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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,曲边梯形面积：,平面图形面积：,一、平面图形面积,2.定积分在几何上应用,1.直角坐标系情形,1/69,解,两曲线交点,面积元素,选 为积分变量,2/69,解,两曲线交点,选 为积分变量,3/69,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数形式(大于零）,问题：,积分变量只能选 吗？,4/69,解,两曲线交点,（2）选,y,为积分变量,(1)取,x,为积分变量,5/69,解,椭圆参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,6/69,假如曲边梯形曲边,y,=,f,(,x,)(0)由参数方程：,给出，曲边梯形面积,7/69,(,),d,A,d,o,+d,r,=,(,),元素法,1 取极角,为积分变量，,其改变区间为,以圆扇形面积近似小,曲边扇形面积，得到,面积元素：,曲边扇形面积,A,3 作定积分,r,2.极坐标系情形,曲边扇形面积,8/69,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,9/69,解,利用对称性知,10/69,.,.,.,.,例7,1,0,x,y,联立后得交点坐标,.,.,.,S,=2,.,11/69,旋转体,就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥圆台,二、体积,1.旋转体体积,12/69,x,y,o,旋转体体积为,切片法公式,13/69,解,直线 方程为,14/69,解,15/69,变量代换！,16/69,y,y,+,dy,切片法公式,17/69,解,18/69,19/69,a,b,f,(,x,),y,x,0,求旋转体体积,柱壳法,曲边梯形,y=f,(,x,),，,x=a,x=b,y=,0,绕,y,轴旋转.,x,d,x,20/69,x,a,b,y,x,0,内表面积,d,x,求旋转体体积,柱壳法,曲边梯形,y=f,(,x,),，,x=a,x=b,y=,0,绕,y,轴旋转.,d,V,=,f,(,x,),柱壳法公式,21/69,利用这个公式，可知上例中,柱壳法公式,22/69,解法一,(切片法),体积元素为,取,x,为积分变量,解法二,(柱壳法),23/69,x,A,(,x,),d,V=A,(,x,)d,x,x,已知平行截面面积为,A,(,x,)立体,a,V,2,.平行截面面积为已知立体体积,b,24/69,半径为,R,正圆柱体被经过其底直径并与底面成,角,平面所截，,得一圆柱楔。求其体积。,R,o,x,y,例5,25/69,o,y,R,x,R,R,.,半径为,R,正圆柱体被经过其底直径并与底面成,角,平面所截，,得一圆柱楔。求其体积。,例5,26/69,o,y,R,x,x,y,R,R,y,tan,问题：,还有别方法吗？,(,x,y,),截面积,A,(,x,),半径为,R,正圆柱体被经过其底直径并与底面成,角,平面所截，,得一圆柱楔。求其体积。,.,例5,27/69,o,y,R,x,R,R,方法2,.,半径为,R,正圆柱体被经过其底直径并与底面成,角,平面所截，,得一圆柱楔。求其体积。,例5,28/69,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S,(,y,),(,x,y,),=,2,x,=,y,tan,.,S,(,y,),.,半径为,R,正圆柱体被经过其底直径并与底面成,角,平面所截，,得一圆柱楔。求其体积。,例5,29/69,h,R,x,o,y,R,求以半径为,R,圆为底，平行且等于底圆直径线段为顶，,高为,h,正劈锥体体积。,例6,30/69,h,R,x,o,x,A,(,x,),A,(,x,),V,=,.,R,y,.,求以半径为,R,圆为底，平行且等于底圆直径线段为顶，,高为,h,正劈锥体体积。,y,例6,31/69,三、平面曲线弧长,1.平面曲线弧长概念,折线长:,并称弧,AB,是可求长.,32/69,弧长元素,弧长,2.直角坐标情形,定理,光滑曲线弧是可求长.,33/69,解,所求弧长为,34/69,解,35/69,曲线弧为,弧长,3.参数方程情形,36/69,解,星形线参数方程为,依据对称性,第一象限部分弧长,37/69,证,38/69,依据椭圆对称性知,故原结论成立.,39/69,曲线弧为,弧长,4.极坐标情形,40/69,解,41/69,解,42/69,解,(1)直角坐标,x,y,O,a,43/69,x,y,O,a,(2)参数方程,t,(3)极坐标,44/69,四,*,、旋转体侧面积,x,y,o,45/69,例,8 求半径为,R,球表面积.,x,y,O,R,解,46/69,（注意恰当,选择积分变量,有利于简化积分运算）,小 结,1.,平面图形面积,在直角坐标系下,参数方程形式下,极坐标系下,47/69,(1)旋转体体积,(2)平行截面面积为已知立体体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕平行于坐标轴直线旋转一周,2.体积,48/69,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,3.平面曲线弧长,49/69,思索题,50/69,思索题解答,x,y,o,两边同时对 求导,51/69,积分得,所以所求曲线为,52/69,思索题,53/69,思索题解答,交点,立体体积,54/69,思索题,55/69,思索题解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须确保曲线光滑才可求长,56/69,0,x,y,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲线在极点自己相交，与此对应角度为,=,.,.,.,.,.,距离之积为,a,2,点轨迹,直角系方程,双,纽,线,57/69,练 习 题,58/69,59/69,60/69,练习题答案,61/69,练 习 题,62/69,63/69,64/69,练习题答案,65/69,练 习 题,66/69,67/69,练习题答案,68/69,作业,P285:,4、8、10、16、20、23、26、28、30,69/69,