极坐标(B).doc

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极坐标方程(B)
知识点
【知识归纳】
① 极坐标系的概念：极点，极轴，长度单位，角度单位（通常取弧度）极其正方向（通常取逆时针）；
② 相关参数：极径--； 极角--； 极坐标--；
一般的，不做特殊说明时，我们认为，取任意实数，极点坐标。
③ 极坐标与直角坐标的互化
极坐标转化为直角坐标公式：
直角坐标公式转化为极坐标： ，（）
三、简单曲线的极坐标方程
① 几种常见的圆的极坐标方程：
　　圆心是 ，半径为的圆的极坐标方程为．
　　圆心是 ，半径为的圆的方程为．
　　圆心是 ，半径为的圆的方程为．
　　圆心是 ，半径为的圆的方程为．
　　圆心是（0，0），半径为的圆的方程为．
　　圆② 几种常见的直线的极坐标方程：
    与极轴垂直且与极点距离为P的直线的方程为．
　　与极轴反向延长线垂直且到极点距离为P的直线方程为．
　　在极轴上方，与极轴平行且到极点距离为P的直线方程为．
　　在极轴下方，与极轴平行且到极点距离为P的直线方程为．
心是，半径为r的极坐标方程为． 几种常见曲线的参数方程
一、 例题
平面直角坐标系，极坐标系，简单的极坐标方程，柱坐标系与球坐标系简介
一． 选择题：
1．在极坐标系中，点的位置，可按如下规则确定（ B ）
A．作射线OP，使，再在射线OP上取点M，使|OM|=2；
B．作射线OP，使，再在射线OP上取点M，使|OM|=2；
C．作射线OP，使，再在射线OP上反向延长线取点M，使|OM|=2；
D．作射线OP，使，再在射线OP的上取点M，使|OM|=2。
2.下列结论中不正确的是（ D）
A．与是关于极轴对称 B．与是关于极点对称
C．与是关于极轴对称 D．与是关于极点对称
3. 化极坐标方程为直角坐标方程为（ C ）
A． B． C． D．
4．极坐标方程表示的曲线为（ C ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ C ）
A． B． C． D． 13．极坐标方程表示的曲线为（ D ）
A．极点 B．极轴 C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（A ）
A． B．
C． D．
7．下列在曲线上的点是（ B ）
A． B． C． D．

8．已知点P的极坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ C ）
A．ρ=1 B．ρ=cosθ C．ρ=- D．ρ=
9．极坐标平面内，集合与集合之间的关系是（ C ）
A． B． C． D．
10．已知曲线C与曲线关于极轴对称，则曲线C的方程是（ B ）
A． B．
C． D．

二． 填空题：
11．直线的极坐标方程为____________________。
12．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。
13．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________。
14．点A的直角坐标为（1，1，），则它的球坐标为 ，柱坐标为 。
15．在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线长为 .
16．圆的圆心坐标是 .
17．曲线的极坐标方程是ρ=4cos(θ-)，则它相应的直角坐标方程是 ．
18．设A点的球坐标为，则A点的直角坐标是 ．
19．在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值是

三． 解答题：
200．化下列曲线的直角坐标方程为极坐标方程.
（1）x+y=0 ；（2）4x2+y2=4 ；（3）y2(2a-x)=x2
21．已知两点A(3，)，B(3，).（1）求A、B之间的距离；（2）求极轴正方向与直线AB所成的角；（3）求直线AB的极坐标方程.
22．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为．（Ⅰ）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过圆O1、圆O2的交点的直线的直角坐标方程．

23．从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12，求点P的轨迹方程．
24．设点A的极坐标为（ρ1，θ1）（ρ1≠0，0<θ1<)，直线l经过A点，且倾斜角为α．
（1） 证明l的极坐标方程是ρsin(θ-α)=ρ1sin(θ1-α)；
（2） 若O点到l的最短距离d=ρ1，求θ1与α间的关系．
25．已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=,在OP的延长线上取一点Q,使|PQ|=|PA|,当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.

26．设P、Q是双曲线上的两点，若OP⊥OQ.求证： 为定值.
27．已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

参考答案
1．B 2．D 3．C 4．C 5．C6．D7．A 8．B 9．C 10．C11．B 11．12． 13． 14．15． 16． 17． 18． 19．1
20．解：（1）（2）（3）
21．解：（1）（2）（3）
22．解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．所以．
即为圆O1的直角坐标方程．
同理为圆O2的直角坐标方程．
（Ⅱ）由解得．
即圆O1，圆O2交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．

23．解：设动点P的极坐标为（ρ，θ），则M为（ρ0，θ）．
∵OM·OP=12，∴ρ0ρ=12，得ρ0=．
∵M在直线ρcosθ=4上，
∴cosθ=4，即ρ=3cosθ为所求的点P的轨迹方程．

24．解：（1）如图，设P（ρ，θ）为直线上的任一点，直线与极轴相交于Q点，则∠OPQ=α-θ，∠OPA=π-∠OAQ=π+（θ1-α），在ΔOAP中，
由正弦定理得=，得直线的极坐标方程ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)．
（2）依题意OA⊥l，所以α-θ1=．
25．解：设动点Q的坐标为（ρ，θ）则∠OQA=，在△OQA中，∠QAO=
由正弦定理可知：=
∴ρ=2asin()
即：ρ=2asin（+θ）
26．证明：将，代入有

设P则因为OP⊥OQ，Q坐标可设为
∴（定值）
27．以直角坐标原点为极点，Ox正方向为极轴建立极坐标系。则椭圆极坐标方程为：

直线l的极坐标方程为：

设P、Q、R的极坐标分别为
则 ，
∵|OQ|·|OP|=|OR|2
∴
∴草药 （其中）
两边乘以化为直角坐标方程，得：
(其中x，y不同时为零)．
所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．
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