高斯积分点以及有限元中应用名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,高斯积分法,第1页,高斯积分法,在计算空间等参数单元载荷列阵及刚度矩阵时，需用到以下形式定积分：,其中被积分函数,f(,，,),普通是很复杂，即使能够得出它显式，其积分也是很繁。所以，普通用数值积分来代替函数定积分。,第2页,高斯积分法,数值积分：,在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数,f(,，,),在这些积分点处值，然后再乘以对应加权系数并求和，作为近似积分值。,数值积分方法,有各种，其中高斯积分法能够用相同积分点数到达较高精度，或者说用较少积分数到达一样精度。,第3页,高斯积分法,一、一维积分高斯公式,其中,f(i),是被积函数在积分点,i,处数值，,Hi,为加数系数，,n,为积分点数目。,对于,n,个积分点，只要选取适当加数系数及积分点位置，能够使式在被积分函数为不超出,(2n-1),次多项式时准确成立。,因为多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。,第4页,高斯积分法,比如，,n=1,时,不论,f(),次数是,0,还是,1只需取,H,=2,，,1,，上式均是准确成立。因为,第5页,高斯积分法,当,n=2,时，能确保式子准确成立所允许多项式最高次数是,3,，此时，,f(),通式为,其准确积分为,数值积分为,第6页,高斯积分法,为了在,C0,C3,取任意值,(,包含取零值在内,),时公式,(f),是准确，显然应有,所以，应取,，,，,第7页,高斯积分法,n,个插值结点非等距分布,结点和积分权系数能够查表,第8页,高斯积分法,二维积分高斯公式,以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维重积分,数值时，能够先对,、,进行积分，,或改写成,这就是二维高斯积分公式,。,第9页,高斯积分法,三维积分高斯公式,一样，能够求得三维高斯积分公式：,中,n,，,m,，,l,是分别关于变量,，,，,积分点数目。,各个维数上积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出现最高次数分别决定，普通并不要求相同。但为应用方便，经常在各个方向取相同积分数，即统一为最高值,第10页,高斯积分法,由前面推导可见，当在每个方向取,n,个积分点时，只要多项式被积函数中自变量次数,m2n-1,，则用高斯求积公式求得积分值是完全准确。,反过来，对于,m,次多项式被积函数，为了积分值完全准确，积分点数目必须取。,第11页,高斯积分法,高斯积分方法预先定义了积分点和对应加权系数，求出被积分函数在指定积分点上数值，加权后求和，就得到了该函数积分。,高斯积分方法含有最高计算精度。采取,n,个积分点高斯积分能够到达,2n-1,阶精度，也就是说，假如被积分函数是,2n-1,次多项式，用,n,个积分点高斯积分能够得到准确积分结果。,第12页,积分阶次选择直接影响计算精度和计算工作量。,积分阶次选择必须确保积分精度。（完全准确积分）,很多情况下，实际选取高斯积分点数低于准确积分要求，往往能够取得较完全准确积分更加好精度。（减缩积分,）,第13页,线性单元,完全准确积分,二次单元,减缩积分,第14页,有限元分析主要步骤,我们知道，经过单元方程组装以后，结构静力学有限元方程以下,F=KU,其中，,F-,节点载荷向量；,K-,总体刚度矩阵；,U-节点位移向量,在引入边界条件以后，解上述方程组，就能够得到节点位移向量,U.,这是求解结构静力学方程组所得到第一组解，它是最准确。,得到节点位移解后，下面是求取应变解和应力解。与位移解不一样，它们并不是直接在节点上取得，而是首先在积分点上取得。,第15页,有限元分析主要步骤,所谓积分点是指，在对单元建立方程时，比如刚度矩阵是需要经过积分而得到，而积分时为了能够方便计算，大多数有限元软件采取了所谓高斯积分方式，即在单元内分布一些高斯点,这么，有限元软件会首先取得这些高斯点应力和应变，其方法以下：,在高斯积分点上，依据几何方程,:,=BU,计算出高斯积分点上应变,:,然后基于虎克定律及几何方程推导结果来计算高斯积分点应力。,:,=DBU,第16页,有限元分析主要步骤,可见，在应变和应力计算方面，高斯积分点应变和应力是最最准确。,利用特定单元形函数以及高斯点应力，应变值，将这些值外推到该单元节点上，就得到了单元上节点应力应变值。,显然，不一样单元会共用一些节点，而从不一样单元内积分点外推到这些公共节点应变值和应力值普通不相同,将一个公共节点多个应力进行平均，以代表该节点应力值。,第17页,有限元分析主要步骤,总之，求解节点应力步骤是：,（,1,）依据总体方程，得到节点位移解。,（,2,）依据几何方程，得到单元高斯点应变解。,（,3,）依据物理方程，得到单元高斯点应力解。,（,4,）在某一个单元内，基于形函数，将高斯点应力外 推到该单元全部节点。,（,5,）对于某一个公共节点，将该节点关联全部单元所推出该节点应力解进行平均，最终得到该节点应力解。,第18页,积分点与节点关系,我们需要对应变在单元内面积上进行积分时，因为节点应力、位移显然与,x,y,无关，我们只需要考虑对形函数积分。,采取,Gauss-Legendre,多项式计算积分时，我们只需要计算依据特定积分点值（在自然坐标系下是固定，能够查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就能够。这就把复杂积分问题变成了简单代数问题。因为形函数只有单元相关，所以积分点也只与单元形状相关。,应力普通采取多个积分点相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了降低误差。因为在积分点应力比节点含有更高阶误差。,第19页,