高中全程复习方略课时提能演练：2.3函数的奇偶性与周期性.doc

课时提能演练(六)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·西安模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(－1,0)上单调递增的函数是(　　)
(A)y＝|x|－1　　　　 (B)y＝x2＋1
(C)y＝2－|x| (D)y＝－cosx
2.(2011·山东高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈(－，0)时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 011)＝(　　)
(A)－2　　　　(B)2　　　　(C)4　　　　(D)log27
4.已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上的图像如图，则下列函数中与f(x)在(－∞，0)上单调性不同的是(　　)

(A)y＝lg|x| (B)y＝|2x－1|
(C)y＝ (D)y＝
5.函数f(x)对任意的x∈R，恒有f(x＋2)＝－f(x)，且f(1)＝2，则f(11)
＝(　　)
(A)－2　　　　B)2　　　　(C)0　　　　(D)1
6.(2012·铜川模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
(A)f(－25))是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝
－f(x)，下面关于f(x)的判定，其中正确命题的序号为　　　　.
①f(4)＝0；
②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)的图像关于x＝1对称；
④f(x)的图像关于x＝2对称.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.是否存在实数a，使函数f(x)＝log2(x＋)－a为奇函数，同时使函数g(x)＝x(＋a)为偶函数？证明你的结论.
11.(2012·吉安模拟)设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于x＝1对称，对任意的x1，x2∈[0，]都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a>0.
(1)求f()；
(2)证明：y＝f(x)是周期函数.
【探究创新】
(16分)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(MD)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.
(1)如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围.
(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.

答案解析
1.【解析】选C.所给函数中均为偶函数，但y＝|x|－1和y＝x2＋1及y＝－cosx在(－1,0)上均为减函数，只有y＝2－|x|符合要求.
2.【解析】选B.y＝f(x)是奇函数，则图像关于原点对称，所以y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，反之，y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，y＝f(x)不一定为奇函数.
3.【解析】选A.由已知f(2 011)＝f(670×3＋1)＝f(1)
＝－f(－1)＝－log2(3＋1)＝－2.
4.【解题指南】先利用偶函数图像的性质，判断出f(x)在(－∞，0)上的单调性，再逐个验证其是否不同即可.
【解析】选C.由图像知f(x)在(－∞，0)上单调递减；而A中y＝lg|x|在
(－∞，0)上为减函数，B中y＝|2x－1|在(－∞，0)上为减函数，C中函数在(－∞，0)上为增函数，D中函数在(－∞，0)上为减函数，故选C.
5.【解析】选A.由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的函数，
∴f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－2.
6.【解题指南】求解的关键是根据f(x－4)＝－f(x)探究出f(x)的对称性及周期性，然后根据其周期性、对称性，将待比较函数变量转化到[－2,2]上，进而利用单调性比较出其大小.
【解析】选D.∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，即－f(x－4)＝f(x)，
∴f(4－x)＝f(x)，所以函数图像关于x＝2对称，
且f(0)＝0，又由已知得
f(x－8)＝f((x－4)－4)＝－f(x－4)＝f(x)，
故函数是以8为周期的周期函数，
∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)＝f(4－1)＝f(1)，
由于奇函数f(x)在[0,2]上是增函数，
∴f(x)在[－2,2]上为增函数，
故f(－1)－1
8.【解析】令g(x)＝x3cosx，则f(x)＝g(x)＋1且g(x)为奇函数，所以
g(－a)＝－g(a).
由f(a)＝11得g(a)＋1＝11，所以g(a)＝10，
f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－10＋1＝－9.
答案：－9
9.【解析】∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
即f(x)的周期为4，②正确.
∴f(4)＝f(0)＝0(∵f(x)为奇函数)，即①正确.
又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，
∴f(x)的图像关于x＝1对称，∴③正确，
又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时，显然f(x)的图像不关于x＝2对称，∴④错误.
答案：①②③
10.【解析】存在.证明如下：
f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，
得log2－a＝0a＝.
若g(x)为偶函数，则h(x)＝＋a为奇函数，
即h(－x)＋h(x)＝0＋a＋＋a＝02a＝－2a＝1a＝.
∴存在符合题设条件的a＝.
11.【解析】(1)因为对任意的x1，x2∈[0，]都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，
所以f(1)＝f(＋)＝f()·f()＝a，
又因为f()＝f(＋)＝f()·f()>0，
所以f()＝.
(2)因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于x＝1对称.
所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝f(x＋2)
即f(x)＝f(x＋2)，
所以y＝f(x)是周期为2的周期函数.
【变式备选】已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，若对任意的a、
b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，总有>0.
(1)判断函数f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明你的结论；
(2)解不等式：f(x＋1)0，
而x1－x2<0，故f(x1)f(x)在[－1,1]上是增函数知：
，
解得
即－2≤x<－，
故不等式的解集为{x|－2≤x<－}.
【探究创新】
【解析】(1)f(x)＝x2(x≥－1)的图像如图(1)所示，要使得f(－1＋m)≥
f(－1)，有m≥2；x≥－1时，恒有f(x＋2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)；
(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图像如图(2)所示，∵f(3a2)＝a2＝f(－a2)，
由f(－a2＋4)≥f(－a2)＝a2＝f(3a2)，
故－a2＋4≥3a2，从而a2≤1，
又a2≤1时，恒有f(x＋4)≥f(x)，故a2≤1即可.
所以实数a的取值范围为[－1,1].