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基于小波变换的图像压缩
摘要：本文介绍了小波变换的优点及基于小波变换的图像压缩方法，同时将基于小波变换和基于傅里叶变换的图像压缩方法进行了比较。实验表明基于小波变换的图像压缩方法能在高压缩比的前提下保持良好的重建图像质量，在压缩比相同的条件下，小波变换相对于傅立叶变换有明显的图像改善效果和抗“分块效应”能力。
关键字：小波变换，傅里叶变换，图像压缩
1、 前言
傅里叶变换有诸多优点，但是当用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率。除此之外，由于正弦波是无限宽的，使得被分析的信号也需要具有从负无穷大到正无穷大都有意义的特性，所以傅立叶变换不能很好的处理一些局部信号。
小波变换在继承傅立叶变换优点的同时又克服了它的缺点，是一种信号的时间—尺度分析方法，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可变，时间窗和频率窗都可变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，较适合分析正常信号中夹带的瞬态反常现象，并展示其成分。图像压缩是小波分析应用的一个重要方面，其特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。

2、 小波变换基本理论
2.1二维离散小波变换
在实际运用中，连续小波变换的计算量很大，必须加以离散化，同时在对图像进行处理时，针对的都是二维的情况，所以我们只关注二维离散小波变换。
针对尺寸为M*N函数f（x，y），有如下的二维离散小波变换:
i={H，V，D} （公式1）
其中，是任意的开始尺度，系数定义了在尺度的的近似，系数对于附加了水平、垂直、对角线方向的细节。通常令并且选择N=M=，j=0，1，2，…，J-1和m，n=0，1，2…，-1。
二维离散小波逆变换如下所示：
（公式2）
2.2 小波变换的特点
2.3 傅立叶变换与小波变换的联系与区别
傅立叶分析和小波分析都是数字信号处理中常用的基本方法，其实质相同，即将信号在时间域和频率域之间相互转换，从复杂的数据中找出一些直观的信息，再对其进行分析。由于信号往往在频域有比在时域更加简单和直观的特性，所以，大部分信号分析的工作是在频域中进行的，这一点两者都可以通过变换在频域来实现。
傅立叶变换能联系时间域和频率域，但是不能有尺度变化，另外，它对于频率域对应回时域的某处却缺乏相应的处理能力，而小波具有多尺度特性，可以把频率强度和位置联系起来，从一定程度上解决了傅立叶变换的缺点。小波分析与傅里叶变换、Gabor变换相比，是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多问题。但小波分析并不能完全替代傅立叶变换，如果只进行频率域分析，则傅立叶变换更简单，效果也更好。
3. 利用二维小波变换进行图像压缩
利用二维小波变换进行图像压缩是小波分析应用的一个重要方面，其特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。
图像小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率不相同，图像的高频分量上大部分数值都接近于0，而其主要特征由低频部分体现，所以最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。
如图1所示，第一次压缩提取出原始图像中小波分解第一层低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小(约为1/3)；第二次压缩提取小波分解第二层的低频部分，其压缩比较大(约为1/12)，压缩后的图像在视觉上仍可见。

图1 利用二维小波变换进行图像压缩
4. 小波变换和傅里叶变换在图像压缩中的比较
图2中，在压缩比为1/3时，利用两种变换压缩后的图像都没有大程度的失真，但在利用小波变换压缩后的图像中，图像轮廓完整，视觉上与原图像没有太大的出入，与原图像整体效果基本相同。而利用傅立叶变换压缩后的图像不仅条纹已经模糊，边缘也有一定的失真，甚至过渡不够光滑，比如肩部明显的方块效应。
图3中，压缩比变为1/12，相比图2小波系数的置0百分比更大，剩余的图像能量更小，所以必须利用有限的能量来重构图像。图中利用小波变换压缩后的图像细节处的条纹和轮廓不太容易辨识，但基本轮廓可见，而利用傅立叶变换压缩后的图像，整体已经失真。
由图2和图3明显可以看出，随着压缩比的提高，图像压缩的质量越来越差，当压缩比相同时，小波变换的压缩效果明显优于傅立叶变换的压缩效果。

图2压缩比为1/3

图3 压缩比为1/12
5．结论
本文通过实验证明了基于小波变换的图像压缩方法具有很好的时频局部性，图像经过小波变换后，绝大部分的能量集中在少数的小波分解系数上，因此可将其他的分解系数置为0，而只用少数的分解系数来表示整个图像，从而相对傅里叶变换能得到较高的压缩比。
参考文献：
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[2] W. Lawton. Tight frames of compactly supported wavelets, J. Math. Phys., 31: 1898~1901, 1990
[3] 杨显斌，王东晓.基于MATLAB的小波图像压缩技术研究.广东广播电视大学学报.2006，15（2）：97-98