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2014-2015随机过程参考题
一.判断题
1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ）
2．对于独立的随机变量，都有． （ ）
3．若是随机向量的联合分布函数，则它对每个变量都是单调不减的． （ ）
4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ）
5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ）
6．参数为的泊松过程第次与第次事件发生的时间间隔服从参数为和的分布． （ ）
7．复合过程一定是计数过程． （ ）
8．若随机变量服从周期为的格点分布，则对自然数总有．（ ）
9．设是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ）
10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ）
11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ）
12．对独立的随机变量，都有． （ ）
13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 （ ）
14．若一个随机过程的协方差函数只与时间差有关，则它一定是宽平稳过程． （ ）
15．参数为的泊松过程中，第次事件发生的时刻服从参数为的指数分布．（ ）
16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ）
17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ）
18．更新过程的更新函数是的单调不增函数． （ ）
19．马尔科夫链具有无后效性． （ ）
20．过程是更新过程． （ ）
具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 （ ）
21．若一个随机过程是宽平稳的，则它一定是严平稳的。 （ ）
22．参数为的泊松过程中，两次事件发生的等待时间服从参数为的指数分布。 （ ）
23．泊松过程具有独立增量性，但不一定有平稳增量性。 （ ）
24．随机变量服从周期为的格点分布，但不是所有的的整数倍处都能取到。（ ）
25．更新过程的更新函数是的单调不增函数 。 （ ）
26．设是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的常返性一样。 （ ）
二填空题.
1． 设是一列独立同分布的随机变量，为一个非负整值随机变量，且与序列独立，则 ．
2．设，其中和是相互独立的且均服从标准正态分布的随机变量，则随机过程的协方差函数 ．
3．设为一平稳过程，均值为，如果，则称该随机过程 ．
4．设是参数为的泊松过程，则服从均值为_______的泊松分布．
5．设是参数为的泊松过程，则对，当时，有_____________．
6．设是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为，则由其所定义更新过程的更新函数_________________（分布函数表示）．
7．设是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，是由该随机变量序列所定义的更新过程，则第次更新发生时刻的期望_________．
8．设为离散时间的马氏链，则对，有____________________．
9．设为离散时间的时齐马氏链，状态空间为，则状态到的步转移概率____________________（C-K方程）．
10．状态为常返的当且仅当 ；状态为非常返状态时有 ．
11.设随机变量服从参数为的指数分布，则的期望为 ．
12． ．
13．设，其中和是相互独立且均服从分布的随机变量，则它的均值函数为 ，协方差函数 ．
14．设是参数为的泊松过程，则服从参数为_______的泊松分布．
15.称随机过程为复合泊松过程，如果对于，可表示为：
式中，是一个泊松过程，是一族独立同分布的随机变量，并且与独立。
16．设是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为，则由其所定义更新过程的更新函数_________________________．
17．若是独立同分布的随机变量，设，则
18．随机过程称为马尔科夫链，若它只取有限或可列个值，并且对任意的及任意的状态，____________________．
19．非周期的正常返状态称为__________________．
20．离散时间马氏链中的转移矩阵中，__________________．
21.设为一集合序列，则 ， ．
22.若是可测的，则 .
23．设是平稳序列，其协方差函数为，则的均值具有遍历性的充分必要条件是 ．
24．设是参数为的泊松过程，则 ____ ___．
25．设是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为，则由其所定义更新过程，则 _________________（其中是的重卷积）．
26．设是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，是由该随机变量序列所定义的更新过程，为其更新函数，，则 _________．
27．设马氏链的一步转移概率矩阵，步转移矩阵，二者之间的关系为 ．

三 计算题
1．设顾客以每分钟2人的速率到达商场，这一过程可用泊松过程来描述，进入商场的每位顾客的消费额服从均值为200元的正态分布，求：
（1）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率；
（2）商场一个小时的平均营业额．

2．设某控制器用一节电池供电，电池寿命服从均值为5小时的正态分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间服从期望为0.5小时的均匀分布．求长时间工作时，控制器更换电池的速率．

3．设马氏链的状态空间为，转移概率为，，，.试写出：
（1）画出各状态的概率转移图；
（2）给出各个状态的分类，确定哪些状态是遍历的．
4．设随机变量服从参数为的指数分布，即密度函数为：

试利用矩母函数求它的期望和方差。
5.设，其中是独立同分布的随机变量，服从均值为0，方差为的正态分布，为实数。求过程的均值函数与方差函数，并讨论它的宽平稳性。

6. 设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是（人/分）的泊松过程，试求：
（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；
（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率；
（3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

7.设有一个单服务员银行，顾客到达可看做速率为的泊松分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为的指数分布。顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进来。试求：
（1）顾客进银行的速率；
（2）服务员工作的时间所占营业时间的比例。
8．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率.

9．考虑离散时间的更新过程，在每个时间点独立地做伯努利试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以试验成功作为更新事件，并以记此过程的更新函数，求其更新率 ．

10．设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

11．设马氏链的状态空间为，其一步转移概率矩阵，试写出：
（1）画出各状态的概率转移图；
（2）给出各个状态的分类，确定哪些状态是遍历的．

12. 设是强度为的泊松过程，是一列独立同分布随机变量，且与独立，令，证明：若，则.