椭圆切线尺规作图法及其简证(徐文平论文).doc

椭圆切线尺规作图法及其简证
徐文平
（东南大学 南京210096）

摘要：探讨了多种椭圆切线的尺规作图方法，在此基础上，发现了椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点的新定理。采用坐标线性变换方法，椭圆问题化圆处理，并运用极点与极线的知识，进行了椭圆切线尺规作图法的简单证明。
关键词：椭圆切线、尺规作图、坐标线性变换、极点与极线、调和分割

一、过椭圆上一点作切线
方法1：已知椭圆Y和椭圆上一点A，以椭圆Y的长轴a为半径作圆G，过椭圆上已知点A做竖向垂线，与圆G相交于B点。过B点作圆G的切线T1，相交水平x轴于N点，连接N点与椭圆上A点，直线NA就是所求的椭圆切线T2。
证明：依据坐标线性变换原理，令 , ，椭圆Y转换为圆G，椭圆上A点转换到圆上切点B。切线T1与圆G相切于B点，只有唯一解，坐标线性变换后，直线NA与椭圆Y也只有唯一解，即直线T2与椭圆Y相切于A点。

图 1
方法2：过椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、K是椭圆Y的象限点，JA、BK两条延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。

图 2
证明：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简易证，如果将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。
如图3， ∵∠CNK＝∠KAC＝90°，∴A、C、N、K四点共圆，
易知 ∠KAN＝∠KCN＝∠CBA＝∠KJA＝∠JAO。
∵∠OAN＝∠OAK＋∠KAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°，
∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆G相切。

图 3
采用坐标线性变换方法，圆G转换为椭圆Y，圆切线转换为椭圆切线，分析得知，对于过椭圆上一点的作切线问题，方法2也成立。

图 4
方法3：椭圆的斜向割线AB，作JA、 BK延伸线相交于C点。直线AB1与A1B相交于D点，过D点的水平线与过C点的竖向垂线相交于N点。NA就是椭圆的切线。

图 5
证明：首先证明过圆上一点作切线的方法3成立，然后证明对于椭圆方法3也成立。

图 6
如图7，过椭圆外一点P作两条切线，S、T为切点，依据极点与极线知识，点P为极点，切线弦ST为极线。采用赛瓦定理可以证明，S、D、T三点共线。

图 7
如图8，圆⊙O的割线AB与水平x轴交于Q点，割线AB与竖向y轴交于P点，从点P作两条切线，S、T为两个切点，切点弦ST为点P关于圆⊙O的极线，J、K是圆⊙O的象限点，直线JA与BK交于E点，直线JB与AK交于F点，ST与直线EF相交于N点。则ST⊥EF，且交点N点平分竖向直线EF。现证明如下：

图 8
在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么 JK⊥EF，∴EF为竖向直线，∴水平直线ST⊥EF。
设⊙O圆的方程为，直线AB的方程为（），
容易得出，点坐标，，。
设与圆交于点，，
则他们满足方程组 （1）
依据极点与极线知识，ΔEFQ是典型的自配极三角形，直线EQ为点F对应的极线，直线FQ为点E对应的极线。
对于ΔEOF分析可知，极点E与圆心O的连线EO必定与极点E的对应极线FQ垂直，即EO⊥FQ,，同理，FO⊥EQ ，∴Q点是ΔEOF的垂心。
圆⊙O方程为：，则圆外任意一点对应的极线方程为：
（2）
设极点 ，，∵EF是竖向垂线，∴，
则：极点 对应的极线FQ方程 (3)
则：极点 对应的极线EQ方程 (4)
∵极线EQ与极线FQ交于点Q，且坐标已知，
由（3）或（4）式，可得： (5)
∴可以解得N点坐标：
通过坐标点，作直线JA和AK直线，
直线JAE方程为: (6)
直线AKF方程为: (7)
将(5)式代入（6）、（7）式得：

（8）
其中： ，
则 （恒定值） （9）
∵坐标点，则竖向垂线EF中点N坐标为，
∵水平直线STN与垂直线EF的交点为，∴与坐标重合，
∴水平直线ST⊥EF，且交点N点平分竖向直线EF。
事实上，想要证明过圆上一点作切线的方法3的正确性，就必须证明图9中直线NA与圆⊙O相切。

图 9
∵AF⊥JE，BE⊥JF，∴A、B、F、E四点共圆，且以N点圆心，
∴
易知 ∠FAN＝∠NFA＝∠EBA＝∠KJA＝∠JAO，
∠OAN＝∠OAK＋∠FAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°，
∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆⊙O相切。
同理可知：直线NB与圆⊙O相切于B点。
综上所述，证明了过圆上一点作切线方法3的正确性。通过坐标线性变化方法，圆转化为椭圆，可以证明过椭圆上一点作切线方法3也是正确的。

方法4：已知椭圆内的斜向割线AB，点J、K是椭圆的象限点，JA、BK交E点，JB、AK交F点，竖向垂线直线EF的中点为N点， N点就是AB割线关于椭圆的极点连线NA、NB与椭圆相切。

图 10

证明：可以采用坐标线性变换方法，椭圆切线问题化圆处理，先证明圆的情况下命题成立，然后证明椭圆的情况也成立，以便简化证明方法。

图 11

如图11，在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么 JK⊥EF，∴EF为竖向直线。
∵AF⊥JE，BE⊥JF，∴A、B、E、F四点共圆，且以EF为直径。
∵N点为EF的中点，∴N点为圆心，
∴
易知 ∠FAN＝∠NFA＝∠EBA＝∠KJA＝∠JAO，
∠OAN＝∠OAK＋∠FAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°，
∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆⊙O相切。
同理可知：直线NB与圆⊙O相切于B点，N点就是AB的极点。
综上所述，证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性，在此基础上，采用坐标变换方法，圆就变化成为了椭圆，那么方法仍然成立，方法4命题成立。
方法5：已知椭圆Y的一斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK，与椭圆Y相交于J、K两点。JA、BK交于E点，作AK、JB交于F点。确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。

图 12
证明：在方法4中，已经证明，圆内接四边形的其中一条对角线通过圆心，则另一条割线的极点必定位于圆内接四边形的二组对边延伸线交点连线的中点。那么将圆图形旋转一个角度，由于圆的对称性，三交点共线且平分现象仍然成立。在此基础上，采用坐标变换方法，圆的切线问题转化为椭圆切线问题，那么作切线方法仍然成立，方法5命题成立。
二、过椭圆外一点作切线
方法1：虚拟椭圆法
已知椭圆Y1和椭圆外一点A，以椭圆Y1的长轴a为半径作圆G1，过A点做竖向垂线L1，与水平轴相交于C点，在竖向垂线L1截取一点B，使得，过B点，作小圆G1的切线T1，相交于圆G1于切点D，相交于水平轴于N点，连接N点与A点连线，NA即所求小椭圆Y1的切线T2。

图 13
证明：分析可知，圆G1和G2是同心圆，椭圆Y1和Y2是离心率相同的同心椭圆，A点在虚拟大椭圆Y2上，B点在虚拟同心圆的大圆G2上。
采用坐标线性变换方法，椭圆切线问题转化为圆切线问题。过B点，作同心小圆G1的切线T1，相交于小圆Y1于切点D，相交于水平轴于N点。
NB切线与小圆G1相切，只有唯一解，坐标线性变换后，NA直线与小椭圆Y1也只有唯一解，即NA与小椭圆Y1相切，切线T2与椭圆Y1相交于切点E。
方法2：极点与极线法
1）勒姆柯尔方法
勒姆柯尔过椭圆外一点P，引四条割线PAiBi（i=1,2,3,4）,直线A1B2与A2B1 交于Q点，直线A3B4与A4B3交于R点，直线Q R交椭圆于S、T两个点，则S、T是椭圆对应点P的两个切点，直线PS、PT就是所求的切线（图14）。

图 14 图 15 图 16
2）舒马赫方法
大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法，写信给高斯，信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法。（图15）。
3）高斯方法
高斯在收到舒马赫的信第六天，回信提出了一个只需引两条割线。就可以作椭圆切线的简捷方法（图16）。
证明：高斯等三位大数学家的过椭圆外一点作切线方法，其实质就是利用P极点与ST极线对应的关系，以P极点寻找ST极线上的两个点 Q与R，连接Q与R连线并延伸与椭圆相交，交点S与T就是两个切点。
对于这个命题，可以采用坐标线性变化方法，椭圆切线问题化为圆处理，并运用极点与极线知识，进行S、T、Q、R四点共线的特性证明，证明如下：
引理1： 从圆外一点P，引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，A、B点为割线与圆的交点，切点弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。

图 17
如图17，假设N点为AB的中点，分析得知，AB⊥ON，∴Q、M、N、O四点共圆，
则
∵ΔPOT与ΔPMT是相似三角形，
∵，∴
∵，∴
∴ 或
∴ PQ调和分割AB。
引理2：从圆外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割线，与圆交于 A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC直线交于Q点，AC与BD延伸交于R点，则 S、T、Q、R四点共线。

图 18
联结AS、SB、BD、DT、TC、CA直线，得圆内接的凸六边形ASBDTC。
欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。
对于圆内接凸六边形ASBDTC，利用塞瓦定理, 只须证明
∵ ΔPBD∽ΔPCA，ΔPTC∽ΔPDT，ΔPAS∽ΔPSB，
则 ， ，
又 ∵ ，
∴
∴
因此，BC、AD、ST三线共点, S、Q、T三点共线。
在三角形ΔRCD中，假设M点为RQ与CD的交点，
由赛瓦定理得：
∵ΔRCD被直线PB所截，由梅涅劳斯定理得：

将上面两个式子相乘得:

即：
∴CD被PM调和分割，同时PM被CD也调和分割。
依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线,
∴M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。
引理3(侯明辉三割线定理)： PAB、PCD为过椭圆外一点P引出的两条任意割线，AD与BC交于Q，直线PQ交椭圆于E、F，则PQ调和分割EF，即1/PE+1/PF=2/PQ。
由引理2可知，AD与BC交于Q，则Q点在以P点为极点的ST极线上。由引理1可知，因为Q点在ST极线上，则PQ调和分割EF。因此，对于在圆的情况下，三割线定理成立。依据坐标线性变换原理，令 , ，圆转换为椭圆，直线段仅是线性变换其位置，线段比例关系不变，因此，对于在椭圆的情况下，三割线定理也成立。

图 19
三、椭圆极点与极线的性质
徐文平新定理：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

图 20
证明：如图21，椭圆外切四边形EHFG的四个切点为K、L、M、N，椭圆外切四边形EHFG的对角线连EF、GH交于Q点。

图 21
由帕斯卡定理，将其椭圆内接六边形化简为椭圆内接四边形，可知A、B、C、D四点共线，四极点共线成立。
由牛顿定理，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交点Q和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。
由麦克马林定理，椭圆外切四边形EHFG的对角线EQF为A点关于椭圆的极线，由完全四边形KLMNAB性质可知，QB也为A点关于椭圆的极线，因此，F、Q、E、B四点共线。同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。
极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。
ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，
由赛瓦定理得：
∵ΔFCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得：

由上面两个式子得: ，
或
∴A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理证明成立。
由射影几何知识可得，F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ也调和分割GH。
由射影几何知识可得，D点为射影点，B、E、Q、F四点共线，BQ也调和分割EF。
推理1：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。
推理1是徐文平新定理的一种特殊情况，如图22，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC＝CB。

图 22
至此，本文过椭圆上一点作椭圆切线方法2、3、4、5有了快速证明的理论依据。

参考文献：
[1]吉众.椭圆的切线问题研究[J]，数理天地，2008.12
[2]张觉.过椭圆上一点作椭圆切线的一种方法[J]，数学通讯，2010.6
[3]熊星飞.椭圆问题圆处理[J]，中学数学教学，2004.4
[4]张子路.调和分割的基本性质及其应用初探[J]，中学数学研究，2009.7
[5]王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线[J]，中学数学教学，2006