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第四章 金属的断裂韧度

断裂是工程上最危险的换效形式。
特点：（a）突然性或不可预见性；（b）低于屈服力，发生断裂；（c）由宏观裂扩展引起。
∴工程上，常采用加大安全系数；浪费材料。但过于加大材料的体积，不一定能防止断裂。
∴发展出断裂力学
断裂力学的研究范畴：
把材料看成是裂纹体，利用弹塑性理论，研究裂纹尖端的应力、应变，以及应变能力分布；确定裂纹的扩展规律；建立裂纹扩展的新的力学参数（断裂韧度）。
主要内容：
含裂纹体的断裂判据。
固有性能的指标—断裂韧性：用来比较材料拉断能力，KIC ,GIC , JIC,δC 。
用于设计中：
KIC 已知σ，求amax
KIC 已知 , a c已知，求σ构件承受最大承载能力。
KIC 已知，a已知，求σ。
讨论：KIC 的意义，测试原理，影响因素及应用。

§4-1线弹性条件下的断裂韧度
一、裂纹扩展的基本形式
1、张开型（I型）
2、滑开型（II型）
3）撕开型（III型）

裂纹的扩展常常是组合型，I型的危险性最大
二、应力场强度因子KI和断裂韧度KIC。
1、裂纹尖端应力场，应力分析

①应力场
离裂纹尖端为(，)的一点的应力：

（应力分量，极座标）
平面应力　σx=0
平面应变 σx=υ（σx+σy）
对于某点的位移则有

平面应力情况下
    位移
    平面应变情况时，
上式为平面应变状态，位移分量。
越接近裂纹尖端（即r越小）精度越高；最适合于r<1/2或MN·m-3/2

3、断裂韧度KIC和断裂判据
①断裂韧度 当应力达到断裂强度，裂纹失稳，并开始扩展。临界或失稳状态的KI值记作：KIC或KC，称为断裂韧度。
KC—平面应力断裂韧度；KIC—平面应变，I类裂纹
②断裂判据
KIKIC发生裂纹扩展，直至断裂
4、KI的塑性修正
裂纹扩展前，在尖端附近，材料总要先出现一个或大或小的塑性变形区。
∴单纯的线弹性理论必须进行修正。
①塑性区的形状和尺寸
应用材料力学中学过的知识，结合前述的弹性力场表达式得到：
（式4-8）（式4-9）
由Von Mises屈服准则，材料在三向应力状态下的屈服条件为：

将主应力公式代入Von Mises 屈服准则中，便可得到裂纹尖端塑性区的边界方程，即

整理合并得到（式4-10）
r= （平面应力）
r= （平面应变）
形状：r=f(θ)
尺寸：当θ=0 r0=f(0) （裂纹扩展方向）
平面应力
平面应变
ν一般为0.3
∴平面应变的应力场比平面应力的硬。
≤r0区载的材料产生屈服。
②应力松驰的塑性区
材料屈服后，多出来的应力将要松驰（即传递给r>r0的区域）使r0前方局部地区的应力生高，又导致这些地方发生屈服。
σys—屈服应力 不考虑加工硬化
σys（R-r0） 积分应力

积分后可知

将σys→σs ro(前式)代入
（平面应力）
∴Ro=2ro
裂纹尖端区塑性区的宽度计算公式，见表4-2
③有效裂纹及KI的修正
有效裂纹长度a+ry
根据计算 ry=（1/2）Ro
平面应力
平面应变
∴
不同的试样形状、和裂纹纹形式， KI不同。需要修正的条件：σ/σs≥0.6~0.7时，KI就需要修正。
三、裂纹扩展能量释放率G及断裂韧度GIC
从能量转换关系，研究裂纹扩展力学条件及断裂韧度。
1、裂扩展时能量转换关系
w=Ue+(γp2γs) A
w—外力做功
Ue—弹性应变能的变化
A—裂纹扩展面积
γpA—消耗的塑性功
2γsA—形成裂纹后的表面能
-（Ue-w）=(γp+2γs) A (4-24)
2、裂纹扩展能量释放率GI
U=Ue-w 系统能量
式4-24负号表示系统能量下降

量纲为能量的量纲MJ·m-2
当裂纹长度为a，裂纹体的厚度为B时

令B=1
物理意义：GI为裂纹扩展单位长度时系势能的变化率。又称，GI为裂纹扩展力。MN· m-1。

恒位移与恒载荷
恒位移——应力变化，位移速度不变；
恒载荷——应力不变，位移速度变化。
格雷菲斯公式，是在恒位移条件下导出。
得知：①平面应力
②平面应变

GI也是应力σ和裂纹尺寸的复合参量，仅表示方式不同。
3、断裂韧度GIC和断裂GI判据
当即将失效扩展，而断裂所对应的平均应力σc；对应的裂纹尺寸ac [临界值]

GI≥GIC 裂纹失稳扩展条件
4、GIC与KIC的关系

∴

5）裂纹扩展阻力曲线
裂纹扩展分为亚稳扩展和失稳扩展。
韧性材料的亚稳扩展阶段较长
令：R=(γp+2γs)为裂纹扩展拉力
R—a 裂纹扩展阻力曲线（图4-7，P93）
脆性材料γp≈0 ，R≈2γs
∴R曲线几乎与a平行
韧性材料，则不然。
裂纹扩展能量释放率
∴ （亦称为裂纹扩展的动力）
GI—a曲线 （动力曲线）
将两条曲线重合
(a) σ≤σ0 阻力≥动力
(b) σ0<σ≤σc 亚稳扩展
σ≤σc 失效扩展
裂纹失稳扩展条件

∴GI/a=R/a的交点，就是裂纹扩展的临界点。它所对应的裂纹长度ac（临界长度），σc（临界应力）。一般情况下，平面应变临界点与裂纹相对扩展量为2%的点相对应。 R-a曲线的应力：描述构件的断裂行为和估算承载能力。

§4-2弹塑性条件下的金属断裂韧性
裂纹尖端塑性区尺寸
（4-13）

线弹性理论，只适用于小范围屈服；
在测试材料的KIC，为保证平面应变和小范围屈服，要求试样厚度B≥2.5（KIC/σs）2
试样太大，浪费材料，一般试验机也做不好。
∴发展了弹塑性断裂力学
原则：①将线弹性理论延伸；
②在试验基础上提出新的断裂韧度和断裂判据；
③常用的J积分法，COD法。

一、J积分原理及断裂韧度JIC。
1、J积分的概念
①来源 由裂纹扩展能量释放率GI延伸出来。
②推导过程
a）有一单位厚度（B=1）的I型裂纹体。
b）逆时针取一回路Γ，Γ上任一点的作用力为T
c）包围体积内的应变能密度为ω
d）弹性状态下，Γ所包围体积的系统势能，U=Ue-w，弹性应变能Ue和外力功W之差。
e）裂纹尖端的
f）Γ回路内的总应变能为：
dV=BdA=dxdy dU=ωdxdy
∴
g）Γ回路外面对里面部分在任一点的作用应力为T。
∴外侧面积上作用力为 P=TdS (S为周界弧长)
设边界Γ上各点的位移为u
∴外力在该点上所做的功 dw=u.TdS
∴外围边界上外力作功为

h）合并

i）定义（J·R赖斯）

③“J”积分的特性
a）守恒性 能量线积分，与路径无关
b）通用性和奇异性
积分路线可以在整个地在裂纹附近的弹性区域内，也可以在接近裂纹的顶端附近。
c）J积分值反映了裂纹尖端区的应变能，即应力应变的集中程度。
2、J积分的能量率表达式与几何意义
①能量率表达式

这是测定JI的理论基础
②几何意义
设有两个外形尺寸相同，但裂纹长度不同，a，a+△a，分别在作用力p，p+△p作用下，发生相同的位移δ。

将两条P—δ曲线重在一个图上
U1=OAC U2=OBC
两者之差△U= U1- U2=OAB
则
物理意义为：J积分的形变功差率
③注意事项：
∵塑性变形是不逆的。
∴测JI时，只能单调加载
J积分应理解为裂纹相差单位长度的两个试样加载达到相同位移时的形变功差率。
∴其临界值对应点只是开裂点，而不一定是最后失稳断裂点
3、断裂韧度JIC及断裂J判据
JIC的单位与GIC的单位相同，MPa.m
JI≥JIC 裂纹会开裂。
实际生产中很少用J积分来计算裂纹体的承载能力。一般是用小试样测JIC，再用KIC去解决实际断裂问题。
4、JIC和KIC、GIC的关系
（平面应变）
上述关系式，在弹塑性条件下，还不能用理论证明它的成立，但在一定条件下，大致可延伸到弹塑性范围。

二、裂纹尖端张开位移（COD）及断裂韧度δc
裂纹尖端附近应力集中，必定产生应变材料发生断裂，即 应变量大到一定程度，但，这些应变量很难测量。
∴有人提出用裂纹向前扩展时，同时向垂直方向的位移（张开位移）来间接表示应变量的大小；用临界张开位移来表示材料的断裂韧度。
1）COD概念
在平均应力σ作用下，裂纹尖端发生塑性变形，出现塑性区ρ。在不增加裂纹长度（2a）的情况下，裂纹将沿σ方向产生张开位移δ，称为COD。
2）断裂韧度δc及断裂δ判据
δ≥δc
δc越大，说明裂纹尖端区域的塑性储备越大。δ、δc是长度 量纲为mm，可用精密仪器测量。一般钢材的δc大约为0.几到几mm是裂纹开始扩展的判据。不是裂纹失稳扩展的断裂判据。
3）线弹性条件下的COD表达式
平面应力时

令：σ=2v

当θ=π时

对于I型穿透裂纹：

（σ≤0.6σs）该式可用于小范围屈服条件，进行断裂分析和破损安全设计。
4、弹塑性条件下的COD表达式
达格代尔，建立了带状屈服模型，D-M模型裂纹长度2a→2c；割面上上、下方的阻力为δs。

∴裂纹张开位移
级数展开 ∵ ∴ 高次方项可以忽略
∴
临界条件下
5）δc与其他断裂韧度间的关系
断裂应力≤0.5σs时
平面应力
平面应变（三向应力，尖端材料的硬化作用）

n为关系因子，1≤n≤1.5~2.0
（平面应力，n=1；平面应变n=2）

§4-3断裂韧度的测试
有严格的测试标准
（1）四种试样：三点弯曲，紧凑拉伸，C型拉伸，圆形紧凑拉伸试样。
大小及厚度有严格要求
预先估计KIC（类比），再逼近。
预制裂纹长度有一定要求，2.5%W
（2）方法
弯曲、拉伸；传感器测量，绘出有关曲线。
（3）结果处理
根据有关的函数（可以查表）
（有兴趣者可以自看）

§4-4影响断裂韧度的因素
（图片）
一、与常规力学性能之间的关系
KIC、GIC、JIC、δC最后均是以常规力学性能之一的σ、σS作自变量。 AK值~GIC（JIC），均是吸收的能量位AK值的误差本身就较大；缺口形状，加载速率等不同。
∴缺乏可靠的理论依据
二、影响断裂韧度的因素
1）材料因素（内在因素）
①晶体特征 （晶体结构、位错）
②化学成分
③显微组织（晶粒大小，各相，第二相，夹杂）
④处理工艺（热处理、强化处理）
2）（外因）环境因素
温度、应变速度等。

§4-5断裂韧度在工程上的应用
一、高压容器承载能力的计算
二、高压壳体的材料选择
三、大型转轴断裂分析
四、钢铁材料的脆性评定
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