫星的变轨运动
由于某种原因或需要，卫星做不稳定的变轨运动，对于这种变轨动态运行问题，要注意此时万有引力不再刚好提
供__________，万有引力将对天体做功，解题时须从重力或其他力做功和能量转化的角度去分析，一般可用向心
和离心运动的条件入手.
4.双星问题： 如图4-3所示，设大行星的质量为M,小行星的质量为m,相距为r,
则两者绕共同的质心运动的______速度必相等,
由F引 =_______ = F向 =________=_________；且角速度之比ω1:ω2=_______,
向心力之比F1:F2=______，两者运行的线速度之比V1:V2=_______=_______。
例1:可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（ ）
图 4-3
A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
例2:宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可以采取的措施是 ( )
A．只能从较低轨道上加速 B．只能从较高轨道上加速
m2
m1
O
图4-4
C．只能从同空间同一高度轨道上加速 D．无论在什么轨道上，只要加速都行
例3:经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗 相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图4-4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2=3∶2，下列说法中正确的是 ( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L D．m2做圆周运动的半径为L
例4:（09年海淀二模）发射地球同步卫星要经过三个阶段：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后使其沿椭圆轨道2运行，最后将卫星送人同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图4-5所示。当卫星分别在轨道l、2、3上正常运行时，则以下
说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道3 上的运行速率大于7．9km／s
B．卫星在轨道3上的机械能小于它在轨道1上的机械能
C．卫星在轨道3上的运行速率大于它在轨道1上的运行速率
图 4-5
D．卫星分别沿轨道l和轨道2经过Q点时的加速度相等
例5:有一双星各以一定的速率绕垂直于两星连线的轴转动,两星与轴的距离分别为R1和R2,转动周期
为T,那么: ( )
A. 这两颗星的向心加速度必相等 B. 这两颗星的质量之和为4π2(R1+R2)3/GT2
C. 这两颗星的质量之比为m1:m2=R2:R1 D. 其中有一颗星的质量必为4π2R1(R1+R2)2/GT2

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