南充十中奖学金测试题.doc

数学综合试题(一)
（时间：120分钟．满分120分）
一.选择题：（每小题3分，共３6分）
1.某地一天早晨的气温是－７℃，中午上升了１１℃，午夜又下降了９℃，则午夜的气温　　　　　是（　B　）．
（Ａ）５℃　　 （Ｂ）－５℃　　 （Ｃ）－３℃　　 （Ｄ）－９℃
2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-的结果是（　C　）.
b
O
2题图
a

（A）2a-b （B）b （C）-b （D）-2a+b
3.如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ B ）.
俯视图
左视图
主视图
3题图

（A）3 （B）4 （C）5 　　 （D）6
4.在直角坐标系中,点P（x－3,　x－5）在第四象限,则x的取值范围是（ A　）.
（A）3＜x＜5 （B）－3＜x＜5 （C）－5＜x＜3. （D）－5＜x＜－3.
5.某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例,如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ A ）.
5题图
3
2
I(A)
R(Ω)

（A） 　 （B） （C） 　　（D）
6.如图，⊙的半径＝，直线，垂足为，且交⊙于、两点，，则沿OC所在直线向下平移( B )时与⊙相切．
（A）1 (B)2 (C) 3 (D) 8
A
C
B

O
H
6题图

7.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1,2,3,4,5,6．如图,是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体,则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（　A　）.
7题图

(A) （B）　 （C） （D）
8.如图，将一张矩形纸片ABCD的∠C沿GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合），使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数满足（ B ）.
A
B
C
D
G
E
F
H
8题图

（A）90°＜＜180°（B）=90°（C）0＜°＜90°（D）随着着痕位置的变化而变化
9.如图的象棋盘上,若帅位于点（1,－2）上,相位于点（3,－2）上,则炮位于点（　D　）.

帅
相
炮

（A）（－1,1） 　　（B）（－1,2） （C）（2,1）　　　　（D－2,1）
10.如图,是某校初一年级学生到校方式的条形统计图,根据图形可得出步行人数占总人数的（　　B ）.

（人数）
150
120
90
60
30
坐车
骑车
步行
10题图

（A）60% (B）50% （C）30% （D）20%
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,△ABC的面积为2,则 tanA+tanB等于（ D ）.
11题图
A
C
B
c
b
a

（A） （B） （C） （D）4
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图25－2所示,给出以下结论：① a+b+c<0；② a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . 其中所有正确结论的序号是（ B ）.
8题图25-2

(A)③④ （B）②③ 　 （C） ①④ （D） ①②③
二.填空题：（每小题3分，共12分）
13．函数的自变量x的取值范围是.
14．若关于x的一元二次方程没有实数根,则k的取值范围是 .
15． 如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到且BP=2，那么的长为.

A
B
P
11题图

(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=)
16．已知n(n≥2)个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上. 设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此推断，Sn=.
三．计算：（6分）
17．
解:原式=
=
=2

四.(6分)
18.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为6元/辆,小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中﹑小型汽车,这些车共缴停车费230元,问中﹑小型汽车各有多少辆?
解:设中型汽车有x辆,小型汽车有y辆.
根据题意,得
解这个方程组,得
答:中型汽车有15辆,小型汽车有35辆.

五.证明题：（本题6分）
19.已知：如图，AD=BC，∠D=∠C，AC交BD于点E．求证：AC=BD．
D
C
B
A
E
19题图

证明：在△ADE和△BCE中,

∴△ADE≌△BCE（AAS）
∴AE=BE DE=CE
∴AE+EC=BE+DE
∴AC=BD.

六．（本题6分）
20．已知关于x的一次函数y＝kx＋1和反比例函数y＝的图象都经过点（2，m）.
（1）求一次函数的解析式
（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标．
解:(1)∵y＝的图象都经过点（2，m）,
∴m=3.
∵一次函数y=kx+1的图象过点(2,m),
∴3=2k+1,
∴k=1,
∴一次函数的解析式为y=x+1.
(2)由得所以另一个交点的坐标为(-3,-2).

七．（本题8分）
21．如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A、B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，6，8，装置B上的数字分别是4，5，7这两个装置除了表面数字不同外，其他构造完全相同．现在你和另外一个人分别同时用力转动A、B两个转盘，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重新转动一次，直到箭头停留在某一处数字为止），那么，你会选择哪个装置呢？请借助列表法或树状图法说明理由．
1
8
6
4
7
5
A
B
21题图－8

解:
开始
1
6
8
4
5
7
4
5
7
4
5
7
A装置
B装置

由树状图知P(A装置获胜)＝，P（B装置获胜）＝，所以选A装置.

八．（本题8分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A的平分线 ，求△ABD的面积．
A
B
D
C
22题图

解：如图,过点D作DE⊥AB于E.
A
B
D
C
E
1
22题图

在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∴DE=CD, ∵AC=6，,
∴,∴∠1=30°,∴,∴.
这时∠BAC=60°，∠B=30°.∴AB=2AC=12.
∴.

九．（本题10分）
23．某地火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元
（1）设运输这批货物的总运费为y（万元），用A型货厢的节数为x（节），试写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来．
（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
解：（1）由题意得：＝-0.3x+40,
∴y与x之间的函数关系式为：y＝-0.3x+40.
（2）由题意得：

解得：28≤x≤30
∵x是正整数
x ＝28或29或30
∴有三种运输方案①用A型货厢28节，B型货厢22节；②用A型货厢29节，B型货厢21节；③用A型货厢30节，B型货厢20节.
（3）在函数y＝-0.3x+40中
∵y随x的增大而减小
∴当x＝30时，总运费y最小，此时y＝＝31（万元）
∴方案③的总运费最少，最少运费是31万元.

十．（本题10分）
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．
(1)求OA、OC的长；
(2)求证：DF为⊙O′的切线；
(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．
Ｏ′
·
x
y
C
E
B
A
D
O
24题图
F
1
2

H
3

Ｏ′
·
x
y
C
E
B
A
D
O
21题图
F

解：（1）在矩形OABC中，设OC=x 则OA= x+2，依题意得, .
解得： . （不合题意，舍去）.
∴OC=3， OA=5 .
（2）如图,连结O′D ,在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=
∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2
在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3
∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE，
∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，
∴DF为⊙O′切线.
（3）不同意. 理由如下:
①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点.
过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H = OC = 3，∵A P1= OA = 5
∴A H = 4， ∴OH =1 求得点P1（1，3） 同理可得：P4（9，3）
②当OA=OP时，同上可求得:P2（4，3），P3（-4，3）
因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形.

十一．（本题12分）
25．如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A﹑B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.
x(
y
1(
C
O
B
D
A
P
E
25题图

(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A﹑B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h于x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1) ∵点A在直线y=x+m上, ∴4=3+m, ∴m=1.
设所求二次函数的解析式为. ∵点A(3,4)在二次函数上,
∴4=, ∴a=1. ∴所求二次函数的解析式为.
即.
(2)设p﹑E两点的纵坐标分别为和.
∴PE=h=-=(x-1)- =.
∴h=(0 (B) (C) (D)
2.第五次全国人口普查结果显示，我国的总人口已达到1300000000人，用科学记数法表示这个数，结果正确的是( B ).
(A) (B) (C) (D)
3.下列各式中，与是同类二次根式的是（ B ）.
(A) (B) (C) (D)
4.下列调查方式合适的是（ C ）.
(A)为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式
(B)为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查方式
(C)为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
(D)对栽人航天器“神州五号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
5.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C ).

(A) (B) (C) (D)
6.下列各式中，与分式的值相等的是（ D ）.
(A) (B) (C) (D)
7.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏. 游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖. 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）. 某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ C ）.
(A) (B) (C) (D)
8.已知⊙O的圆心在坐标原点，半径为，又A点坐标为，则点A与⊙O的位置关系是（ B ）.
(A)A点在⊙O 上 (B) 点A在⊙O 内 (C)A点在⊙O 外 (D)点A在x轴上
9.已知点在反比例函数的图象上，那么下列各点中在此函数图象上的是（ C ）.
(A) (B) (C) (D)
10.下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( D ).

(A) (B) (C) (D)
11.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加ｍ米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加ｎ米长的铁丝，则ｍ与ｎ的大小关系是（　C　）
(A)ｍ＞ｎ　　 (B)ｍ＜ｎ　　 (C)ｍ＝ｎ　　 (D)不能确定
12.二次函数的图象如图，那么点M在（ B ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
x
y
O
12题图

二.填空题：（每小题3分，共12分）
13.某校组织初三学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有4个空座位，那么租用大客车的辆数是（用m的代数式表示）.
14. 如图，把一个直角三角形绕着角的顶点顺时针旋转，使点与的延长线上的点E重合，这时的度数是15°．
14题图

15. 某农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种甜玉米各用10块试验田进行试验，得到这两个品种甜玉米每公顷产量的两组数据（如图所示）. 根据图6中的信息，可知在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.
实验田序号
产量(吨)
图6

16.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖3n+1块（用含的代数式表示）.
（1）
（2）
（3）
……

三．计算：（6分）
17.化简求值：.带一个你喜欢的值进行计算.
解:原式=
=
=

四.(6分)
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出△ABC关于轴对称的△，并写出△各顶点的坐标；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△，并写出△各顶点的坐标；
(3)观察△和△，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.

A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
1
O
2
x
y
18题图

解:（1）(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1);（2）A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1);（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于直线轴对称.
A
B
C
A1
B1
C1
C2
B2

1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
1
O
2
x
y

五.证明(6分)
19．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F.
(1)在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
(2)求证：AE=FC+EF.
A
B
C
D
E
F
19题图
G

解: (1) ΔAED≌ΔDFC.
∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AD=DC，∠ADC=90º. 又∵ AE⊥DG，CF∥AE，
∴ ∠AED=∠DFC=90º, ∴ ∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90º，
∴ ∠EAD=∠FDC. ∴ ΔAED≌ΔDFC （AAS）.
(2) ∵ ΔAED≌ΔDFC， ∴ AE=DF，ED=FC. ∵ DF=DE+EF， ∴ AE=FC+EF.

六.(6分)
20.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,问每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x人.
根据题意得,1+x+x(x+1)=121.
解这个方程,得由题不符合题意,应舍去.
答:平均一个人传染了10个人.

七.(8分)
21. 如图,是某省2005～2007年财政收入情况，根据图中的信息，解答下列问题：
(1)这个省这三年财政收入共为多少亿元？
(2)这个省2006～2007年财政收入的年增长率约为多少？（精确到1％）
(3)如果这个省2007～2008年财政收入的年增长率与（2）中求得的年增长率基本相同.请估计陕西省2008年财政收入约为多少亿元？（精确到1亿元）
326
415
528
2005
2006
2007
年份/年
省财政收入/亿元
21题图

解：（1）∵（亿元）
∴这个省这三年的财政收入共为1269亿元.
（2）∵
∴这个省2006～2007年财政收入的 年增长率为27％.
（3）∵（亿元）
∴2008年财政收入约为671亿元.

八.(8分)
22. 如图，不透明圆锥体放在直线所在的水的平面上，且过底面圆的圆心，其高为m，底面半径为2m，其光源位于点处，照射圆锥体在水平面上留下的影长m．
(1) 求的度数；
(2) 若，求光源距平面的高度．
A
P
C
E
B
D
F
H
A
P
C
E
B
D
22题图

解：如图,(1)过点D作DF垂直BC于点F.
　　　　　由题意，得，，．
　　　　　在Rt中，,
　　　　　所以.
　　　 (2) 过点A作AH垂直BP于点H．
　　　　　因为　,
　　　　　所以　,
　　　　　,
　　　　　在，.
　　　　　即光源A距平面的高度为．

九.(10分)
23.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及消耗费如下表：

A型
B型
价格（万元/台）
12
10
处理污水量（吨/月）
240
200
年消耗费（万元/台）
1
1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)请你设计该企业有几种购方案
(2)企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应该选择那种方案
(3)在（2）的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）.
解：（1）设购买A型设备x台,则购买B型设备(10-x)台.
由题得,12x+10(10-x)≤105,
解得,x≤2.5,
又x为非负整数,所以x可取0,1,2.
∴有三种购买方案：购A型0台，购B型10台，购A型1台，购B型9台，购A型2台，购A型8台.
（2）当购买A型0台,B型10台时,处理污水量为:0×240+10×200<2040,所以这种情况不符合题意;当购买A型1台,B型9台时,处理污水量为:1×240+9×200=2040,这时费用为:1×12+9×10=102(万元);当购买A型2台,B型8台时,处理污水量为:2×240+8×200=2080,这时费用为:2×12+8×10=104(万元).所以为了节约资金，应该购A型1台，购B型9台.
（3）能节约资金42.8万元.

十.(10分)
24. 如图,已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度数.
(2)在MN上是否存在一点D,使?说明理由.
A
O
B
M
N
C

A
O
B
M
N
C
24题图

解:(1)连结OC,
∵MN切半圆O于点C,
∴OC⊥MN,
则∠OCM=90°,
∴∠ACM=90°-∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=28°,
∴∠ACM=90°-28°=62°.
(2)过点B作B⊥MN.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠BC=∠ACB=90°,
又∠CAB=∠CB,
∴△ACB∽△CB,
∴,
∴.
过A作A⊥MN,同理可证:
故在MN上存在点D,使.

十一.(12分)
25.矩形在直角坐标系中的位置如图所示，、两点的坐标分别为、，直线与边相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线经过、两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）为轴上方（2）中抛物线上一点，求△面积的最大值；
Ｏ
Ｃ
Ｐ
Ｄ
Ｂ
Ａ

y
x
M
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以、、为顶点的三角形与△相似，求符合条件的点的坐标．
Ｏ
Ｃ
Ｐ
Ｄ
Ｂ
Ａ

M
25题图

解：（1）由题知，直线与BC交于点．
　　　　把代入中得，　　.
　 （2）抛物线经D(4,3),A(6,0)两点，
　　　把，；，．分别代入中得，
　　　　　　　解之得抛物线的解析式为：.
　（3）因△底边，当有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，
　　，抛物线顶点恰为最高点，.
　　　　的最大值.
　　　（4）抛物线的对称轴与x轴的交点，符合条件，
　　　,　，　　Rt△Rt△．
　　　，该点坐标为．
　　　过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点，对称轴平行于y轴，
　　　　，　　Rt△Rt△．
　　　　在Rt△和Rt△中，，，
　　　Rt△Rt△．　　，
点位于第四象限，.
　　　　因此，符合条件的点有两个，分别是，．

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