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正弦交流电路分析
一、学时：4学时
二、目的和要求：
三、重点： R、L、C元件的特性、功率的计算方法
四、难点：R、L、C元件的特性、功率的计算方法五、教学方式：多媒体或传统方法。
六、习题安排：
七、教学内容：
2.2正弦交流电路分析
2.2.1单一参数的交流电路
1、电阻元件及其交流电路
（1）电压电流关系

① 瞬时关系：u =iR
②相量关系：令 即

即

u、i波形与相量如图（b）（c）所示。
（2）功率
①瞬时功率
②平均功率
（3）结论
在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值，就是电阻R。
2、电感元件的交流电路
⑴电压电流关系

① 瞬时关系：

② 相量关系： 令即如图（c）

（称为感抗）
u、I的波形图与相量图，如图（b）、(c)所示。
⑵ 功率
①瞬时功率为
p =ui=UmImsinωt.sin(ωt+90º)
=UmImsinωt.cosωt=sin2ωt＝UIsin2ωt
②平均功率为
P＝＝＝0
（3）结论
电感元件交流电路中， u比i超前；电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积；平均功率为零，但存在着电源与电感元件之间的能量交换，所以瞬时功率不为零。为了衡量这种能量交换的规模，取瞬时功率的最大值，即电压和电流有效值的乘积，称为无功功率用大写字母Q表示，即
Q=UI=I2XL=U2/ XL (VAR)
3、电容元件交流电路

⑴ 电压电流关系
①瞬时关系： 如图（a）所示
i=C
② 相量关系：在正弦交流电路中
令u=Umsin（ωt + ）即 =
则
i= C=C
=ωCUmcos（ωt+）= ωCUmsin(ωt++90º)=Imsin(ωt++90º)
m=Im∠ψi=ωCUm∠900+
可见，Im=ωCUm =Um/XC （XC=1/ωC称为电容的容抗）
=ψu-ψi= --900
u、i的波形图和相量图，如图（b）（c） 。
⑵功率
①瞬时功率
p =u i =UmImsinωt.sin(ωt+90º)=UmImsinωt.cosωt=sin2ωt＝UIsin2ωt　
②平均功率
P＝＝＝0
（3）结论
在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前900；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为容抗XC ；电容元件是储能元件，瞬时功率的最大值（即电压和电流有效值的乘积），称为无功功率，为了与电感元件的区别，电容的无功功率取负值，用大写字母Q表示，即
Q=－UI=－I2XC=－U2/ XC
注：1 XC、XL与R一样，有阻碍电流的作用。
2适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。
3 XL与 f成正比，XC与 f成反比，R与f无关。
对直流电f=0，L可视为短路，XC=，可视为开路。
对交流电f愈高，XL愈大，XC愈小。
Ø 例题讨论
² 把一个100Ω的电阻元件接到频率为50Hz ，电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000 Hz，这时电流将为多少？
解： 因为电阻与频率无关，所以电压有效值保持不变时，频率虽然改变但电流有效值不变。
即 I=U/R=（10/100）A=0.1=100mA
² 若把上题中的，100Ω的电阻元件改为25μF的电容元件，这时电流又将如何变化？
【解】当f=50Hz时
XC＝＝＝127.4（Ω）
I===0.078（A）=78（mA）
当f=5000Hz时
XC＝＝1.274（Ω）
I==7.8（A）
可见，在电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大。
2.2.2-2.2.3阻抗的概念与正弦交流电路的分析、功率
1.电路分析

(1) 电压与电流的关系 uR=RImsinωt=URmsinωt
①瞬时值计算：设i=Imsinωt
则 u= uR+ uL+ uC= RImsinωt+XL Imsin(ωt + 90º)+XC Imsin(ωt－ 90º)
=Umsin(ωt+φ)
其幅值为Um，与电流的相位差为φ。
② 相量计算：

如果用相量表示电压与电流的关系，则为
=++=R+jXL－jXC=[R+j(XL－XC)]
此即为基尔霍夫定律的相量形式。
令Z==R+j(XL－XC) =|Z| / φ
由（b）图可见 、—、组成一个三角形，称电压三角形，电压u与电流i之间的相位差可以从电压三角形中得出，
φ=arctan= arctan
|Z|、R和(XL－XC)也可以组成一个直角三角形，称为阻抗三角形。
⑵ 功率
① 瞬时功率：
p=ui=UmIm sin(ωt+φ) sinωt=UIcosφ－UIcos(2ωt+φ)
② 平均功率：
P===UIcosφ
又称为有功功率，其中 cosφ称为功率因数。
③ 无功功率：
Q=ULI－UCI= I2(XL－XC)=UIsinφ
④ 视在功率：
S=UI称为视在功率
可见
2.2.4电路中的谐振
由上图的电压三角形可看出，当XL=XC时 即电源电压u与电路中的电流i同相。这时电路中发生谐振现象。
1、串联谐振
谐振发生在串联电路中，称为串联谐振。

⑴ 发生串联谐振的条件，XL=XC或2πfL=
并由此得出谐振频率
f=f0=
⑵ 串联谐振的特征
① 电路的阻抗最小，＝R。
② 由于电源电压与电路中电流同相(φ＝0)，电路对电源呈现电阻性。
③ 由于XL=XC，于是UL＝UC。而与在相位上相反，互相抵消，因此电源电压＝。
⑶ 应用：常用在收音机的调谐回路中。
2、并联谐振
谐振发生并联电路中，称为并联谐振。
⑴ 并联谐振频率为

⑵ 并联谐振的特征：
① 谐振时电路的阻抗为

其值最大，即比非谐振情况下的阻抗要大。因此在电源电压U一定的情况下，电路的电流I将在谐振时达到最小值。
② 由于电源电压与电路中电流同相(φ=0)，因此，电路对电源呈现电阻性。
③ 当R<<ω0L时，两并联支路的电流近似相等，且比总电流大许多倍。
2.7功率因数的提高
1、意义
（1）电源设备的容量能充分利用
（2）减小输电线路的功率损耗
2、功率因数不高，根本原因
就是由于电感性负载的存在。
3、常用的方法
就是与电感性负载并联静电电容器（设置在用户或变所中）。
⑴ 电路图和相量图

⑵ 并联电容器的作用：
并联电容器后，电感性负载的电流和功率因数均未发生变化，这时因为所加的电压和电路参数没有改变。但电路的总电流变小了；总电压和电路总电流之间的相位差φ变小了，即cosφ变大了。
① 并联电容器后，减小了电源与负载之间的能量互换。
② 并联电容器后，线路电流也减小了（电流相量相加），因而减小了功率损耗。
③ 应该注意，并联电容器以后有功功率并未改变，因为电容器是不消耗电能的。
Ø 问题讨论
² 有一电感性负载，共功率P=10KW，功率因数 cosφ1=0.6，接在电压U=220V的电源上，电源频率f=50Hz。（1）如果将功率因数提高到cosφ=0.95，试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并联前后的线路电流。（2）如要将功率因数从0.95再提高到1，试问并联电容器的电容值还需增加多少？

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