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雅可比多项式

雅可比多项式,也被称为超几何多项式,发生在研究旋转组和解决运动方程的对称。他们的解决方案雅可比方程,并给其他一些特殊命名多项式作为特殊情况。实现它们Wolfram语言作为JacobiP[n,a、b z]。
为 ,减少到一个勒让德多项式。的盖根堡多项式

(1)
和第一类切比雪夫多项式也可以被视为雅可比多项式的特殊情况。
堵塞

(2)
到雅可比方程给出了递归关系

(3)
为,1,…,在那里

(4)
解决递归关系给了

(5)
为。它们形成一个完整的正交系统的时间间隔对权重函数

(6)
规范化的根据

(7)
在哪里是一个二项式系数。雅可比多项式也可以写

(8)
在哪里是γ函数和

(9)
雅可比多项式是正交多项式并满足

(10)
的系数这个词的在是由

(11)
他们满足递归关系

(12)
在哪里是一个Pochhammer象征

(13)
的导数是由

(14)
的正交多项式与权重函数在闭区间可以表达形式

(15)
(Szego 1975,p . 58)。
特殊情况,是

(16)

(17)

(18)

(19)
进一步的身份

(20)

(21)

(22)
(Szego 1975,p . 1975)。
的内核多项式是

(23)
(Szego 1975,p . 1975)。
的多项式判别是

(24)
(Szego 1975,p . 1975)。
的超几何函数,

(25)

(26)

(27)
在哪里是Pochhammer象征(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 561;Koekoek和Swarttouw 1998)。
让0的数量 ,0的数量,0的数量。定义克莱因的象征

(28)
在哪里是层功能,

(29)

(30)

(31)
如果情况下 , , ..., , , , ...,, , , ...,被排除在外,那么0的数量在相应的时间间隔

(32)

(33)

(34)
(Szego 1975,页144 - 146),在那里再次的层功能.
最初的几多项式是

(35)

(36)

(37)
(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 793)。
阿布拉莫维茨和Stegun(1972年,页782 - 793)和Szego(1975年,Ch。4)额外的身份。
盖根堡多项式

Gegenbauer多项式的解决方案是Gegenbauer微分方程为整数。他们是相关联的概括勒让德多项式来- d空间,是成正比的(或者根据正常化,等于)特种球多项式 .
Szego之后,在这个工作中,Gegenbauer多项式给出的雅可比多项式与通过

(1)
(Szego 1975,p . 80),从而使它们相当于Gegenbauer多项式的实现Wolfram语言作为GegenbauerC(n,λ,x)。这些多项式给出的生成函数

(2)
最初几个Gegenbauer多项式

(3)

(4)

(5)

(6)
的超几何函数,

(7)

(8)

(9)
他们规范化

(10)
为 .
导数的身份包括

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)
(Szego 1975,页80 - 83)。
一个递归关系是

(19)
为3 ....
特殊的双-公式也存在

(20)

(21)

(22)

(23)
Koschmieder(1920)表示的椭圆函数为和 .
参见:
Gegenbauer微分方程
的二阶常微分方程

(1)
有时也被称为超球面的微分方程(Iyanaga Kawada 1980,p . 1480;Zwillinger 1997,p . 123)。这个方程的解

(2)
在哪里是一个有关第一类勒让德函数和是一个有关勒让德函数的第二种.
许多其他形式的方程有时也被称为特种球或Gegenbauer微分方程,包括

(3)
这个方程的通用解决方案

(4)
如果是一个整数,那么其中的一个解决方案被称为Gegenbauer多项式多项式,也被称为特种球。
表单

(5)
也由Infeld和船体(1951年,页21 - 1951)和Zwillinger(1997,第122页)。它的解决方案

(6)
参见:
勒让德多项式

勒让德多项式,有时被称为第一类勒让德函数,勒让德系数,或带函数(惠塔克和沃森1990,p . 302),解决方案勒让德微分方程。如果是一个整数,他们是多项式。的勒让德多项式说明上面和,2,…5。实现它们Wolfram语言作为LegendreP[n x]。
的相关的勒让德多项式和解决方案是勒让德微分方程相关联,在那里是一个正整数和 , ..., .
的勒让德多项式可以定义的围道积分

(1)
轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。
最初几个勒让德多项式

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)
当下令从最小到最大的权力和分母提出,三角形的非零系数是1,1,3,5个3,……(OEISA008316)。领先的分母是1,1、2、2、8、8,16日,16日,128年,128年,256年,256年……(OEISA060818).
最初的几权力的勒让德多项式

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)
(OEISA008317和A001790)。这些是由一个封闭的形式

(15)
(r . Schmied珀耳斯。通讯,2005年2月27日)。勒让德多项式和权力指数12,看到阿布拉莫维茨和Stegun(1972,第798页)。
的勒让德多项式也可以生成使用吗gram - schmidt正规化在开区间与权重函数1。

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)
正常化,给预期的勒让德多项式。
“转移”的勒让德多项式是一组函数类似于勒让德多项式,但定义在区间(0,1)。他们遵守正交性的关系

(23)
前几个是

(24)

(25)

(26)

(27)
勒让德多项式的正交在与权重函数1,满足

(28)
在哪里是克罗内克符号.
勒让德多项式的一个特例Gegenbauer多项式与的一个���例雅可比多项式与,可以写成超几何函数用墨菲的公式

(29)
(贝利1933;1933年,p . 101;Koekoek和Swarttouw 1998)。
的罗德里格斯表示提供的公式

(30)
的收益率在扩张

(31)

(32)
在哪里是层功能。额外的求和公式包括

(33)

(34)
Koepf 1998年,p . 1)。的超几何函数,这些可以写

(35)

(36)

(37)
(Koepf 1998,p。3)。
一个生成函数为是由

(38)
取 ,

(39)
用(39) ,

(40)
并添加(38)和(40),

(41)
这种扩张是有用的一些物理问题,包括扩大Heyney-Greenstein相函数和计算上的电荷分布球。另一个生成函数是由

(42)
在哪里是一个零阶第一类贝塞尔函数(Koepf 1998年,p . 2)。
勒让德多项式满足递归关系

(43)
(Koepf 1998年,p . 2)。此外,

(44)
(纠正希尔德布兰德1956,p . 324)。
一个复杂的生成函数是

(45)
和Schlafli积分

(46)
积分区间的包括一般公式

(47)
为(拜尔利1959,p . 1959)的特殊情况

(48)

(49)
(OEISA002596和A046161;拜尔利1959,p . 172)。勒让德函数的乘积的积分,

(50)
为(拜尔利1959,p . 1959),使特殊情况

(51)
在哪里

(52)
(OEISA078297和A078298;拜尔利1959,p . 172)。后者的一个特例

(53)
在哪里

(54)
和是一个γ函数(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p。2000年,eqn。7.113.1)
积分了与权重函数和是由

(55)

(56)
(Arfken 1985,p . 1985)。
的拉普拉斯变换是由

(57)
在哪里是一个修改后的第一类贝塞尔函数.
一笔是由身份

(58)
在哪里是th的根源(Szego 1975,p . 1975)。类似的身份

(59)
负责这一事实权重的总和Legendre-Gauss交总是等于2。
权重函数

一个函数用于规范化正交函数

Legendre-Gauss交

Legendre-Gauss正交数值积分方法也被称为““高斯求积和勒让德正交。一个高斯求积在时间间隔与权重函数。的横坐标交订单由的根源吗勒让德多项式发生对称约0。重量是

(1)

(2)
在哪里是系数的在。为勒让德多项式,

(3)
(希尔德布兰德1956,p . 1956)

(4)

(5)
此外,

(6)

(7)
(希尔德布兰德1956,p . 1956)

(8)

(9)
使用递归关系

(10)

(11)
(纠正希尔德布兰德1956,p . 324)

(12)

(13)
(希尔德布兰德1956,p . 1956)。
权重满足

(14)
它遵循的身份

(15)
误差项是

(16)
拜尔(1987)给出了表横坐标和重量,钱德拉塞卡(1960)为甚至.

2

1.000000
3
0
0.888889

0.555556
4

0.652145

0.347855
5
0
0.568889

0.478629

0.236927
确切的横坐标下表中给出。

2

1
3
0

4

5
0

横坐标为顺序正交的根源勒让德多项式1,这意味着他们是代数的度,2,2,4,4、6、6、8、8、10、10、12,……,等于为(OEISA052928).
同样的,订单的重量交可以表示为多项式的根的程度1,1,1,2,2,3,3,4,4、5、5、…,等于为(OEISA008619)。三角多项式的根确定权重

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)
(OEISA112734).

高斯求积
寻求获得最佳数值积分通过选择最优的估计横坐标的评价函数。的高斯求积的基本定理指出最优横坐标的分高斯求积公式正是正交的根源吗多项式相同的时间间隔权重函数。高斯求积是最优的,因为它适合所有多项式到学位完全正确。略小于最佳适合了Radau交和用正交.

时间间隔
是根
1

高斯函数来确定相应的权重横坐标计算一个拉格朗日插值多项式为通过让

(1)
(钱德拉塞卡1967使用而不是),所以

(2)
然后安装一个拉格朗日插值多项式通过点给

(3)
任意点。因此我们找点集和权重这样对一个权重函数 ,

(4)

(5)
与重量

(6)
权重有时也被称为克里斯托费尔数字(钱德拉塞卡1967)。为正交多���式与 , ..., ,

(7)
(希尔德布兰德1956,p . 322)是系数的在,然后

(8)

(9)
在哪里

(10)
使用的关系

(11)
(希尔德布兰德1956,p . 323)

(12)
(注意,出版社等。1992年忽略的因素)。在高斯求积,重量都是积极的。错误是由

(13)

(14)
在哪里(希尔德布兰德1956,页320 - 321)。
其他好奇的身份

(15)
和

(16)

(17)
(希尔德布兰德1956,p . 1956)。
在符号Szego(1975),让是一个有序的点集,让 , ...,是一组实数。如果上的任意函数吗闭区间,写高斯求积

(18)
在这里是横坐标和是柯特斯数字.
柯特斯数量
这些数字在高斯求积公式

参见:
带谐函数
带谐函数是一个球面谐波的形式,即,减少到一个勒让德多项式(惠塔克和沃森1990,p . 302)。这些谐波曲线在一个称为“带状”单位球(与中心在原点)消失是纬度线表面划分为区(维特克和沃森1990,p . 392)。
解决在线性因素,乘以当是奇怪的,然后替换通过允许带谐函数被表示为一个线性因素的产物 ,,,产品乘以当是奇怪的(惠塔克和沃森1990,p . 1990)。
参见:
内核多项式

这个函数

这是研究的许多有用吗多项式.
Hurwitz zeta function赫维茨ζ函数
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, the Hurwitz zeta function, named after Adolf Hurwitz, is one of the many zeta functions. It is formally defined for complexarguments s with Re(s) > 1 and q with Re(q) > 0 by

This series is absolutely convergent for the given values of s and q and can be extended to a meromorphic function defined for all s≠1. TheRiemann zeta function is ζ(s,1).

Hurwitz zeta function corresponding to q=1/3. It is generated as a Matplotlib plot using a version of the Domain coloringmethod. [1]
Contents
  [hide] 
· 1Analytic continuation
· 2Series representation
· 3Integral representation
· 4Hurwitz's formula
· 5Functional equation
· 6Taylor series
· 7Laurent series
· 8Fourier transform
· 9Relation to Bernoulli polynomials
· 10Relation to Jacobi theta function
· 11Relation to Dirichlet L-functions
· 12Zeros
· 13Rational values
· 14Applications
· 15Special cases and generalizations
· 16Notes
· 17References
· 18External links
Analytic continuation[edit]

Hurwitz zeta function corresponding to q=24/25.
If  the Hurwitz zeta function can be defined by the equation

where the contour  is a loop around the negative real axis. This provides an analytic continuation of .
The Hurwitz zeta function can be extended by analytic continuation to a meromorphic function defined for all complex numbers  with . At  it has a simple pole with residue . The constant term is given by

where  is the Gamma function and  is the digamma function.
Series representation[edit]

Hurwitz zeta function as a function of q. z=3+4i.
A convergent Newton series representation defined for (real) q > 0 and any complex s ≠ 1 was given by Helmut Hasse in 1930:[2]

This series converges uniformly on compact subsets of the s-plane to an entire function. The inner sum may be understood to be the nth forward difference of ; that is,

where Δ is the forward difference operator. Thus, one may write

Integral representation[edit]
The function has an integral representation in terms of the Mellin transform as

for  and 
Hurwitz's formula[edit]
Hurwitz's formula is the theorem that

where

is a representation of the zeta that is valid for  and s > 1. Here,  is the polylogarithm.
Functional equation[edit]
The functional equation relates values of the zeta on the left- and right-hand sides of the complex plane. For integers ,

holds for all values of s.
Taylor series[edit]
The derivative of the zeta in the second argument is a shift:

Thus, the Taylor series has the distinctly umbral form:

Alternatively,

with .[3]
Closely related is the Stark–Keiper formula:

which holds for integer N and arbitrary s. See also Faulhaber's formula for a similar relation on finite sums of powers of integers.
Laurent series[edit]
The Laurent series expansion can be used to define Stieltjes constants that occur in the series

Specifically  and .
Fourier transform[edit]
The discrete Fourier transform of the Hurwitz zeta function with respect to the order s is the Legendre chi function.
Relation to Bernoulli polynomials[edit]
The function  defined above generalizes the Bernoulli polynomials:

where  denotes the real part of z. Alternately,

In particular, the relation holds for  and one has

Relation to Jacobi theta function[edit]
If  is the Jacobi theta function, then

holds for  and z complex, but not an integer. For z=n an integer, this simplifies to

where ζ here is the Riemann zeta function. Note that this latter form is the functional equation for the Riemann zeta function, as originally given by Riemann. The distinction based on z being an integer or not accounts for the fact that the Jacobi theta function converges to the Dirac delta function in z as .
Relation to Dirichlet L-functions[edit]
At rational arguments the Hurwitz zeta function may be expressed as a linear combination of Dirichlet L-functions and vice versa: The Hurwitz zeta function coincides with Riemann's zeta function ζ(s) when q = 1, when q = 1/2 it is equal to (2s−1)ζ(s),[4] and if q = n/k with k > 2, (n,k) > 1 and 0 < n < k, then[5]

the sum running over all Dirichlet characters mod k. In the opposite direction we have the linear combination[4]

There is also the multiplication theorem

of which a useful generalization is the distribution relation[6]

(This last form is valid whenever q a natural number and 1 − qa is not.)
Zeros[edit]
If q=1 the Hurwitz zeta function reduces to the Riemann zeta function itself; if q=1/2 it reduces to the Riemann zeta function multiplied by a simple function of the complex argument s (vide supra), leading in each case to the difficult study of the zeros of Riemann's zeta function. In particular, there will be no zeros with real part greater than or equal to 1. However, if 0was proved by Davenport and Heilbronn for rational and non-algebraic irrational q,[7] and by Cassels for algebraic irrational q.[4][8]
Rational values[edit]
The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values.[9] In particular, values in terms of the Euler polynomials :

and

One also has

which holds for . Here, the  and  are defined by means of the Legendre chi function  as

and

For integer values of ν, these may be expressed in terms of the Euler polynomials. These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above.
Applications[edit]
Hurwitz's zeta function occurs in a variety of disciplines. Most commonly, it occurs in number theory, where its theory is the deepest and most developed. However, it also occurs in the study of fractals and dynamical systems. In applied statistics, it occurs in Zipf's law and the Zipf–Mandelbrot law. In particle physics, it occurs in a formula by Julian Schwinger,[10] giving an exact result for the pair production rate of a Diracelectron in a uniform electric field.
Special cases and generalizations[edit]
The Hurwitz zeta function with a positive integer m is related to the polygamma function:

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:[11]

The Barnes zeta function generalizes the Hurwitz zeta function.
The Lerch transcendent generalizes the Hurwitz zeta:

and thus

Hypergeometric function
 where 
Meijer G-function

Notes[edit]
1. Jump up^