索伯列夫(Sobolev)空间嵌入定理与集中紧性原理(三稿).doc

索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理

摘 要

本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛函知识的理解。

关键词 弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理

Abstact

Key words

目 录
摘要…………………………………………………………………………………..I
Abstract……………………………………………………………………………..II

引言………………….……………………………….……………………………....1
一、预备知识………………………………………………………………………..2
1.1 弱导数定义…………………………………………………...…………………2
1.2 Sobolev空间……………………………………….…………………2
1.3 引理…………………………………………..……………….…………………2
二、嵌入定理的证明与集中紧性原理………………………………………………5
2.1 嵌入定理的证明………………………...………………………………………5
2.2 集中紧性原理………………………………………….………………………10
2.3 结论…………………………………………………………………………….12
参考文献……………………………………………………………………………..13

引 言

索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev发展起来的。这些空间是由弱可微函数所组成的Banach空间，它们是为研究偏微分方程的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的 。
苏联数学家索伯列夫( S.L. Sobolev) 从 1938年开始，在研究弹性体中的波动等问题时，建立了一系列新的概念，例如广义解、广义导数、嵌入定理等． 他以泛函分析为工具发展了一套新型的可微函数空间理论(现在国际上称为Sobolev空间)，同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理论基础，Sobolev这些开创性的工作在他的名著“ 泛函分析及其在数学物理中的应用” (1950)中作了系统的总结．
从那时以来， 这种理论已有很广泛的发展．1957～1959年， 意大利E. Gagliado 提出了一套与Sobolev不同的证法．1956～1958 年苏联Slobodeokii等人推广了Sobolev的工作， 引进了“分数次求导”等概念， 形成了分数次空间， 称Slobodeokii空间
Sobolev空间的嵌入定理在函数空间理论、偏微分方程、偏微分方程数值解等学科中有重要应用。一般区域上Sobolev空间的嵌入定理的证明已经给出，但证明一般过于复杂，限制了它在通常学科中的使用。
本文研究Sobolev空间的嵌入定理的证明和集中紧性原理的证明。

一、预备知识
1.1 弱导数的定义
设，对于给定的重指标，如果且对于所有的，有

并记，则称是的阶弱导数.
1.2 Sobolev空间
设对，是非负整数， 对本身及其直到阶弱导数在内都是可和的函数集合：

（1）
在空间内引入范数
（2）
1.3 引理
引理1 设是具强局部Lipshitz性质的区域，简称型区域，则：
（1） 存在开集，，…, ,使．
（2） 存在开集，使．
（3） 设，，则存在一个充分小的，当，，且时，有一个使，．
（4） 对任意，存在顶点在原点的多面体，使得时，。
（5） 存在，，及常数，使得当，且时，有，使

（6） 存在一个顶点在原点的多面体，当时，。此外存在，当，且时，。
（7） 存在向量，当时，，对任意。
引理2（Gagliardo定理） 设是中的有界锥形区域，对任意的,存在开集，，…，，满足：
（1）；
（2）对每一个，存在一个顶点在原点的平行多面体，使，其中且其中直径小于等于。
引理3 设，是有界区域，是列紧的充要条件为：
（1）是中的有界集，即存在，使对任意，；
（2）是中等度连续，即对任意，存在，当时
（对任意）
其中是的延拓函数，定义为
引理4 设是中的有界开集，为正整数，使，，，，则

引理 5 设是中边长为2的立方体，其边分别平行于坐标轴，而是由经平移得到的型区域，又，，，则

其中是与无关的常数。
引理 6 设是中边长为1的立方体, 表示边长为的立方体，其表面积分别平行于的表面，如果，而，则
（对任意，）
其中是与无关的常数。
引理7 设是中具有锥性质的有界区域，简称有界锥形区域，，若，则，其中是与无关的常数。
引理8 设，其中，。则下列结论成立：
（1），对任意，对几乎处处。
（2），对任意。
其中是与无关的常数。
引理9 设是中的开集，，则。
引理10 设是中的开集，，则。
引理11 设是中的一个区域， ，如果，，则对任意的，有。
二、嵌入定理的证明与集中紧性原理
2.1 嵌入定理的证明
定理1 设是中的有界锥形区域，。
（1） 如果，，则；
（2） 如果，，，则；
（3） 如果，，则.
证明 由Gagliardo定理（引理2），有界锥形区域可以分解成一系列型区域的并，即，其中是型区域，为有限数。如果，，则

所以.再由Gagliardo定理，型区域可由一平行多面体经过一系列平移得到，即，其中是一顶点在原点的平行多面体。又平行多面体可经过一个可逆线性变换映成边长为2的维立方体，记为，则在此变换下映成。综上所述，为了证明定理（1）和定理（2），可以不妨假设。
（1） 考虑的情形。对作归纳来证明。
①时，，，要证。由引理5，对任意，，其中是与无关的常数。设，因在中稠密，故存在函数数列，使在中收敛于，从而是中的基本列。由上述不等式知也是中的基本列，从而在中收敛，由实变函数论的基本定理，在中的极限函数必为。于是由得到。这样就证明了。
②假设结论（1）对是已成立，即当，时，成立。
③下证结论（1）对是也成立。设，则的一阶偏导数。记，由归纳假设得到：

又显然，故

于是，且

由的情形知。其中，于是

结合前一个不等式得

从而

（2） 考虑，，再分两种情形。
① 设，令，则。因，对任意，。由不等式易知

其中是与无关的常数。于是，即，此时。对，利用（1）得到

结合前一个嵌入有
② 设，由上述①的结论，。因为有界区域，
由不等式易知，从而。
（3），的情形。
由引理8，，其中为任一维立方体。设是任一多面体，则存在可逆的放射变换把映成立方体，于是。
由前面的讨论，设，，，则且，对任意。从而

若，，则经过平移变化为。于是有

其中是与无关的常数。取，则

从而。
定理2 设是中的有界锥形区域，，则

证明 因为在中的稠密，所以只要证明对任意，有
，
其中与无关的常数。
（1），的情形。利用引理（7）即可。
（2），的情形。因，利用（1）的情形即可。
（3），的情形。取整数，使，且。
①设。设是重指标，满足。如果，则。由引理1得

其中。从而

因为，所以

② 设。此时，对任意
由引理（1），对任意，有

取，和情形①类似可证。
定理3 设是型区域，，则

其中由下列条件确定：
（1） 如果，则；
（2） 如果，则；
（3） 如果，，则。
证明： 首先由定理2得，即对任意，有

为了证明,只要证明对任意，有

其中与无关的常数。
因为，所以

其中根据下列情形确定。
（1） 当时，取，此时；
（2） 当且时，可任意选取，使；
（3） 当，时，取。此时。
对上述三种情形总有。于是只要证明，对任意，存在，使对任意，成立
（*）
又在中稠，，所以只要证明上式对中的函数成立。
当是中的立方体时，由引理（6），上述不等式已成立。通过线性变换可知，对中的任意多面体，上述不等式也成立。
当是型区域时，由型区域的性质得（间引理1）：当充分小时，如果，且时，存在，使。在多面体和上，结论已成立，于是

若不满足上述条件，则再分下列两种情形。
（a）,其中是待定常数。此时根据引理1再分三种情形考虑。
①当时，存在，使，从而是已考虑的情形。
②当，时，取充分小，仍可使，从而也化为已考虑的情形。
③ 当时，则和必相交。取，
使得

和上述类似推得不等式（*）也成立
（b）当时，显然

3.2 紧中紧性原理
定义 设序列{}，且 a.e.在中，是上的测度。如果

则称序列{}弱收敛于测度，记为
定理（集中紧性原理） ，，是中的一个有界区域，{}是中的有界序列，在外视，{}满足下列条件

其中，均是上的有界（Lebesgue—Stieltjes）测度，那么
（i） 存在最多可数的指标集，不同点的集合及
，使得

（ii）存在使得
，
其中为sobolev嵌入的最佳常数，即

2.3 结论

参考文献
1 王元明，徐君祥.索伯列夫空间.东南大学出版社.2003
2 路文端.微分方程中的变分方法.科学出版社.2003
3 吴新民.Sobolev空间及推广.邵阳高等专科学校学报.2000.9
4 吴春兰，朱维宗.Sobolev空间嵌入定理.云南师范大学学报.1999.9
5 邢家省，张源章，崔玉英.一维区域上的Sobolev空间的嵌入定理.河南科学.2009.4
6 王向东，粱汲廷，戎海武．索伯列夫空问论[M]. 北京：科学出版社，2003
7 李荣华．偏微分方程数值解法[M]．北京：高等教育出版社，2005
8 R. AAarns 著．索伯列夫空间．叶其孝等译，人民教育出皈社，1981