结构计算-D值法.doc

第六讲 水平荷载作用下框架内力的计算——D值法
主要内容：D值法
　　内容分解：
　　1）两种计算方法的比较，引出较精确的D值法；
　　2）具体计算步骤
　　作用在框架上的水平荷载主要有风荷载和地震作用，它们均可简化成作用在框架节点上的水平集中力。
　　由于水平荷载均可简化为水平集中力的形式，所以高层多跨框架在水平荷载作用下的弯矩图通常如图1所示。各杆的弯矩图均为直线，且均有一弯矩为零的点，称为反弯点。该点弯矩为零，但有剪力，如图1中所示的。如果能求出各柱的剪力及其反弯点位置，则各柱端弯矩就可算出，进而根据节点力矩平衡可算出梁端弯矩。因此必须确定各柱间剪力的分配比和确定各柱的反弯点的位置

　一、反弯点法回顾
　　反弯点法的适用条件为梁的线刚度与柱的线刚度之比大于3，其计算过程如下：
　　（1）反弯点位置的确定  由于反弯点法假定梁的线刚度无限大，则柱两端产生相对水平位移时，柱两端无任何转角，且弯矩相等，反弯点在柱中点处。因此反弯点法假定：对于上部各层柱，反弯点在柱中点；对于底层柱，由于柱脚为固定端，转角为零，但柱上端转角不为零，且上端弯矩较小，反弯点上移，故取反弯点在距固定端2/3高度处。
　　（2）柱的侧移刚度  反弯点法中用侧移刚度d表示框架柱两端有相对单位侧移时柱中产生的剪力，它与柱两端的约束情况有关。由于反弯点法中梁的刚度非常大，可近似认为节点转角为零，则根据两端无转角但有单位水平位移时杆件的杆端剪力方程，最后得
　　                         　　   （1）
　　式中，V为柱中剪力，为柱层间位移，h为层高。

（3）同一楼层各柱剪力的分配  根据力的平衡条件、变形协调条件和柱侧移刚度的定义，可以得出第j层第i根柱的剪力为：
　　                      （2）
　　式中，为第j层各柱的剪力分配系数，m为第j层柱子总数，为第j层以上所有水平荷载的总和，即第j层由外荷载引起的总剪力。这里，需要特别强调的是，与第j层所承担的水平荷载是有所区别的。
　　由式（2）可以看出在同一楼层内，各柱按侧移刚度的比例分配楼层剪力。
　　（4）柱端弯矩的计算  由于前面已经求出了每一层中各柱的反弯点高度和柱中剪力，那么柱端弯矩可按下式计算：
　　      （3）
　　式中，为第j层第i根柱的反弯点高度，为第j层的柱高。

（5）梁端弯矩的计算  梁端弯矩可由节点平衡求出，如图3所示。

　　 对于边柱                          （4）
对于中柱
　　            　（5a）                         　（5b）
　　 式中，、分别为左边梁和右边梁的线刚度。

（6）其他内力的计算  进一步，还可根据力的平衡条件，由梁两端的弯矩求出梁的剪力；由梁的剪力，根据节点的平衡条件，可求出柱的轴力。
　　 综上所述，反弯点法的要点，一是确定反弯点高度，一是确定剪力分配系数。在确定它们时都假设节点转角为零，即认为梁的线刚度为无穷大。这些假设，对于层数不多的框架，误差不会很大。但对于高层框架，由于柱截面加大，梁柱相对线刚度比值相应减小，反弯点法的误差较大。

二、反弯点法的缺点
　　反弯点法首先假定梁柱之间的线刚度比为无穷大，其次又假定柱的反弯点高度为一定值，从而使框架结构在侧向荷载作用下的内力计算大大简化。但是，在实际工程中，横梁与立柱的线刚度比较接近。尤其对于高层建筑，由于各种条件的限制，柱子截面往往较大，经常会有梁柱相对线刚度比较接近，甚至有时柱的线刚度反而比梁大。特别是在抗震设防的情况下，强调“强柱弱梁”，柱的线刚度可能会大于梁的线刚度。这样在水平荷载作用下，梁本身就会发生弯曲变形而使框架各结点既有转角又有侧移存在，从而导致同层柱上下端的M值不相等，反弯点的位置也随之变化。这时如果仍然用反弯点法计算框架在水平荷载作用下的内力，其计算结果误差较大。
　　 另外，反弯点法计算反弯点高度y时，假设柱上下节点转角相等，这样误差也较大，特别在最上和最下数层。此外，当上、下层的层高变化大，或者上、下层梁的线刚度变化较大时，用反弯法计算框架在水平荷载作用下的内力时，其计算结果误差也较大。

综上所述，反弯点法缺点如下：
　　 1）柱的抗侧刚度只与柱的线刚度及层高有关。
　　 2）柱的反弯点位置是个定值。
　　 反弯点法之所以存在以上缺点，根源在于没有考虑节点转动带来的影响。由于节点的转动，导致用反弯点法计算的内力误差较大。有鉴于此，日本人武藤清于1933年提出D值法（D即修正后的柱侧移刚度，亦即：使框架柱产生单位水平位移所需施加的水平力）对反弯点法予以修正。

三、D值法需解决的问题
　　反弯点法之所以存在以上两个缺点，根本原因是未考虑框架的节点转动。D值法则针对以上问题，近似考虑节点转动的影响，解决以下问题：
　　1修正柱的侧移刚度
　　 节点转动影响柱的抗侧刚度，故柱的侧移刚度不但与往本身的线刚度和层高有关，而且还与梁的线刚度有关。
　　2）修正反弯点的高度
　　节点转动还影响反弯点高度位置，故柱的反弯点高度不应是个定值，而应是个变数，并随以下因素变化：
　　 ① 梁柱线刚度比；
　　 ② 该柱所在楼层位置；
　　 ③ 上下层梁的线刚度；
　　 ④ 上下层层高；
　　 ⑤ 框架总层数。

四、修正反弯点法——D值法
　　考虑到以上的影响因素和多层框架受力变形特点，可以对反弯点法进行修正，从而形成一种新的计算方法——D值法。D值法相对于反弯点法，主要从以下两个方面做了修正：修正柱的侧移刚度和调整反弯点高度。修正后的柱侧移刚度用D表示，故该方法称为“D值法”。D值法的计算步骤与反弯点法相同，计算简单、实用，精度比反弯点法高，因而在高层建筑结构设计中得到广泛应用。
　　D值法也要解决两个主要问题：确定侧移刚度和反弯点高度。下面分别进行讨论。
　　1．修正后柱的侧移刚度
　　考虑柱端的约束条件的影响，修正后的柱侧移刚度D用下式计算：
　　                       （6）
　　式中  ——与梁、柱线刚度有关的修正系数，表1给出了各种情况下值的计算公式。
　　表1　值和K值计算表
　　由上表中的公式可以看到，梁、柱线刚度的比值愈大，值也愈大。当梁、柱线刚度比值为时，=1，这时D值等于反弯点法中采用的侧移刚度d。

2．同一楼层各柱剪力的计算
　　求出了D值以后，与反弯点法类似，假定同一楼层各柱的侧移相等，则可求出各柱的剪力：
　　                   （7）
　　 式中，为j层第i柱所受剪力；为第j层第i柱的侧移刚度；m为第j层柱子总数； 为第j层以上所有水平荷载的总和，即第j层由外荷载引起的总剪力。

3．各层柱的反弯点位置 
　　各层柱的反弯点位置与柱两端的约束条件或框架在节点水平荷载作用下，该柱上、下端的转角大小有关。若上下端转角相等，则反弯点在柱高的中央。当两端约束刚度不同时，两端转角也不相等，反弯点将移向转角较大的一端，也就是移向约束刚度较小的一端。当一端为铰结时（支承转动刚度为0），弯矩为0，即反弯点与该铰重合。影响柱两端转角大小的因素（影响柱反弯点位置的因素）主要有三个：
　　 ① 该层所在的楼层位置，及梁、柱线刚度比；
　　 ② 上、下横梁相对线刚度比值；
　　 ③ 上、下层层高的变化。

在D值法中，通过力学分析求出标准情况下的标准反弯点刚度比（即反弯点到柱下端距离与柱全高的比值），再根据上、下梁线刚度比值及上、下层层高变化，对进行调整。因此，可以把反弯点位置用下式表达：
　　    　　　（8）
　　式中，y为反弯点距柱下端的高度与柱全高的比值（简称反弯点高度比），y1为考虑上、下横梁线刚度不相等时引入的修正值，y2、y3为考虑上层、下层层高变化时引入的修正值，h为该柱的高度（层高）。
　　为了方便使用，系数、、和已制成表格，可通过查表的方式确定其数值。

　4．弯矩图的绘制 
　　 当各层框架柱的侧移刚度D和各层柱反弯点位置yh确定后，与反弯点法一样，就可求出框架的弯矩图。
　　 1）柱端弯矩的计算
　　 　　　（9）
　　 式中，为第j层第i根柱的反弯点高度，为第j层的柱高。

2）梁端弯矩的计算
　　梁端弯矩可由节点平衡求出：

　　 对于边柱                      　（10）
　　 对于中柱     　    （11）
　　                　　（12）
　　 式中，、分别为左边梁和右边梁的线刚度。
　　 3）其他内力的计算
　　可根据力的平衡条件，由梁两端的弯矩平衡可求出梁的剪力；由梁的剪力，根据节点力的平衡条件，可求出柱的轴力。

例题：
　　4、已知：框架计算简图，用D值法计算内力并绘制弯矩图

解： 1 ）求各柱的剪力值

2 ）求出各柱的反弯点高度 yh

3）求各柱的柱端弯矩
　　    第三层
　　    MCD=12.800.413.3kN·m=17.32 kN·m
　　    MDC=12.800.593.3 kN·m =24.92 kN·m
　　    MGH=13.900.453.3 kN·m =20.64 kN·m
　　    MHG=13.900.553.3 kN·m =25.23 kN·m
　　    MLM=10.290.353.3 kN·m =11.88 kN·m
　　    MML=10.290.653.3 kN·m =22.07 kN·m
　　    第二层
　　    MBC=34.720.503.3 kN·m =57.29 kN·m
　　    MFG=47.800.503.3 kN·m =78.87 kN·m
　　    MCB=57.29 kN·m
　　    MGH=78.87 kN·m
　　    MJL=28.480.453.3 kN·m =42.29 kN·m
　　    MML=28.480.553.3 kN·m =51.69 kN·m
第一层
　　MAB=56.680.553.9 kN·m =121.6 kN·m
　　MEF=77.510.553.9 kN·m =166.3 kN·m
　　MBA=56.680.453.9 kN·m =99.47 kN·m
　　MFE=77.510.453.9 kN·m =136.0 kN·m
　　MIJ=57.560.5753.9 kN·m =129.1 kN·m
　　MJI=57.560.4253.9 kN·m =95.41 kN·m

4）求各横梁梁端的弯矩
　　 第三层
　　  MDH= MDC=24.92 kN·m
　　  MDH=25.23 kN·m =16.45 kN·m
　　  MHM=25.23 kN·m =8.776 kN·m
　　  MMH= MML=22.07 kN·m
　　  第二层
　　  MCG= MCD+ MCB =17.32 kN·m +57.29 kN·m =24.92 kN·m
　　  MGC=（20.64+78.87） kN·m =62.65 kN·m
　　 MGC=（20.64+78.87）kN·m =36.86 kN·m
　　 MLG= MLM+ MLJ =11.88 kN·m +51.69 kN·m =63.57 kN·m
第一层
　　 MBF= MBC+ MBA =57.29 kN·m +99.47 kN·m =156.8 kN·m
　　 MFB=（136.0+78.87）kN·m =143.2 kN·m
　　 MFJ=（136.0+78.87）kN·m =71.62 kN·m
　　 MJF= MJL+ MJI =42.29 kN·m +95.41 kN·m =137.7 kN·m 　　
5）绘各横梁与柱的弯矩图（单位：kN·m）　　
　　如下图所示