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专题： 万有引力与航天1

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间 成反比．
2．公式：F＝ ，其中G＝ N·m2/kg2，叫引力常量．
3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到 间的距离．
【例1】(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）
A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

宇宙
速度
数值(km/s)
意 义
第一宇宙速度
7.9
卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，物体绕 运行(环绕速度)
第二宇宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，
物体绕 运行(脱离速度)
第三宇
宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v≥16.7 km/s，物体将脱离
在宇宙空间运行(逃逸速度)
【例2】某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？

1．轨道平面一定：轨道平面与 共面．2．周期一定：与 周期相同，即T＝24 h.
3．角速度一定：与 的角速度相同．
4．高度一定：由G＝m(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ －R. ≈3.56×107m
5．速率一定：v＝ 6. 向心加速度大小一定
【例3】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）
A．运行速度大于7.9 km/s B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

万有引力定律应用的基本方法：
(1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．
“万能”连等式：G＝man=m＝mω2r＝m()2r＝m(2πf)2r
（2）不考虑中心天体的自转。
黄金代换式：（表面）， （h高处）
考向一：天体的质量M、密度ρ的估算
（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由G＝m()2r，可得
天体质量为：M＝.
该中心天体密度为：ρ＝＝＝（R为中心天体的半径）．
当卫星沿中心天体表面运行时，r＝R，则ρ＝.
（2）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
【例4】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（ ）
A．1.8×103 kg/m3　　　　B．5.6×103 kg/m3　 C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3　
考向二：卫星的运行和变轨问题
1．人造卫星的动力学特征
万有引力提供向心力．即G＝m＝mrω2＝m()2r
2．人造卫星的运动学特征
（1）向心加速度：由得，随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。
（2）由线速度v：由G＝m得v＝ ，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。
（3）角速度ω：由G＝mω2r得ω＝ ，随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。
（4）周期T：由G＝mr得T＝2π，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。
【例5】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是（ ）
A．a、b的线速度大小之比是 ∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3 ∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4

3．卫星的环绕速度和发射速度
不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即v发射＞v环绕，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．
4．人造地球卫星的超重和失重
(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．
(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等）
5.卫星的变轨
卫星做匀速圆周运动时满足：G＝ma = m＝mrω2＝mr()2
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行．
(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．
(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)
【例6】如图4－4－2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是(　　)
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小其线速度将变大

【例7】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2(r2T1
C．Ek2>Ek1，T2Ek1，T2>T1

【例8】人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2）
轨道Ⅰ
地球
轨道Ⅱ
Q
P
（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（ ）
A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力
B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力
C．飞船在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P的速度
D、飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度小于轨道Ⅱ上P的加速度

（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是 ）
A．从较低轨道上加速 B. 从较高轨道上加速
C. 从同一轨道上加速 D. 从任意轨道上加速
考向三：“双星模型”问题
m1
m2
r1
r2
O
ω
在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．如图
（1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力
（2）具有相同的周期T和角速度
（3）轨道半径和质量成反比
（4）双星总质量 （其中L为双星间距，T为周期）
【例9】如图4－4－6，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)

考向四：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题
1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间： 据则，
而 则
2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：
据则，
而 则
【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：
(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？

考向五：天体的不瓦解问题
在赤道处的物体最容易脱离天体:（当FN=0将瓦解）
而.故不瓦解的条件是

【例10】中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G＝6.67×10－11m3/kg·s2)

考向六：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较

角速度
周期
线速度
向心加速度
向心力
赤道上

近地卫星上

同步卫星上

同物比较

【例11】如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则(　　)
A．v1>v2>v3 B．v1a2>a3 D．a1看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月．

【课时训练】
1．对万有引力定律的表达式F＝G，下列说法正确的是（ ）
A．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的
B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关
D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力

2．已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为 (　　)
图4－4－7

A．6小时 B．12小时 C．24小时 D．36小时

3．在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图4－4－7所示．下列说法正确的是(　　)
A．宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上
C．宇航员将不受地球的引力作用
D．宇航员对“地面”的压力等于零
4．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时
A．r、v都将略为减小 B．r、v都将保持不变
C．r将略为减小，v将略为增大 D． r将略为增大，v将略为减小

5．天文学上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动，周期分别是T1和T2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一水平面上．若在某时刻地球和火星都在太阳的一侧，三者在一条直线上，那么再次出现这种现象(已知地球离太阳较近，火星较远)所需要的时间是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。
（1）推到第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

7．如图所示，火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)

8.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运行特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)

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