模块复习课第三课市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件.pptx

第三课,柯西不等式、,排序不等式与数学归纳法,第1页,【网络体系】,第2页,【关键速填】,1.二维形式柯西,不等式,(1)二维形式柯西不等式:_,_.,若a,b,c,d都是实数,则,(a,2,+b,2,)(c,2,+d,2,)(ac+bd),2,第3页,(2)柯西不等式向量形式:_,_.当且仅当 是零向量,或存,在实数k,使 =k 时,等号成立.,设 是两个向量,则,|,|,第4页,(3)二维形式三角不等式:设x,1,y,1,x,2,y,2,R,那么,_,第5页,2.普通形式柯西不等式,设a,1,a,2,a,3,a,n,b,1,b,2,b,3,b,n,是实数,则,_.,当且仅当b,i,=0(i1,2,n)或存在一个数k,使得a,i,=kb,i,(i=1,2,n)时,等号成立.,(a,1,2,+a,2,2,+a,n,2,)(b,1,2,+b,2,2,+b,n,2,)(a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,),2,第6页,3.排序不等式,设a,1,a,2,a,n,b,1,b,2,b,n,为两组实数,c,1,c,2,c,n,是b,1,b,2,b,n,任一排列,则,a,1,b,n,+a,2,b,n-1,+a,n,b,1,_,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,.,a,1,c,1,+a,2,c,2,+a,n,c,n,第7页,4.数学归纳法,普通地,当要证实一个命题对于大于某正整数n,0,全部正整数n都成立时,能够用以下两个步骤:,(1)证实当,_时,命题成立.,(2)假设当n=k(kN,+,且kn,0,)时,命题成立.证实,_时,命题也成立.,n=n,0,n=k+1,第8页,【易错警示】,关注数学归纳法应用时常出现三个错误,(1)对假设设而不用.,(2)机械套用数学归纳法中两个步骤致误.,(3)没有搞清从k到k+1跨度.,第9页,1-.,类型一,利用柯西不等式证实不等式,【典例1】,若n是大于2正整数,求证:,第10页,【证实】,1-,所以求证式等价于 n,2,于是,=,=.,第12页,1-.,又由柯西不等式,有,所以,第13页,【方法技巧】,利用柯西不等式证题技巧,(1)柯西不等式普通形式为(a,1,2,+a,2,2,+a,n,2,)(b,1,2,+,b,2,2,+b,n,2,)(a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,),2,(a,i,b,i,R,i=1,2,n),形式简练、美观、对称性强,灵活地利用柯西不等式,能够使一些较为困难不等式证实问题迎刃而解.,第14页,(2)利用柯西不等式证实其它不等式关键是结构两组数,并向着柯西不等式形式进行转化,利用时要注意体会.,第15页,【变式训练】,1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:,第16页,【解题指南】,利用柯西不等式向量形式,目标式左,边应是两个向量数量积.因为变量a,b,c系数都相,等,由整体性可结构向量,m,=(),n,=(1,1,1),利用|,m,n,|,m,|,n,|可得证.,第17页,【证实】,令,m,=(),n,=(1,1,1),则,m,n,=,而|,m,|=,又|,n,|=,由|,m,n,|,m,|,n,|,得,所以,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.,第18页,2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.,(1)求证:,(2)求 最小值.,第19页,【解析】,(1)依据柯西不等式,得(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y),(5x+4y+3z),2,因为5x+4y+3z=10,所以,第20页,(2)依据基本不等式,得,当且仅当x,2,=y,2,+z,2,时,等号成立.,依据柯西不等式,得(x,2,+y,2,+z,2,)(5,2,+4,2,+3,2,)(5x+4y+3z),2,=100,即x,2,+y,2,+z,2,2,当且仅当 时,等号成立.,综上,23,2,=18.,第21页,类型二,利用排序不等式证实不等式,【典例2】,设A,B,C表示ABC三个内角弧度,数,a,b,c表示其对边,求证:,第22页,【证实】,方法一:不妨设ABC,则有abc,由排序原理:次序和乱序和,所以aA+bB+cCaB+bC+cA,aA+bB+cCaC+bA+cB,aA+bB+cC=aA+bB+cC,第23页,上述三式相加得,3(aA+bB+cC)(A+B+C)(a+b+c)=(a+b+c),所以,第24页,方法二:不妨设ABC,则有abc,由排序不等式,即aA+bB+cC (a+b+c),所以,第25页,【延伸探究】,在本例条件下,你能证实,吗?,第26页,【证实】,能.由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有,0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B),+c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)-,2(aA+bB+cC).,得,第27页,【方法技巧】,利用排序不等式证实不等式策略,(1)在利用排序不等式证实不等式时,首先考虑结构出两个适当有序数组,并能依据需要进行恰当地组合.这需要结合题目标已知条件及待证不等式结构特点进行合理选择.,第28页,(2)依据排序不等式特点,与多变量间大小次序相关不等式问题,利用排序不等式处理往往很简捷.,第29页,【变式训练】,若a,1,a,2,a,n,而b,1,b,2,b,n,或a,1,a,2,a,n,而b,1,b,2,b,n,证实:,当且仅当a,1,=a,2,=a,n,或b,1,=b,2,=b,n,时,等号成立.,第30页,【证实】,不妨设a,1,a,2,a,n,b,1,b,2,b,n,.,则由排序原理得:,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,a,1,b,1,+a,2b,2,+a,n,b,n,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,a,1,b,2,+a,2,b,3,+a,n,b,1,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,a,1,b,3,+a,2,b,4,+a,n-1,b,1,+a,n,b,2,第31页,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,a,1,b,n,+a,2,b,1,+a,n,b,n-1,.,将上述n个式子相加,得:n(a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,n,b,n,),(a,1,+a,2,+a,n,)(b,1,+b,2,+b,n,),上式两边除以n,2,得,等号当且仅当a,1,=a,2,=a,n,或b,1,=b,2,=b,n,时成立.,第32页,类型三,利用柯西不等式和排序不等式求最值,【典例3】,(1)已知实数x,y,z满足x,2,+2y,2,+3z,2,=3,求,u=x+2y+3z最小值和最大值.,(2)设a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,是互不相同正整数,求M=,a,1,+最小值.,第33页,【解析】,(1)因为(x+2y+3z),2,=(x1+y +z ),2,x,2,+(y),2,+(z),2,1,2,+(),2,+(),2,=(x,2,+2y,2,+3z,2,)(1+2+3)=18.,第34页,当且仅当 ,即x=y=z时,等号成立.,所以-3 x+2y+3z3 ,即u最小值为-3 ,最大值为3 .,第35页,(2)设b,1,b,2,b,3,b,4,b,5,是a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,一个排列,且b,1,b,2,b,3,b,4,0,第62页,于是有 成立.,所以当n=k+1时,原不等式也成立.,由(1),(2)可知,当nN,+,时,原不等式都成立.,第63页,