第五章压电式传感器.doc

第四节、压电式传感器例题
例5、一只压电式加速度计，供它专用的电缆的长度为1.2m，电缆电容为100pF，压电片本身的电容为100pF。出厂时标定的电压灵敏度为100V/g(g=9.8m/s2度为重力加速度)，若使用中改用另一根长2.9m的电缆，其电容量为300pF，问电压灵敏度如何改变?

例5题图、压电加速度计等效电路
解：将压电式加速度计用电压源来等效，不考虑其泄漏电阻，等效电路如图1.83所示。
输出电压为：U0=UaCa/(Ca+Cc)
式中:Ca为压电片本身的电容，Cc为电缆电容。
当电缆电容变为Cc’时，输出电压将变为:U0′=UaCa/(Ca+Cc′)
在线性范围内，压电式加速度计的灵敏度与输出电压成正比，所以更换电缆后灵敏度变为:
K′=SU0′/U0=S(Ca+Cc)/(Ca+Cc′)=100(1000+100)/(1000+300)=84.6V/g
例6、一只x切型的石英晶体压电元件，其dl1=dxx＝2.31×10－12C/N，相对介电常数εr=4.5，横截面积A=5cm2，厚度h=0.5cm。
求：(1)、纵向受Fx=9.8N的压力作用时压电片两电极间输出电压值为多大?
(2)、若此元件与高输入阻抗运放连接时连接电缆的电容为Cc=4pF，该压电元件的输出电压值为多大?
解：(1)、所谓纵向受力，是指作用力沿石英晶体的电轴方向(即X轴方向)。对于x切型的石英晶体压电元件，纵向受力时，在x方向产生的电荷量为：
qx=dl1×Fx=2.31×10－12 C/N×9.8N =22.6×10－12C=22.6pC
压电元件的电容量为：
Ca=εoεrA/h=8.85×10－12 F/m×4.5×5×10－4 m2/0.5×10－2 m
=3.98×10－12F=3.98pF
所以两电极间的输出电压值为：U0=qx/Ca=22.6×10－12 C/3.98×10－12F=5.68V
(2)、此元件与高输入阻抗运放连接时，连接电缆的电容与压电元件本身的电容相并联；
输出电压将改变为：
U0'=qx/Ca+Cc）=22.6×10－12C/（3.98×10－12F+4×10－12F）=2.83V
例7、压电式传感器的测量电路如图1.84所示，其中压电片固有电容Ca=1000pF，固有电阻Ra=1014Ω。连线电缆电容Cc=300pF，反馈电容Cf=100pF，反馈电阻Rf=1MΩ。
(1)、推导输出电压U。的表达式。
(2)、当运放开环放大倍数A0=l04时，求：系统的测量误差为多大?
(3)、该测量系统的下限截止频率为多大?

图1.84压电式传感器测量电路

图1. 85(a)压电式传感器测量电路的电流源等效电路
解：(1)、根据密勒定理，将Rf和Cf折合到运放输入端，其等效电阻R'f=Rf(1+A0)， 等效电容C'f＝(1+A0)Cf。如图1.85(a)所示。
为了方便，压电元件采用电压源的形式，再等效成图1.85(b)所示的电路形式，图中Z表示虚线框内元件的等效阻抗。假设运放反相端的电压为Ui，可得：
1/Z=1/Ra+1/Rf+1/Zcc+1/Zcf=1/Ra+1/Rf+ jωCc+ jωCf
R'f=(1+A0) Rf; C'f＝(1+A0)Cf
Ui=UaZ/(Z+1/jωCa)=(q/Ca)×[jωCa/(jωCa+1/Z)]
＝jω×q/(jωCa+jωCc+ jωCf+1/Ra+1/Rf’)
＝jω×q/{jω[Ca+Cc+(1+A0)Cf]+1/Ra+(1+A0}/Rf}

图1. 85(b)压电式传感器测量电路的电压源等效电路
因此测量电路的输出为：
U0=-A0Ui=-jωqA0/{jω[Ca+Cc+(1+A0)Cf]+1/Ra+(1+A0)/Rf}
一般来说，运放的开环放大倍数A0在以104～108之间，根据所给条件，分母上的第三项为第二项的1012～1016倍，所以忽略分母上的第二项不会导致测量误差，得:
U0=-A0Ui=-jωqA0/{jω[Ca+Cc+(1+A0)Cf]+(1+A0)/Rf}
当满足ω[Ca+Ce+(l+A0)Cf]>>(l+A0)Rf，即被测信号的频率远远大于系统的下限截止频率时，分母上的(l+A0)Rf也可以忽略，得：
U0=-A0Ui=-qA0/[Ca+Cc+(1+A0)Cf]
此时测量电路的输出与被测信号的频率无关。
若还能满足(l+A0)Cf>>Ca+Ce,则可进一步忽略分母上的Ca、Ce得：
U0=-qA0/(1+A0)Cf
当A0→∞时，上式可写成：
U0’=-q/Cf
(2)、由于A0实际上不为无穷大，忽略Ca、Ce可能导致测量误差，误差的大小为：
δ=∣(U0- U0’)/U0’)∣=∣{-qA0/[Ca+Cc+(1+A0)Cf]+q/Cf}/(-q/Cf)∣
=(Ca+Cc+Cf)/[Ca+Cc+(l+A0)Cf]
=(1000+300+100)/[1000+300+1+104)100]=0.14﹪
(3)、根据上面讨论，下限截止角频率为：
ωL=（1+A0）/[Ca+Cc+(l+A0)Cf]Rf
由于一般满足(l+A0)Cf>>Ca+Ce，所以下限截止角频率则为：
ωL=1/Cf Rf
下限截止角频率则为：
f=ωL/2π=1/2πCf Rf
=1/（2π×100×10-12×1×106）1.59×103Hz=1.59KHz
例8、有一只压电晶体，其面积S=3cm2，厚度t = 0.3mm，在0度x切型的纵向石英晶体压电系数d11=2.31×10-12 C/N。求压电晶体受到p = 10 MPa的压力作用时产生的电荷量q及输出电压U0。
解：受力F = pS作用后，压电晶体产生的电荷量为：
q=d11F=d11pS=2.31×10-12 C/N×10×106Pa×3×10-4m2=6.93×10-9C
压电晶体的电容量为：Ca=ε0εrS/t
根据有关文献可知，石英压电晶体的相对介电常数εr = 4.5，所以
Ca=ε0εrS/t=(8.85×10-12 F/m×4.5×3×10-4 m2)/0.3×10-3 m
=39.8×l0-12F
于是输出电压为：
U0 =q/Ca=（6.93×10-12 C)/（39.8×10-12 F）=174 V
例9、某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度t=0.2mm，圆片半径，r=1cm，相对介电常数εr=4.5，x切型的d11=2.31×10-12 C/N。当p=0.1MPa的压力垂直作用于晶片之上时，求传感器输出电荷量q和电极间电压Ua的值。
解：当两片石英晶片并联时，输出电荷量为单片的2倍，所以
q=2d11pπr2=2×2.31×10-12 C/N×0.1×106Pa×π×12×10-4 m2
=145×10-12C=145pC
并联后的总电容量也为单片的2倍，所以:
Ca=ε0εrπr2/t
=(2×8.85×10-12 F/m×4.5×π×12×10-4 m2)/(0.2×10-3 m)
=125×10-12F=125pF
故电极间的电压为：
U0=q/Ca=(145×10-12)/(125×10-12)=1.16V
真空的绝对介电常数ε0=8.85×10-12（F/m）法拉第/米。

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