西北工业大学2003至2004学年第二学期线性代数考试试题.doc

西北工业大学2003至2004学年第二学期线性代数考试试题

（2004.5）

一、填空题(每空3分)
　　　1 ．已知阶矩阵，，且
　　 的行列式，则_________ ，___________ 。
　　　2 ．已知向量组，空间

　　则的维数为_______ 。
　　　3 ．设阶矩阵，均可逆，则_________ 。
　　　4 ．已知线性方程组的系数矩阵的列向量为，其中
　　 线性无关，且，，则的
　　 通解为____ 。
　　　5 ．设方阵，，若矩阵与相似，则的
　　 值为 _____ 。
　　　6 ．设方阵满足，则______ 。
　　　7 ．设是正定二次型，则应满足的条件为
　　 ___。
　　二、 (10分) 设阶方阵，求矩阵的特征值及矩阵
　　 的行列式。
　　三、 (10分) 设，且矩阵满足，这里为
　　 单位矩阵，求矩阵。
　　四、 (13分) 当满足什么条件时，线性方程组有惟
　　 一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解。
　　五、 (15分) 已知的两组基
(I)， (II)。
　　(1) 求由基(II)到基(I)的过渡矩阵；
　　(2) 如果关于基(I)的坐标为，求关于基(II)的坐标；
　　(3) 求在两个基下有相同坐标的向量。
　　六、(10分)已知向量组

　　则当取何值时与等价 ?
　　七、 (5分) 设矩阵，均为阶方阵，矩阵可逆，且满足 　
　　 ，证明和都是可逆矩阵。
　　八、 (13分) 试求一正交变换，化二次型

　　为标准形。又问是什么二次曲面？
西北工业大学2003-2004学年第二学期线性代数考试试题答案
　　一、 1 ； 2 ； 3 ．； 4 ．(任意)；
　　5 ．； 6 ．； 7 ．。
　　二、 

　　故的特征值为(重)，，。
　　三、，即，

　　故
　　或 

　　四、可求得

　　(1) 当且时，有惟一解 ；
　　(2) 当时，

　　，无解。
　　(3) 当时，

　　，无穷多解。同解方程组为，通解为
即(任意)
　　五、(1) 因为
　　，
　　所以 
　　故由基( II )到基( I )的过渡矩阵为

　　(2) 
　　故在基( II )下的坐标为。
　　(3) 设 ，则有
，即
　　由于 
　　同解方程组为 ，故 。
　　六、由于

　　可见时，可由线性表示。又由

　　即总可由线性表示。
　　故时，与等价。
　　七、由得，取行列式得

　　从而。
　　八、二次型矩阵。可求得

　　所以的特征值为，，。对应的特征向量分别为
， ， 
　　单位化得， ， 
　　故正交变换
　　化二次型为。
　　为单叶双曲面。