高考第一轮复习之5万有引力定律.doc

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2006年高考第一轮复习之五----万有引力定律
复习要点
1．万有引力定律及其应用
2．人造地球卫星
3．宇宙速度
4．天体的圆运动分析
二、难点剖析
1．开普勒行星运动三定律简介
第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；
第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；
第三定律：行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比，即
=k
开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟答的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。
2．万有引力定律及其应用
(1)定律的表述：宇宙间的一切物体都是相互吸引的两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
F=
(2)定律的适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式一般只适用于两质点间引力大小的计算，如果相互吸引的双方是标准的均匀球体，则可将其视为质量集中于球心的质点。
(3)定律的应用：在中学物理范围内，万有引力定律一般用于天体在圆周运动中的动力学问题或运动学问题的分析，当天体绕着某中心天体做圆周运动时，中心天体对该天体的引力充当其做周围运动所需的向心力，据此即可列出方程定量的分析。
3．人造地球卫星各运动参量随轨道半径的变化关系。
这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。
由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有
=m
=m
=mrw2
=mr
由此可知：绕地球做匀速圆周运动的卫星各个参量随轨道半径r的变化情况分别如下：
(1)向心加速度与r的平方成反比.
=
当r取其最小值时，取得最大值.
a向max==g=9.8m/s2
(2)线速度v与r的平方根成反比
v=
当r取其最小值地球半径R时，v取得最大值.
vmax===79km/s
(3)角速度与r的三分之三次方成百比
=
当r取其最小值地球半径R时，取得最大值.
max==≈1.23×10－3rad/s
(4)周期T与r的二分之三次方成正比.
T=2
当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值.
Tmin=2=2≈84 min
4．宇宙速度及其意义.
(1)三个宇宙速度的值分别为
v1=7.9 km/s
v2=11.2 km/s
v3=16.9 km/s
(2)宇宙速度的意义
当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同
①当v＜v1时，被发射物体最终仍将落回地面；
②当v1≤v＜v2时，被发射物体将环境地球运动，成为地球卫星；
③当v2≤v＜v3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；
④当v≥v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。
5．同步卫星的两个特征
(1)轨道平面必与赤道平面重合；
(2)高度为确定的值。
6．地球自转对地表物体重力的影响。
如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为
F=
而物体随地球一起绕地轴自转所常的向心力为
F向=mRcos·w2
方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。
由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即
≈mg
这是一个分析天体圆运动问题时的重要的辅助公式。
三、典型例题
例1．某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次
测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，
r2＜r1，以Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道
上绕地运动的周期，则
A．Ek2＜Ek1，T2＜T1 B．Ek2＜Ek1，T2＞T1
C．Ek2＞Ek1，T2＜T1 D．Ek2＞Ek1，T2＞T1
分析：常会有同学因为考虑到有阻力作用，就简单地判断动能将减小，其实这样的分析
是不周密的，结论也是错误的，因为有阻力作用的同时，半经减小，引力将做正功。
解答：由于引力充当向心力，所以有
==mr
于是可得动能和周期分别为：
Ek=mv2=
T=2
可见：当阻力作用使轨道半径从r1减小为r2时，其动能将从Ek1增大为Ek2，周期将从T1减小为T2，即Ek2＞Ek1，T2＜T1，应选C.
例2．地核体积约为地球体积的16%，地球质量约为地球质量的34%，引力常量取G=6.7×10－11Nm2/kg2，地球半径取R=6.4×106m，地球表面重力加速度取g=9.8m/s2，试估算地核的平均密度(结果取2位有效数字)。
分析：利用gm表达式进行估算
解答：地表处物体所受引力约等于重力，于是有
=mg
地球的平均密度为
==
由此可得
==kg/m3
=5.5×103kg/m3
地核的平均密度为
===1.2×104kg/m3
例3．在天体运动中，将两颗彼此距离较近，且相互绕行的行星称为双星。已知两行星质量分别为M1和M2，它们之间距离为L，求各自运转半径和角速度为多少？
分析：在本题中，双星之间有相互吸引力而保持距离不变，则这两行星一定绕着两物体连线上某点做匀速圆周运动，设该点为O，如图所示，M1OM2始终在一直线上，M1和M2的角速度相等，其间的引力充当向心力
解答：引力大小为
F=
引力提供双星做圆周运动的向心力
F=M1r1w2
= M2r2w2
而
r1+r2=L
由此即可求得
r1=
r2=
=
例4．已知地球与月球质量比为8：1，半径之比为3.8：1，在地球表面上发射卫星，至少需要7.9km/s的速度，求在月球上发现一颗环绕月球表面运行的飞行物需要多大的速度？
分析：地球上卫星需要的向心力来自地球的引力，月球上的飞行物需要的向心力是月球对它的引力.
解答：；发射环绕地球表面运行的飞行物时，有
=m
发射环绕月球表面运行的飞行物时，只有
= m
由此即可得：
v月=·v地=×7.9×103m/s
=1.71×103m/s
例5．宇宙飞船以a=g=5m/s2的加速度匀速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10kg的物体重量为75N，由此可求飞船所处位置距地面高度为多少？(地球半径R=6400km)
分析：质量10kg的物体在地面处重力大小约100N，而弹簧秤示数F=75N，显然飞船所在处物体所受到的重力mg1应小于F.
解答：由牛顿第二定律，得
F－mg1=ma
而
=mg
=mg1
由此即可解得
h=R=6.4×106m
例6．阅读下列材料，并结合材料解题
开普勒从1909年——1919年发表了著名的开普勒行星三定律：
第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上
第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等
实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动，如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，当开动制动发动机后，卫量速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道，如图问在这之后，卫星经过多长时间着陆？空气阻力不计，
地球半径为R，地球表面重力加速度为g，
圆形轨道作为椭圆轨道的一种特殊形式。
分析：此题所求实质是星体做椭圆运动的周期，
仅凭中学物理知识难以解决，但再利用题中信息所示原理，则可方便求解。
解答：提供的信息中有如下几条对解题有用
(1)开氏第一定律
(2)开氏第二定律
(3)开氏第三定律 a3/T2=常量
(4)开氏第三定律适用于人造卫量
(5)圆轨道是椭圆轨道的特例，半长轴与半短轴等长，均为半径。
于是由开氏第三定律可得
=
其中
a=(R+r)
另外又有
=mr
=mg
考虑到椭圆轨道的对称性，考虑到开氏第二定律，不难得
t=T
于是解得
t=

单元检测
一、选择题
1．关于万有引力定律的表达式F=G，下面说法中正确的是 （ ）
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2相互的引力总是大小相等，方向相反是一对平衡力
D．m1与m2相互的引力总是大小相等，而且与m1、m2是否相等无关
2．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球
仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比 （ ）
A．地球与月球间的万有引力将变大
B．地球与月球间的万有引力将变小
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
3．某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，
射程为60m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为 （ ）
A．10m B．15m C．90m D．360m
4．如图中的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上，
对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言 （ ）
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b

5．目前的航天飞机飞行的轨道都是近地轨道，一般在地球上空300~700km飞行，绕地球飞
行一周的时间为90min左右。这样，航天飞机里的宇航员在24h内可以见到的日出日落
的次数为 （ ）
A．0.38 B．1 C．2.7 D．6
6．一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度为2v，
则该卫星可能 （ ）
A．绕地球做匀速圆周运动，周期变大
B．绕地球运动，轨道变为椭圆
C．不绕地球运动，成为太阳系的人造行星
D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙
7．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自
己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是（ ）
A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等
B．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等
D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
8．人造地球卫星的轨道半径越大，则 （ ）
A．速度越小，周期越小 B．速度越小，周期越大
C．速度越大，周期越小 D．速度越大，周期越大
9．三个人造地球卫星A、B、C在地球的大气层外沿
如图所示的方向做匀速圆周运动，
已知mA=mB＜mC，则三个卫星( )
A．线速度大小的关系是vA＞vB=vC
B．周期关系是TA＜TB=TC
C．向心力大小的关系是FA=FB＜FC
D．轨道半径和周期的关系是==
10．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 （ ）
A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
11．地球同步卫星到地心的距离r可由r3=求出，已知式中a的单位是m，b的单位
是s，c的单位是m/s2，则（ ）
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
12．同步卫星周期为T1，加速度为a1，向心力为F1；地面附近的卫星的周期为T2，加速度
为a2，向心力为F2，地球赤道上物体随地球自转的周期为T3，向心加速度为a3，向心
力为F3，则 （ ）
A．T1=T3≥T2 B．F1＜F2=F3 C．a1＜a2 D．a2＜a3
二、填充题
13．已知地球半径为6.4×106m，又知月球绕地球的运动可近似看作为匀速圆周运动，则可
估算出月球到地球的距离为________m. （结果只保留一位有效数字）
14．“黑洞”是一个密度极大的星球，从黑洞发出的光子，在黑洞的引力作用下，都将被黑
洞吸引回去，使光子不能到达地球，因而地球上观察不到这种星球，因此把这种星球
称为黑洞，有一频率为乙的光子，沿黑洞表面出射，恰能沿黑洞表面以第一宇宙速度
做匀速圆周运动，运行周期为T，此黑洞的平均密度=__________.
15．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳
光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的
同步卫星绕地球运动的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球
运行的周期为____________.
16．中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度。通过观察已知某中子星的自转角
速=60rad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星
的密度。试写出中子星的密度最小值的表达式为=__________，计算出该中子星的密
度至少为___________kg/m3。(假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效
数字。)
17．某小报登载：×年×月×日，×国发射一颗质量100kg，……，周期为1h的人造环月
天体，一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的资料，但他记得月球半
径约为地球的，月球表面重力加速度约为地球的，经过推理，他认定该报道是则
假新闻，试写出他的论证方案.(地球半径约为6.4×103km)
__________________________________________________________________________
三、计算题
18．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上
重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重，
若存在这样的星球，它的半径R应多大？

19．某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以ag的加速度随
火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N时，卫星
距地球表面有多远？(地球半径R地=6.4×103km，g=10m/s2)

20．一般宇宙飞船进入靠某行星表面的圆形轨道，宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来
测定该行星的平均密度？说明理由.

21．人造地球卫星沿椭圆形轨道绕地球运行，近地点A到地球中心C的距离为a，远地点B
到地球中心的距离为b，卫星在近地点A处的速率为vA，卫星在远地点B处的速度vB
多大？

参考答案
1．AD 2．BD 3．A 4．BCD 5．D 6．CD 7．C 8．B 9．ABD 10．CD 11．AD
12．AC
13．4×108 14． 15．4h 16．，1.3×1014 17．环月做匀速圆周
运动的天体其周期不可能是1h，所以报道是假新闻 18．R=1.85×107m
19．h=1.92×104km 20．由=即可测出 21．vB=vA

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