高中数学知识要点之(10)定比分点、平移、正余弦定理.doc

要点重温之定比分点、平移、正余弦定理
江苏 郑邦锁
1．若，则称点分有向线段所成的比为λ。注意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当为外分点时λ为负，内分点时λ为正，为中点时λ=1，若起点(x1,y1)，终点(x2,y2)，则分点(x0,y0)的坐标为：x0=,y0=。由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中，若A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），则⊿ABC的重心G（，）。
[举例1]设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，，若，则λ的去值范围是：
A．≤λ≤1 B．1≤λ≤1 C．≤λ≤1+ D．1-≤λ≤1+
解析：思路一：，即P分有向线段所成的比为，由定比分点坐标公式得：P（1-λ，λ）,于是有=（1-λ，λ），=(-1,1),=（λ，-λ），=（λ-1，1-λ），∴λ-1+λ≥λ(λ-1)- λ(1-λ)
2λ2-4λ+1≤01-≤λ≤1+。思路二：记P(x,y)，由得：
(x-1,y)=(-λ, λ)x=1-λ,y=λ即P（1-λ，λ），以下同“思路一”。
思路三：=(-1,1)，=（-λ，λ），=（λ，-λ），==（1-λ，λ），
==（λ-1，1-λ），以下同“思路一”。
[举例2]已知⊿ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。
解析：记G（x,y）,A(x0,y0),由重心公式得：x=,y=,于是有：x0=3x+1,y0=3y，
而A点在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，∴（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化简得：
。
[巩固]已知P是曲线C：y=xn(n∈N﹡)上异于原点的任意一点，过P的切线分别交X轴，Y轴于Q、R两点，且，求n的值。
[迁移]已知是定义在R上的单调函数，实数，
，若，则 （ ）
A． B． C． D．
2.关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量(m,n)平移得到点M‘(x+m,y+n)；曲线C：f(x,y)=0按向量(m,n)平移得到曲线
C/：f(x-m,y-n)=0。函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。[注意]：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。
[举例] 将直线x-by+1=0按向量=（1，-1）平移后与圆x2-4x+y2+3=0相切，则k= 。
解析：思路一：直线：x-by+1=0按向量平移即“向右、向下各平移1个单位”，亦即：x变为x-1，y变为y+1，得直线：x-by-b=0，圆：(x2)2+ y2=1, 直线与圆相切，则有：
得b=。思路二：圆M：(x-2)2+ y2=1按向量-平移（x变成x+1,y变成y-1）后得：圆M/：(x-1)2+(y-1)2=1, 圆M/与直线：x-by+1=0相切，有得b=。
思路三：圆心M（2，0）按向量-平移后得M/（1，1），M/到直线的距离为1。
[巩固1]已知点A（1，2）、B（4，2），向量按=（1，3）平移后所得向量的坐标为（ ）
（A）（3，0） （B）（4，3） （C）（-4，-3） （D）（-4，3）
[巩固2]若把一个函数的图象按=（－，－2）平移后得到函数y=cosx的图象，则原图象的函数解析式为 ： A．y=cos(x+)－2； B．y=cos(x－)－2；
C．y=cos(x+)+2； D．y=cos(x－)+2
[迁移]已知函数f(x)= -sinxcosx+3cos2x-,x∈R
（1） 将f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式（其中A>0,0<<2）
（2） 将y=f(x)的图象按向量平移后，所得到的图象关于原点对称，求使|| 得最小的向量。
3．三角形内的三角函数问题中，既涉及到边又涉及到角时，往往需要进行边角转换，正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具。对a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的齐次式，可以直接用正弦定理转换；而对a、b、c平方的和差形式，常用余弦定理转换。
[举例1] ⊿ABC的三内角的正弦值的比为4：5：6，则三角形的最大角为 。
解析：由正弦定理得：⊿ABC三边的比为4：5：6，不妨设a=4k,b=5k,c=6k,(k>0)
则边c所对的角C为最大角，cosC=,∴C=arccos。
[举例2]在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=6c2,则
的值为
解析：对“切化弦”得：，再由正弦定理得
，再对cosC使用余弦定理得：，将a2+b2=6c2,代入接得原式等于。
[巩固1] 若△ABC三边成等差数列，则B的范围是 ；若△ABC三边成等比数列，则B的范围是 ；
[巩固2]若三角形三边a、b、c满足a2+c2=b2+ac，且a:c=:2，求角C的大小。
[迁移]已知⊿ABC中，sinA(sinB+cocB)=sinC,BC=3,则⊿ABC的周长的取值范围是
。
4．关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。
A
B
C
P
O
[举例] △ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=1200，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：
解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC
∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC
的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：
BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7
得：PO=7。
[巩固]已知⊙O的半径为R，若它的内接△ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,求（1）∠C的大小；（2）△ABC的面积的最大值。
[迁移]直线：过点，若可行域的外接圆直径为，则实数的值是______________
5．正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。
[举例1]已知⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则的最大值为：
A.2 B. C. 2 D.4
B
C
A
D

解析：=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA= ①
而条件中的“高”容易联想到面积，
即 ②，将②代入①得：

∴=2（cosA+sinA）=2sin(A+)，当A=时取得最大值2，故选A。
[举例2] 如图，已知A、B、C是一条直路上的三点，
AB与BC各等于1千米，从三点分别遥望塔M，在
A处看见塔在北偏东450方向，在B处看见塔在正
东方向，在C处看见塔在南偏东600方向，求塔到
直路ABC的最短距离。
解析：已知AB=BC=1，∠AMB=450，∠CMB=300，∴∠CMA=750
易见⊿MBC与⊿MBA面积相等，∴AM450= CM300
即CM= AM，记AM=，则CM=，在⊿MAC中，AC=2，由余弦定理得：
4=32-22cos750，∴2=,记M到AC的距离为，则2sin750=2
得=，∴塔到直路ABC的最短距离为。
[巩固1] 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周长上任意一点，以AB为边作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.
[巩固2] 一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发现在其正东方向20的海面B处有一艘走私船正以的速度向北偏东300的方向逃窜，缉私艇以的速度沿 的方向追击，才能最快截获走私船？若=40，则追击时间至少为 分钟。

简答
1、[巩固]3；[迁移]A；2、，[巩固1] A，[巩固2] “倒行逆施”：函数y=cosx的图象按-=（，2）平移，选D ；[迁移]（1），（2）
3．[巩固1] （0，（0，；[巩固2]450；[迁移]先求A=，再用正弦定理求出：b+c=
6sin(B+)∈,于是a+b+c∈(6,9,也可以用余弦定理；4、[巩固] （1）450，（2）；[迁移]3或5；
5、[巩固1] 设，
当时，有最大值.[巩固2] 北偏东600，10；